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2014届高考数学(文科,人教版)二轮专题复习提分训练:等比数列]


等比数列 高考试题

考点一 等比数列的通项与性质 1.(2012 年安徽卷,文 5)公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16,则 a5 等于( )

(A)1 (B)2 (C)4 (D)8
2 解析:a3a11= a7 =16,数列{an}的各项都是正数,

所以 a7=4, 又 a

7=a5×22,所以 a5=1. 答案:A 2.(2011 年辽宁卷,文 5)若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比为( (A)2 (B)4 (C)8 (D)16 解析:∵数列{an}为等比数列,设公比为 q,
2 则 anan+1= an q=16n>0,∴q>0,

)



an?1an? 2 16 n ?1 = n =16=q2, 16 an an?1

∴q=4.故选 B. 答案:B 3.(2010n-1 年江西卷,文 7)等比数列{an}中,|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,则 an 等于( ) n-1 (A)(-2)n (B)-(-2)n (C)(-2) (D)-(-2) 解析 :由于 a5=a2·q3=-8a2, 3 ∴q =-8,∴q=-2. 又|a1|=1,且 a5>a2,∴a1=1, 因此 an=a1qn-1=(-2)n-1,故选 A. 答案:A 4.(2012 年辽宁卷,文 14)已知等比数列{an }为递增数列.若 a1>0,且 2(an+an+2)=5an+1, 则数列{an}的公比 q= . 解析:∵数列{an}是递增数列,且 a1>0,∴q>1, ∵2(an+a n+2)=5an+1, n-1 ∴2a1q +2a1qn+1=5a1qn,

∴2q2-5q+2=0, 解得 q=2 或 q= (舍去). 答案:2 5.(2012 年广东卷,文 12)若等比数列{an}满足 a2a4= ,则 a1 a32 a5= 解析:本小题主要考查数列的基本量运算与性质, 由 a2a4= ,则 a1 a32 a5=(a2·a4)2= . 答案:
1 4 1 2 1 4 1 2 1 2

.

6.(2011 年广东卷,文 11)已知{an}是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比 q= .

解析 :a2=2,a4-a3=4? a2q2-a2q=4? 2q2-2q=4 2 ? q -q-2=0 得 q=2 或 q=-1(舍去). 答案:2 考点二 等比数列的前 n 项和及性质 1.(2013 年新课标全国卷Ⅰ,文 6)设首项为 1,公比为 的等比数列{an}的前 n 项和 为 Sn,则( )
2 3

(A)Sn=2an-1 (B)Sn=3an-2 (C)Sn=4-3an (D)Sn=3-2an 解析:由等比数列前 n 项和公式 Sn=
2 1 ? an Sn= 3 =3-2an.故选 D. 2 1? 3
a1 ? an q 知 1? q

答案:D 2.(2013 年大纲全国卷,文 7)已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=- ,则{an}的前 10 项 和等于( )
4 3

(A)-6(1-3-10) (B)

1 (1-310) 9

(C)3(1-3-10) (D)3(1 +3-10) 解析:由题意知
1 an ?1 =- , 3 an

所示数列{an}为等比数列, 则其公比为- , 首项 a1=
a2 =4, q
1 3

由等比数列前 n 项和公式知
? ? 1 ?10 ? 4 ?1 ? ? ? ? ? ? ? 3? ? ? =3(1-3-10).故选 C. S10= ? 1 ? ? 1? ? ? ? 3 ? ?

答案:C 3.(2010 年辽宁卷,文 3)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,已知 3S3=a4-2,3S2=a3-2, 则公比 q 等于( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 解析:由题设条件,得 3(S3-S2)=a4-a3, 即 3a3=a4-a3, ∴q=
a4 =4.故选 B. a3

答案:B 4.(2010 年浙江卷,文 5)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 (A)-11 (B)-8 (C)5 (D)11
S5 等于( S2

)

解析:设数列 {an}的公比为 q.由 8a2+a5=0, 3 得 a1q(8+q )=0. 又∵a1q≠0,∴q=-2.
S 1 ? q5 1 ? ? ?2 ? ∴ 5= = =-11.故选 A. S2 1 ? q2 1? 4
5

答案:A 5.(2013 年广东卷,文 11)设数列{an}是首项为 1,公比为-2 的等比数列,则 a1+|a2|+a3+|a4|= . 解析:因首项为 1,公比为-2, 所以 a2=a 1·q=-2, 2 a3=a1·q3=1×(-2)2 =4, a4=a1·q =1×(-2)3=-8, 所以 a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15. 答案:15 6.(2013 年江西卷,文 12)某住宅小区计划植树不少于 100 棵*,若第一天植 2 棵,以后 每天植树的棵数是前一天的 2 倍,则需要的最少天数 n(n∈N )等于 . 解析:本题是等比数列前 n 项和的实际应用题, 设每天植树的棵数组成的数列为{an}, 由题意可知它是等比数列,且首项为 2,公比为 2, 所以由题意可得 即 2n≥51, 而 25=32,26=64,n∈N*, 所以 n≥6. 答案:6 7.(2013 年北京卷,文 11)若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q= 前 n 项和 Sn= 解析:由题意 ? .
?a2 ? a4 ? 20, 得 a ? a ? 20. ? 3 5
2 ?1 ? 2n ? 1? 2

≥100,

;

? a1q 2 ? a1q 4 ? 40,① ? 3 ?a1q ? a1q ? 20. ②

用②÷①得 q=2,a1=2,由等比数列求和公式得 Sn= 答案:2 2n+1-2

2 ?1 ? 2n ? 1? 2

=2n+1-2.

8.(2012 年新课标全国卷,文 14)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q= . 解析:由题意,q≠1, 2 由 S3+3S2=4a 1+4a2+a3=a1(4+4q+q ) 2 =a1(q+2) =0, 由 a1≠0 知 q=-2. 答案:-2

9.(2011 年北京卷,文 12)在等比数列{an}中,若 a1= ,a4=4,则公比 q= ;a1+a2+…+an= .

1 2

解析:由等比数列通项公式得 a4=a1q3, ∵a1= ,a4=4,∴ q3=4. ∴q=2,
1 1 ? 2n ? ? 1 ∴Sn= 2 =2n-1- . 2 1? 2 1 答案:2 2n-12
1 2 1 2

10.(2012 年江西卷,文 17)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=kcn-k(其中 c,k 为常数),且 a2=4,a6=8a3. (1)求 an; (2)求数列{nan} 的前 n 项和 Tn. 解:(1)由 Sn=kcn -k, 得 an=Sn-Sn-1=kcn-kcn-1(n≥2), 由 a2=4,a6=8a3, 得 kc(c-1)=4,kc5(c-1)=8kc2(c-1), 解得 ?
?c ? 2, ? k ? 2,

所以 a1=S1=2,an=kcn-kcn-1=2n(n≥2), 于是 an=2n. (2)Tn= ? iai= ? i·2i,
i ?1 i ?1 n n

即 Tn=2+2·22+3·23+4·24+…+n·2n,
2 3 4 n n+1 Tn=2T n-Tn=-2-2 -2 -2 -…-2 +n·2 n+1 n+1 =-2 +2+n ·2 n+1 =(n-1)2 +2. 11.(2011 年重庆卷,文 16)设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+4, (1)求{an}的通项公式; (2)设{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn. 解:(1)设 q 为等比数列{an}的公比, 则由 a1=2,a3=a2+4,

得 2q2=2q+4,即 q2-q-2=0, 解得 q=2 或 q=-1(舍去),因此 q=2. 所以{an}的通项公式为 an=2·2n-1=2n(n∈N*). (2)∵{bn}是等差数列,b1=1,d=2, ∴Sn=a1+a2+…+an+b1+b2+…+bn =
2 ?1 ? 2n ? 1? 2

+n×1+

n ? n ? 1? ×2 2

=2n+1+n2-2. 考点三 等比数列与其他知识的综合问题 1.(2011 年江西卷,文 21)(1)已知两个等比数列{an},{bn},满足 a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3,若数列{an}唯一,求 a 的值; (2)是否存在两个等比数列{an},{bn},使得 b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4 成公差不为 0 的等 差数列?若存在,求{an},{bn}的通项公式;若不存在,说明理由. 解:(1)设等比数列{an}的公比为 q, 2 则 b1=1+a,b2=2+aq,b3=3+aq , 2 2 由 b1,b 2,b3 成等比数列,得(2+aq) =(1+a)(3+aq ), 即 aq2-4aq+3a-1=0, (*) 由 a>0 得Δ =4a2+4a>0,故方程(*)有两个不同的实数根, 再由{an}唯一,知方程(*)必有一根为 0,将 q=0 代入方程(*)得 a= . (2)假设存在两个等比数列{an},{bn}使 b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4 成公差不为 0 的等差 数列,设等比数列{an}的公比为 q1,等比数列{bn}的公比为 q2, 则 b2-a2=b1q2-a1q1,
2 b3-a3=b1 q2 -a1 q12 , 3 b4-a4=b1 q2 -a1 q13 ,

1 3

∵b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4 成等差数列,得
? ?2 ? b2 ? a2 ? ? b1 ? a1 ? ? b3 ? a3 ? ? ? ?2 ? b3 ? a3 ? ? b2 ? a2 ? ? b4 ? a4 ?
?2 ? b1q2 ? a1q1 ? ? b1 ? a1 ? ? b1q2 2 ? a1q12 ? ? 即? 2 2 3 3 ? ?2 ? b1q2 ? a1q1 ? ? b1q2 ? a1q1 ? ? b1q2 ? a1q1 ?

2 2 ? ?b1 ? q2 ? 1? ? a1 ? q1 ? 1? ? 0, ① 即? 2 2 ? ?b1q2 ? q2 ? 1? ? a1q1 ? q1 ? 1? ? 0, ②

①×q2-②得 a1(q1-q2)(q1-1) 2=0, 由 a1≠0 得 q1=q2 或 q1=1. (ⅰ)当 q1=q2 时由①②得 b1=a1 或 q1=q2=1, 这时(b2-a2)-(b1-a1)=0 与公差不为 0 矛盾. (ⅱ)当 q1=1 时,由①②得 b1=0 或 q2=1, 这时(b2-a2)-(b1-a1)=0 与公差不为 0 矛盾. 综上所述,不存在两个等比数列{an}{bn}使 b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4 成公差不为 0 的等 差数列. 2.(2012 年山东卷,文 20)已知等差数列{an}的前 5 项和为 105,且 a10=2a5. (1)求数列{an}的通项公式 ; (2)对任意 m∈N*,将数列{an}中不大于 72m 的项的个数记为 bm,求数列{bm}的前 m 项和 Sm. 解:(1)设数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Tn, ∵T5=105,a10=2a5, ∴? ?
?5a1 ? 10d ? 105, ? ?a1 ? 9d ? 2 ? a1 ? 4d ? ,

解得 a1=7,d=7, ∴an=7+(n-1) ·7=7n(n∈ N*). * 2m (2)对 m∈ N 由 an=7n≤7 , 2m-1 得 n≤7 , 2m-1 即 bm=7 =7·49m-1 ∴数列{bm}是首项为 7,公比为 49 的等比数列, ∴Sm=
7 ?1 ? 49m ? 1 ? 49

=

7 7 2 m ?1 ? 7 (49m-1)= . 48 48

3.(2011 年山东卷,文 20)等比数列{an}中,a1,a2,a3 分别是下表第一、二、三行中的 某一个数,且 a1,a2,a3 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第一行 3 2 第二行 6 4 第三行 9 8 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)nln an,求数列{bn}的前 2n 项和 S2n. 解:(1)当 a1=3 时,不合题意; 当 a1=2 时,当且仅当 a2=6,a3=18 时,符合题意; 当 a1=10 时,不合题意. 因此 a1=2,a 2=6,a3=18,所以公比 q=3. 故 an=2·3n-1.

第三列 10 14 18

n (2)因为 b n=an+(-1) ln an, =2×3n-1 +(-1)n ln(2×3n-1) n-1 n =2×3 +(-1) [ln 2+(n-1)ln 3]

=2×3n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nn ln 3. 所以 S2n=b1 +b2+…+b2n=2(1+3+…+32n-1)+[-1+1-1+…+(-1)2n](ln 2-ln 3)+[-1+2-3+… +(-1)2n2n]ln 3=2×
1 ? 32 n +nln 3=32n+nln 3-1. 1? 3

模拟试题

考点一 等比数列的通项与性质 1.(2013 山师大附中模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10, 则 a4a5a6 等于( (A)5 2 )

(B)7 (C)6 (D)4 2

解析:由 a1a2a3=5,a7a8a9=10,且各项均为正数,
3 3 得 a2 =5, a8 =10, 3 又 a4a5a6= a5 , 3 3 所以 a2 a8 =5×10=50,
3 3 3 6 即 a2 = 50, a8 =(a2a8) = a5

3 所以 a5 = 50 =5 2 .

故选 A. 答案:A 2.(2013 山东实验中学模拟)在各项均为正数的等比数列{an}中,a3= 2 -1,a5= 2 +1, 则 a32 +2a2a6+a3a7 等于( )

(A)4 (B)6 (C)8 (D)8-4 2

解析:在等比数列中,a3a7= a52 ,a2a6=a3a5, 所以 a32 +2a2a6+a3a7= a32 +2a3a5+ a52 =(a3+a5)2 =( 2 -1+ 2 +1)2 =(2 2 )2=8. 故选 C. 答案:C 3.(2012 济南一中模拟)已知等比数列{an}的公比 q 为正数,且 2a3+a4=a5,则 q 的值为 ( (A) )
3 (B)2 2

(C)

5 2

(D)3

解析:由 2a3+a4=a5, 得 2a1q2+a1q3=a1q4, 又 q>0,a 1≠0, 2 ∴q -q-2=0, ∴q=2,故选 B. 答案:B 4.(2011 北京顺义模拟)已知等比数列{an}中,a2= ,a3= ,ak= (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解析:依题意,设公比为 q,则由 a2= ,a3= ,得 q= ,a1=1, ak=( )k-1= 答案:C 5.(2012 北京昌平模拟)已知数列{an}满足:a1=1,a2=2,2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N*),数 列{bn}满足 b1=2,anbn+1=2an+1bn. (1)求数列{an}的通项 an;
bn ? (2)求证:数列 ? ? ? 为等比数列,并求数列{bn}的通项公式. ?n?
1 2 1 ,解得 k=7,故选 C. 64 1 2 1 4 1 2 1 2 1 4 1 ,则 k 等于( 64

)

解:(1)∵2an=an-1+an+1,∴数列{an}为等差数列. 又 a1=1,a2=2,所以 d=a2-a1=2-1=1,

数列{an}的通项 an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×1=n. (2)∵an=n,∴nbn+1=2(n+1)bn,∴
bn ?1 b =2· n , n ?1 n

b1 bn ? 所以数列 ? ? ? 是以 =2 为首项,q=2 为公比的等比数列,

?n?

1



bn =2×2n-1,∴bn=n·2n. n

考点二 等比数列的前 n 项和及性质 1.(2013 潍坊市联考)设等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,已知 S3=8,S6=7,则 a7+a8+a9 等于( (A)
1 8

) (B)- (C)
1 8 57 55 (D) 8 8

解析:因为 a7+a8+a9=S9-S6, 在等比数列中 S3,S6-S3,S9-S6 也成等比数列, 即 8,-1,S9-S6 成等比数列,所以有 8(S9-S6)=1, 即 a7+a8+a9=S9-S6= .故选 A. 答案:A 2.(2013 北京昌平区期末)设 Sn 是公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和,且 S1,S2,S4 成等比数列,则
a2 等于( a1
1 8

)

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:因为 S1,S2,S4 成等比数列, 所以 S1S4= S22 ,即 a1(4a1+6d)=(2a1+d)2, 即 d2=2a1d,d=2a1, 所以
a2 a1 ? d a1 ? 2a1 = = =3.故选 C. a1 a1 a1

答案:C

3.(2011 江西抚州市高三模拟)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S1、S3、S2 成等差数 列,则{an}的公比等于( (A)1 (B)
1 2

)
1? 5 2

(C)- (D)

1 2

解析:设等比数列{an}的公比为 q, 由 2S3=S1+S2,得 2(a1+a1q+a1q2)=a1+a1+a1q, 整理得 2q2+q=0, 解得 q=- 或 q=0(舍去).故选 C. 答案:C 4.(2012 温州市八校联考)已知等比数列{an}满足 an>0(n∈N*),且 a5a2n-5=22n(n≥3), 则当 n≥1 时,log ) 2a1+log2a3+log2a5+…+log2a2n-1 等于( 2 2 (A)(n+1) (B)n (C)n(2n-1) (D)(n-1)2
2 解析:由等比数列的性质可知 a5a2n-5= xn ,

1 2

又 a5a2n-5=22n,所以 an=2n. 又 log2a2n-1=log222n-1=2n-1,
?1 ? ? 2n ? 1?? ? n =n2,故选 B. 所以 log2a1+log2a3+log2a5+…+log2a2n-1=1+3+5+…+(2n-1)= ? 2

答案:B 5.(2012 潍坊联考)已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6, 则数列 ? (A)
?1? ? 的前 5 项和为( ? an ?

)
85 2

85 31 15 (B) (C) 16 8 32

(D)

解析:设等比数列{an}的公比为 q, ∵9S3=S6, ∴8(a1 +a2+a3)=a4+a5+a6, 3 ∴8=q ,即 q=2, ∴an=2n-1,



1 ? 1 ? n-1 =? ? , an ? 2 ?
?1? ?1? 1 ? 是首项为 1,公比为 的等比数列,故数列 ? ? 的前 5 项和为 2 ? an ? ? an ?

∴数列 ?

? ? 1 ?5 ? 1? ?1 ? ? ? ? ? ?2? ? ? 31 ? = .故选 B. 1 16 1? 2

答案:B 6.(2013 北京市海淀区期末)数列{an}满足 a1=2,且对任意的 m,n∈N*,都有 则 a3= 解析:由 ;{an}的前 n 项和 Sn=
an ? m a =an 可得 2 =a1, am a1 an ? m =an, am

.

所以 a2= a12 =22=4. 所以 a3=a1a2=2×4=8. 由
an ? m a =an 得 n ? m =am, am an an ?1 =a1=2, an

令 m=1,得

即数列{an}是公比为 2 的等比数列, 所以 Sn=
a1 ?1 ? q n ? 1? q

=

2 ?1 ? 2n ? 1? 2

=2n+1-2.

答案:8 2n+1-2 7.(2013 云南师大附中质检)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且有 a1=2,Sn=2an-2. (1)求数列 an 的通项公式; (2)若 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)∵Sn=2an-2, ∴Sn-1=2an-1-2(n≥2), ∴an=2an-1,

an =2(n≥2). an?1

又∵a1=2, ∴{an}是以 2 为首项 ,2 为公比的等比数列, n ∴an=2·2n-1 =2 . (2)bn=n· 2n, 2 1 n Tn=1·2 +2 ·2 +3 ·23+…+n·2 , 2 3 n 2Tn=1·2 +2·2 +…+(n-1)·2 +n·2n+1. 两式相减得,-Tn=21+22+…+2n-n·2n+1, ∴-Tn=
2 ?1 ? 2n ? 1? 2

-n·2n+1=(1-n)·2n+1-2,

∴Tn=2+(n-1)·2n+1. 考点三 等比数列与其他知识的综合
2 1.(2012 杭州师大附中模拟)已知数列{an}为等比数列,且 a1a13+2 a7 =4π ,则 tan(a2a12)

的值为(

) (C) 3 (D)3 3

(A)± 3 (B)- 3

2 2 解析:∵a1a13= a7 ,a2a12= a7 , 2 ∴ a7 =

4π , 3 4π π =tan = 3 ,故选 C. 3 3

∴tan(a2a12)=tan 答案:C

2.(2012*安徽六校联考)数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线 y=3x+1 上,n∈N . (1)当实数 t 为何值时,数列{an}是等比数列? (2)在(1)的结论下,设 bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn 是数列{cn}的前 n 项和,求 Tn. 解:(1)∵点(Sn,an+1)在直线 y=3x+1 上, ∴an+1=3Sn+1,an=3Sn-1+1(n>1), an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an, ∴an+1=4an, a2=3S1+1=3a1+1=3t+1, ∴当 t=1 时,a2=4a1,数列{an}是等比数列 . (2)在(1)的结论下,an+1=4an,an+1=4n, bn=log4an+1=n, cn=an+bn=4n-1+n,

Tn=c 1+c2+…+cn 0 =(4 +1)+(41+2)+…+(4n-1+n) =(1+4+42+…+4n-1)+(1+2+3+…+n) =
4n ? 1 ?1 ? n ? n + . 3 2

3.(2012 河北唐山模拟)在等比数列{an}中,a2a3=32,a5=32. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,求 S1+2S2+…+nSn. 解:(1)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,依题意得
2 ? ? a1q ? a1q ? 32, ? 4 ? ? a1q ? 32,

解得 a1=2,q=2, ∴an=2·2n-1=2n. (2)∵Sn 表示数列{an}的前 n 项和, ∴Sn=
2 ?1 ? 2n ? 1? 2

=2(2n-1),

∴S1+2S2+…+nSn=2[(2+2·22+…+n·2n)-(1+2+…+n)]=2(2+2·22+… +n·2n)-n(n+1), 设 Tn=2+2 ·22+… +n·2n① 2 3 则 2Tn=2 +2·2 +…+n·2n+1② ①-②,得-Tn=2+22+…+2n-n·2n+1 =
2 ?1 ? 2n ? 1? 2

-n·2n+1

=(1-n)2n+1-2, ∴Tn=(n-1)2n+1+2, ∴S1+2S2+…+nSn=2[(n-1)2n+1+2]-n(n+1) =(n-1)2n+2+4-n(n+1). 综合检测 1.(2012 长春模拟)在等比数列{an}中,an+1<an,a2·a8=6,a4+a6=5,则
a5 等于( a7

)

(A)

5 6

(B)

6 5

(C)

2 3

(D)

3 2

解析:由已知 ? 解得 ? ∴q2= 则

? a2 ? a8 ? 6, ? a ? a ? 6, 得? 4 6 ? a4 ? a6 ? 5, ? a4 ? a6 ? 5,

? a4 ? 3, ?a ? 2, 或? 4 3 , ? a6 ? 2, ?a6 ? (舍去)

a6 2 = , a4 3

a5 a1q 4 1 2 = = = .故选 D. a7 a1q 6 q 2 3

答案:D 2.(2012 湖北八市联考)如果数列 a1, 比数列,那么 a5 等于( (A)32 (B)64 (C)-32 (D)-64
an =(- 2 )n-1, an ?1 a a2 a3 , ,…, n ,…是首项为 1,公比为- 2 的等 a1 a2 an ?1

)

解析:由已知得 则
a2 =- 2 , a1

a3 =(- 2 )2, a2 a4 =(- 2 )3, a3 a5 =(- 2 )4, a4

以上四式相乘得

a a a2 a · 3 · 4 · 5 =(- 2 )1+2+3+4, a1 a2 a3 a4

解得 a5=32.故选 A.

答案:A 3.(2013 莱州一中质量检测)在等比数列{an}中,an>0,且 a1·a2…a7·a8=16,则 a4+a5 的最小值为 . 解析:在等比数列中 , 由 a1·a2…a7·a8=16, 4 得(a4a5) =16, 所以 a4a5=2,又 an>0, 所以 a4+a5≥2 a4 a5 =2 2 , 当且仅当 a4=a5 时,取等号,所以 a4+a5 的最小值为 2 2 . 答案:2 2 4.(2013 潍坊市联考)已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,首项为 a1,且
1 ,an,Sn 成等差数列. 2

(1)求数列{an}的通项公式;
bn 1? n (2)若 a = ? ? ? ,设 cn= a ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. ?2? n
2 n
b

解:(1)由题意知 2an=Sn+ ,an>0, 当 n=1 时,2a1=a1+ ,∴a1= . 当 n≥2 时,Sn=2an- , Sn-1=2an-1- , 两式相减得 an=2an-2an-1, 整理得
an =2, an?1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

∴数列{an}是以 为首项,2 为公比的等比数列. an=a1·2n-1= ×2n-1=2n-2.
2 (2) an = 2? b =22n-4,
n

1 2

∴bn=4-2n, ∴cn=
bn 4 ? 2n = n?2 , 2 an

即 cn=

2?n . 2 n ?3

则 Tn=c1+c2+c3+…+cn,
1 0 ?1 2?n + ? 1 + 0 + …+ n ? 3 . ?2 2 2 2 2 1 1 0 ?1 2?n ∴ Tn= ?1 + 0 + +…+ n ? 2 , 2 2 2 2 2 1 1 ?1 ?1 2 ? n 则 Tn=4+ ?1 + 0 +…+ n ?3 - n ? 2 . 2 2 2 2 2 1 1 1 n?2 Tn=8-( ?2 + ?1 +…+ n ? 4 )+ n ? 2 2 2 2 2

即 Tn=

? ? 1 ? n ?1 ? 4 ?1 ? ? ? ? ? ?2? ? ? +n?2 =8- ? 1 2n?2 1? 2 1 n?2 =8-8(1- n ?1 )+ n ? 2 2 2 8 n?2 = n ?1 + n ? 2 2 2 4 n?2 n?2 = n?2 + n?2 = n?2 . 2 2 2 n?2 即 Tn= n ? 2 . 2


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