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2011数值分析第一次作业及参考答案


数值计算方法第一次作业及参考答案
1. 已测得函数 y = f ( x) 的三对数据: (0,1)(-1,5)(2,-1) , , , (1)用 Lagrange 插值求二次插值多项式。 (2)构造差商表。 (3)用 Newton 插值求二次插 值多项式。 解:(1)Lagrange 插值基函数为

l0 ( x) =

( x + 1)( x ? 2) 1 = ? ( x + 1)( x ? 2) (0 + 1)(0 ? 2) 2
1 1 x( x ? 2), l2 ( x) = x( x + 1) 3 6

同理

l1 ( x) =



2 1 5 ?1 p2 ( x) = ∑ yi li ( x) = ? ( x + 1)( x ? 2) + x( x ? 2) + x( x + 1) 2 3 6 i =0

= x 2 ? 3x + 1
(2)令 x0 = 0, x1 = ?1, x2 = 2 ,则一阶差商、二阶差商为

f [ x0 , x1 ] =

1? 5 = ?4, 0 ? (?1) ?4 ? (?2) =1 0?2

f [ x1 , x2 ] =

5 ? (?1) = ?2 ?1 ? 2

f [ x0 , x1 , x2 ] =

实际演算中可列一张差商表:

xi
0 -1 2

yi
一阶差商 1 5 -1 -4 -2 1 二阶差商

(3)用对角线上的数据写出插值多项式

P2 ( x) = 1 + (?4)( x ? 0) + 1* ( x ? 0)( x + 1) = x 2 ? 3 x + 1

x 2. 在 ?4 ≤ x ≤ 4 上给出 f ( x ) = e 的等距节点函数表,若用二次插值求 e 的近似值,要使
x ?6

截断误差不超过 10 ,问使用函数表的步长 h 应取多少?

解:

f ( x) = e x ,

f ( k ) ( x) = e x ≤ e4 , x ∈ [?4, 4], 考察点x0 ? h, x0 , x0 + h及x = x0 + th, t ≤ 1.

1

则 R2 ( x) = ≤

f (3) (ξ ) 3!

[( x ? ( x0 ? h)]( x ? x0 )[ x ? ( x0 + h)]

t (t ? 1)(t + 1) 4 3 e4 eh (t + 1)h ? th ? (t ? 1)h = 3! 3! e4 2 3 ≤ ? h. ξ ∈ (?4, 4). 6 3 3
(Q t (t ? 1)(t + 1) 在点 ± 1 2 处取到极大值 ) 3 3 3

e4 3 令 h < 10?6 得 h < 0.006. 9 3
3. 求 f ( x) = x 2 在[a,b]上的分段线性插值函数 I h ( x) ,并估计误差。

解: I h ( x) = ?
2 x ? xk +1 2 x ? xk 2 x 2 ? xk +1 xk + xk +1 = k x xk ? xk +1 xk +1 ? xk xk ? xk +1

xk +1 ? xk2 ? xk ? xk2+1 = ( xk + xk +1 ) x ? xk xk +1 xk ? xk +1

Rh ( x) = f ( x) ? I h ( x) = x 2 ? [( xk + xk +1 ) x ? xk xk +1 ] = ( x ? xk )( x ? xk +1 ) ≤ 1 1 2 [ xk +1 ? xk ] = h2 4 4

4. 已知单调连续函数 y = f ( x) 的如下数据

xi f ( xi )

-0.11

0.00

1.50 1.17

1.80 1.58

-1.23

-0.10

用插值法计算 x 约为多少时 f ( x ) = 1. (小数点后至少保留 4 位)

解:作辅助函数 g ( x) = f ( x) ? 1, 则问题转化为 x 为多少时, g ( x) = 0. 此时可作新 的关于 g ( xi ) 的函数表。由 f ( x) 单调连续知 g ( x) 也单调连续,因此可对 g ( x) 的数 值进行反插。的牛顿型插值多项式为
x = g ?1 ( y ) = ?0.11 + 0.097345( y + 2.23) + 0.451565( y + 2.23)( y + 1.10) ? 0.255894( y + 2.23)( y + 1.10)( y ? 0.17)



x = g ?1 (0) = 1.321497.

2

5. 设函数 f ( x ) 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法,求一个次数不高于 3 的多项式 P3 ( x) ,使其满足 P3 (0) = 0 , P3 (1) = 1 , P3 '(1) = 3 , P3 (2) = 1 。并写出误差 估计式。

5 7 解:由所给条件可用埃尔米特插值法确定多项式 P3 ( x) , p3 ( x) = ? x 3 + 7 x 2 ? x 2 2 x( x ? 1) 2 α1 ( x) = ? x( x ? 2); β1 ( x) = ? x( x ? 1)( x ? 2); α 2 ( x) = ; 2

由题意可设 R ( x) = f ( x) ? p3 ( x) = k ( x) x( x ? 1) 2 ( x ? 2) 为确定待定函数 k ( x) ,作辅助函数: g (t ) = f (t ) ? p3 (t ) ? k (t )t (t ? 1) 2 (t ? 2) 则 g (t ) 在[0,3]上存在四阶导数且在[0,3]上至少有 5 个零点 t = x, 0,1, 2(t = 1 为二 重零点) ,反复应用罗尔定理,知至少有一个零点 ξ ∈ (0, 3) 使 g 4 (ξ ) = 0 ,从而得
k ( x) = 1 (4) f (ξ ) 。 4! 1 (4) f (ξ ) x( x ? 1)2 ( x ? 2) 4!

故误差估计式为 R ( x) =

ξ ∈ (0,3)

6. 设函数 y = f ( x) 在节点 x = 0,1, 2,3 的函数值均为零,试分别求满足下列边界条件下的 三次样条插值函数 S ( x ) : (1) f ' (0) = 1, f ' (3) = 0 (2) f '' (0) = 1, f '' (3) = 0

解: (1)取 xi 处的一阶导数 mi 作为参数, i = 1, 2 。由于

λi =

hi 1 1 = , ?i = 1 ? λi = , gi = 3(λi f [ xi ?1 , xi ] + ?i f [ xi , xi +1 ]) = 0 hi ?1 + hi 2 2

以及由三转角方程 λi mi ?1 + 2mi + ?i mi +1 = g i , i = 1, 2
1 ?1 ? 2 m0 + 2m1 + 2 m2 = 0 ? ? ? 1 m + 2m + 1 m = 0 2 3 ?2 1 ? 2



?4m + m2 = ?1 由于 m0 = 1, m3 = 0, 从而 ? 1 ? m1 + 4m2 = 0

解之可得 m1 = ?4 /15, m2 = 1/15

3



x ∈ [0,1] ? x( x ? 1)(15 ? 11x) /15, ? S ( x) = ? ( x ? 1)( x ? 2)(7 ? 3x) /15, x ∈ [1, 2] ?( x ? 3) 2 ( x ? 2) /15, x ∈ [2,3] ?

(2)取 xi 处的二阶导数 M i 作为参数, i = 1, 2 。由于

?i =

hi ?1 1 1 = , λi = 1 ? ?i = , di = 6 f [ xi ?1 , xi , xi +1 ] = 0 hi ?1 + hi 2 2

以及由三弯矩方程 1 ?1 ? 2 M 0 + 2M 1 + 2 M 2 = 0 ? i = 1, 2 ? ? ? 1 M + 2M + 1 M = 0 2 3 ?2 1 ? 2

?i M i ?1 + 2 M i + λi M i +1 = di

由于 M 0 = 1, M 3 = 0, 代入方程可得 M 1 = ?4 /15, M 3 = 1/15,



x ∈ [0,1] ? x(1 ? x)(19 x ? 26) / 90, ? S ( x) = ? ( x ? 1)( x ? 2)(5 x ? 12) / 90, x ∈ [1, 2] ?(3 ? x)( x ? 2)( x ? 4) / 90, x ∈ [2,3] ?

7.编程实现题: 略。 8、试求 f ( x ) = sin x,

x ∈ [0, ] 最佳一次一致逼近多项式。 2

π

解:因为 f '' ( x) = ? sin x 在 [0, π / 2] 内不变号,故最佳一次一致逼近多项式为
P* ( x) = [ f (0) + f ( x1 )] / 2 + a1 ( x ? x1 / 2) 1

式中 a1 = 从而

f (π / 2) ? f (0) 2 = = 0.63661977 a1 = f ' ( x1 ) = cos x1 ? x1 = 0.88068924 π /2?0 π

P* ( x) = (sin x1 ) / 2 + a1 ( x ? x1 / 2) = 0.10525683 + 0.63661977 x 1

9、 给定 f ( x ) = x 4 + x 3 ? 1 , 试利用最小零偏差定理, 即切比雪夫多项式的最小零偏差性质, 在 [0,1] 上求 f ( x ) 的三次最佳一致逼近多项式。

(T2 ( x) = 2 x 2 ? 1, T3 ( x) = 4 x 3 ? 3 x, T4 ( x) = 8 x 4 ? 8 x 2 + 1)

解:令 t = 2 x ? 1 ? f ( x) = f (

t +1 t +1 4 t +1 3 )=( ) + 3( ) ? 1. 2 2 2
4

设 P3* ( x) 为 f ( x) 在 [0,1] 上的三次最佳一致逼近多项式, 由于 f ( 数为
1 ,故 24

t +1 ) 的首项系 2

16[ f (

t +1 t +1 1 ) ? P3* ( )] = 4 ?1 T4 (t ) 2 2 2 t +1 t +1 4 t +1 3 1 ? P3* ( )=( ) +( ) ?1 ? (8t 4 ? 8t 2 + 1) 2 2 2 16 × 8 1 ? P3* ( x) = ( x 4 + 3 x 3 ? 1) ? [8(2 x ? 1) 4 ? 8(2 x ? 1) 2 + 1] 16 × 8 5 1 129 = 3x3 ? x 2 + x ? . x ∈ [0,1] 4 4 128

10 、 设 ?1 = span {1, x} , ? 2 = span x100 , x101 , 分 别 在 ?1、? 2 上 求 一 函 数 , 使 其 为

{

}

x 2 ∈ C[0,1] 的最佳平方逼近,并比较其结果。 解: * * (1)设?1* = a0 + a1 x
1 1 1 因 (? 0 , ? 0 ) = ∫ 12 dx = 1, (? 0 , ?1 ) = ∫ xdx = , 0 0 2 1 1 1 (?1 , ?1 ) = ∫ x 2 dx = , (?1 , ? 0 ) = , 0 3 2 1 1 1 1 ( f , ? 0 ) = ∫ x 2 ?1dx = , ( f , ?1 ) = ∫ x 2 ? xdx = , 0 0 3 4 ? * 1 * 1 1 ? * ? a + a = 1 ? 0 2 1 3 ?a0 = ? * ?? ?? 6 ? ?1 ( x) = ? + x 6 * ? 1 a* + 1 a* = 1 ? a1 = 1 ? 0 1 ?2 3 4 ?

δ1 2 = f
2

2 2

* ? ∑ ak ( f , ? k ) ≈ 0.00556 k =0

1

5

* * (2)设? 2 ( x) = b0 x100 + b1* x101 1 1 1 , (? 0 , ?1 ) = (?1 , ? 0 ) = ∫ x100 ? x101dx = , 0 0 201 202 1 1 1 1 1 1 (?1 , ?1 ) = ∫ ( x101 )2 dx = , ( f , ? 0 ) = ∫ x102 dx = , ( f , ?1 ) = ∫ x103 dx = . 0 0 0 203 103 104 1 * 1 ? 1 * ? 201 b0 + 202 b1 = 103 ? b* ≈ 375.24253 ? ?? ? ? *0 ?b1 ≈ ?375.14825 ? 1 b* + 1 b* = 1 ? 202 0 203 1 104 ? * ? ? 2 ( x) = 375.24253 x100 ? 375.14825 x101.

(? 0 , ? 0 ) = ∫ ( x100 )2 dx =

1

δ2 2 = f
2

* ? ∑ bk ( f , ? k ) = ∫ x 4 dx ? [375.24253 × 2 2 1 k =0 0

1

1 1 ? 375.14825 × ] ≈ 0.16406 103 104

由结果知(1)比(2)好。
11、用最小二乘法求一个形如 y = a + bx 2 的经验公式,使它与下列数据拟合,并计算均方 误差。 19 19.0 25 32.3 31 49.0 38 73.3 44 97.8

xi yi 解:

因 ? 0 ( x) = 1, ?1 ( x) = x 2 .有(? 0 , ? 0 ) = ∑ ? 02 ( xi ) =∑12 =5,
i =0 i=0

4

4

(? 0 , ?1 ) = (?1 , ? 0 ) = ∑ ? 0 ( xi )?1 ( xi ) =∑ xi2 = 5327,
i=0 i =0

4

4

(?1 , ?1 ) = ∑ ?1 ( xi )?1 ( xi ) =∑ xi4 = 7277699,
i =0 4 i=0

4

4

(? 0 , y ) = ∑ ? 0 ( xi ) yi =∑ yi = 271.4,
i =0 4 i =0 4

4

(?1 , y ) = ∑ ?1 ( xi ) yi =∑ xi2 yi = 369321.5,
i =0 i =0

? 5a + 5327b = 271.4 ?a = 0.9726045 ?? ?? ?5327 a + 7277699b = 369321.5 ? b = 0.0500351 ? y = 0.9726045 + 0.0500351x 2 .

δ δ

2 2 2

= y 2 ? a (? 0 , y ) ? b(?1 , y ) = 0.016954.
2

= 0.130207526.

6

12、用格拉姆-施密特方法构造正交多项式求 f ( x ) = sin π x 在[0,1]上的二次最佳平方 逼近多项式。 (参考讲义与参考书) 解: 构造正交多项式

? 0 (x) = 1

α1

( x? 0 , ? 0 ) = = (? 0 , ? 0 )

∫ ∫

1

0 1 0

xdx 1d x
1

=

1 2

?1 ( x) = x ?α1 = x ?

1 2

α

2

( x? 1 , ? 1 ) = = (? 1 , ? 1 )



1 2 ) dx 1 2 = 1 1 2 2 ∫0 ( x ? 2 ) d x
0

x(x ?

β

2

=

(? 1 , ? 1 ) = (? 0 , ? 0 )



1 0

(x ?
0

1 2 ) dx 1 2 = 1 12 ∫ 1d x
1 2 1 1 = x2 ? x + 12 6

? 2 ( x ) = ( x ? α 2 )?1 ( x ) ? β 2? 0 ( x ) = ( x ? ) 2 ?
于是

(? 0 , ? 0 ) =
(? 2 , ? 2 ) =

∫ 1dx =1
0

1

(? 1 , ? 1 ) =



1 0

(x ?

1 2 1 ) dx = 2 12



1 1 ( x 2 ? x + ) 2 dx = 0 6 180
1

( f ,? 0 ) =



1 0

s in π x d x =

2

π

1 1 ( f , ?1 ) = ∫ ( x ? )sin π xdx = 0 0 2

1 1 π 2 ? 12 ( f , ? 2 ) = ∫ ( x 2 ? x + ) sin π xdx = 0 6 3π 3

所以,

f ( x) = sin π x 在[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式为

? (x) =

( f ,? 0 ) ( f ,?1) ( f ,? 2 ) ? 0 (x) + ?1(x) + ? 2 (x) (? 0 , ? 0 ) (? 1 , ? 1 ) (? 2 , ? 2 )

≈ ? 4 .1 2 2 5 x 2 + 4 .1 2 2 5 x ? 0 .0 5 0 4 7
13、求 f ( x) = e x 在[-1,1]上的三次最佳平方逼近多项式。 (参考讲义与参考书,利用 Legendre 正交多项式) 解 先计算 ( f , Pk )

( k = 0,1, 2, 3) 。
1 ≈ 2.3504 ; e

( f , P0 ) = ∫

1 ?1

ex d x = e ?
1 ?1

( f , P1 ) =



xe x d x = 2 e ?1 ≈ 0 . 7358 ;

7

( f , P2 ) = ∫
( f , P3 ) =
又有

1 ?1

7 ?3 2 1? x ? x ? ?e d x = e ? ≈ 0.1431 ; 2? e ?2
1



?1

1 ?5 3 3 ? x ? x ? x ? e d x = 37 ? 5 e ≈ 0 . 02013 . ; 2 ? e ?2

* a0 = ( f , P0 ) / 2 = 1.1752 ,

a 1* = 3 ( f , P1 ) / 2 = 1 . 1036

* * a 2 = 5 ( f , P2 ) / 2 = 0 . 3578 , a 3 = 7 ( f , P3 ) / 2 = 0 . 07046 ,


* S 3 ( x ) = 1 .1 7 5 2 + 1 .1 0 3 6 x + 0 .3 5 7 8 ×

1 1 (3 x 2 ? 1) + 0.0 7 0 4 6 × (5 x 3 ? 3 x ) 2 2 2 3 = 0 .9 9 6 3 + 0 .9 9 79 x + 0 .5 36 7 x + 0 .1 7 6 1 x

均方误差

δ
=

n

2

=
1 ?1

e

x

? S 3* ( x )

2



e2x d x ?



3

k =0

2 * a k 2 ≤ 0 .0 0 8 4 2k + 1

14、 A、B、C 三点连成一条直线,AB 长为 x1 ,BC 长为 x2 ,某人测量的结果为 x1 = 15.5 米,

x2 = 6.1 米, 为控制丈量的准确性, 又测量 AC = x1 + x2 = 20.9 米, 试合理地决定 x1 和 x2 的
长度。 (小数点后取四位有效数字)
* * * * 解:令 x1 为 AB 的所求值, x2 为 BC 的所求值,则 x1 = 15.5 = x1 + ε1 , x2 = 6.1 = x2 + ε 2 ,
* * * * * x1 + x2 = 20.9 = x1 + x2 + ε 3 . 故ε1 = 15.5 ? x1 , ε 2 = 6.1 ? x2 , ε 3 = 20.9 ? ( x1* + x2 ).

在最小二乘意义下,要 f = ε1 + ε 2 + ε 3 达到极小,
2 2 2 * * * * 即求 f = ( x1 ? 15.5) 2 + ( x2 ? 6.1) 2 + ( x1 + x2 ? 20.9) 2 的极小点。



?f * * * = 2( x1 ? 15.5) + 2( x1 + x2 ? 20.9) = 0, * ?x1
* 解的 x1 = 15.2667,

?f * * * = 2( x2 ? 6.1) + 2( x1 + x2 ? 20.9) = 0, * ?x2

* x2 = 5.8667 。故应取 x1 ≈ 15.2667, x2 ≈ 5.8667 。

x 15、求函数 f ( x ) = e 在区间[-1,1]上的近似 3 次最佳一致逼近多项式有哪几种方法?

8

选一种方法解本题,并估计误差。 (参考讲义与参考书) 解:三种方法,见参考讲义。 (1) 截断切比雪夫级数 由富利叶级数系数公式得
* Ck =

π∫

2

π

0

ecosθ cos kθ dθ ,

它可用数值积分方法计算,得到
* C0 = 2.53213176 C1* =1.13031821 , , * C2 = 0.27149534 , * C3 = 0.04433685 ,



* C n ( x) =

* C0 + 2



n

k =1

* C k T k ( x ),

及T k

( x ) 的公式得到

* C 3 ( x ) = 0.9 94571 + 0.997308 x + 0.5429 91 x 2 + 0.177347 x 3 ,

* ex ? C3 (x)



≈ 0 .0 0 6 0 7 .
2k ? 1 π 8

(2) 拉格朗日插值余项的极小化 由 T 4 ( x ) 的 4 个零点 做插值点可求得

xk = co s

( k = 1, 2 , 3, 4 )

L3 ( x) = 0.994584 + 0.998967x + 0.542900x 2 + 0.175176x 3 ,
e x ? L3 ( x)


= 0 . 00666 .

(3) 台劳级数项数的节约 应用 e
x

的台劳展开,取 n = 6,得

P6 ( x ) = 1 + x +
作为 e
x

1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 x + x + x + x + x . 2 6 24 120 720

的近似,其误差为

?1≤ x ≤1

max

e

x

? P6 ( x ) ≤

e < 5 . 3934 7!
x5 =

× 10

?4



由于

x6 =


1 3 9 2 1 T6 ( x ) + x 4 ? x + , 32 2 16 32

1 5 3 5 T5 (x) + x ? x, 16 4 16

P6 ( x ) = M
其中

6,4

(x) +

1 1 1 1 ? T5 ( x ) + ? T 6 ( x ), 120 16 720 32

9

M 6 , 4 ( x ) = 1.0000434 + 0.9973958 x + 0.4996094 x 2
+ 0 . 1770833 x 3 + 0 . 043750 x 4 .
用 M 6, 4 ( x) 做 e
x

的逼近多项式,其误差为

?1≤ x ≤1

max e x ? M
4

6,4

( x ) ≤ 0 . 0005393 +
x
2

1 1 + 1920 23040

若再用 x

=

1 T 8

4

( x ) +

?

1 代入 M 6, 4 ( x) 可求出 8

M

6 ,3

( x ) = 0 . 994575 + 0 . 997396 x + 0 . 542969 x 2 + 0 . 177083 x 3 ,
e
x

?1≤ x ≤1

max

? M

6 ,3

( x ) ≤ 0 . 00651

.

16.编出用正交多项式(格拉姆-施密特)作最小二乘拟合的程序或框图。 (参考讲义与参考书) 略。 17. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式 所具有的代数进度。 1) 2)




2h

?2 h
1

f ( x)dx ≈ A?1 f (?h) + A0 f (0) + A1 f (h);
f ( ?1) + 2 f ( x1 ) + 3 f ( x2 ) ; 3 解: (1)三个参数,代入

?1

f ( x ) dx ≈

8 ? ? ? A?1 = 3 h ? A?1 + A0 + A1 = 4h ? ? ?4 ? 2 f ( x) = 1, x, x , ? ? ? hA?1 + hA1 = 0 ? ? A0 = h 3 ? ? 16 8 ?(?h 2 ) A?1 + h 2 A1 = h3 ? 3 ? ? A1 = 3 h ? 2h 8h 4 8h Q ∫ x3 dx = (? h)3 ? h ? 03 + (h)3 = 0 ?2 h 3 3 3 2h 64 5 8h 4 8h 4 16 5 4 4 4 ∫?2h x dx = 5 h ≠ 3 h(?h) ? 3 h ? 0 + 3 (h) = 3 h 2h 8h 8h 4h ∴ ∫ f ( x)dx ≈ f ( ? h) + f (0) + f (h)具有三次代数精度. ?2 h 3 3 3

10

1 1 (2)当f ( x) = 1时, ∫ f ( x)dx = [ f (?1) + 2 f ( x1 ) + 3 f ( x2 )]. ?1 3 2 有两个参数,令f ( x) = x, x 精确成立

? 2 x + 3 x2 = 1 ? x1 = 0.68990 ? x = ?0.28990 ?? 1 ?? 或? 1 2 2 ?2 x1 + 3 x2 = 1 ? x2 = ?0.12660 ? x2 = 0.52660




1 ?1 1

1

?1

1 3 x3 dx ≠ [?1 + 2 x13 + 3 x2 ] 3

∫ 与∫


f ( x)dx ≈ [ f (?1) + 2 f (0.68990) + 3 f (?0.12660)] / 3 f ( x)dx ≈ [ f (?1) + 2 f (?0.28990) + 3 f (0.52660)] / 3

?1

均具有2次代数精度.
18、已知 x0 =

1 1 3 , x1 = , x3 = , 4 2 4

(1) 推导以这三个点为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式。 (2) 求上述求积公式的代数精确度。 (3) 用上述公式计算 解: (1)过 x0 =



1

0

x 2 dx 。

1 1 3 , x1 = , x3 = 三点的二次插值为 4 2 4 1 3 1 3 1 1 ( x ? )( x ? ) ( x ? )( x ? ) ( x ? )( x ? ) 1 1 2 4 f ( )+ 4 4 f ( )+ 4 2 f ( 3) L2 ( x) = 1 1 1 3 1 1 1 3 3 1 3 1 ( ? )( ? ) 4 ( ? )( ? ) 2 ( ? )( ? ) 4 4 2 4 4 2 4 2 4 4 4 4 2

故有



1

0

f ( x)dx ≈ ∫ L2 ( x)dx = ∑ Ak f ( xk )
1 0 k =0

2

1 3 1 3 ( x ? )( x ? ) ( x ? )( x ? ) 1 2 2 4 dx = , 4 4 dx = ? 1 , 其中 A0 = ∫ A1 = ∫ 0 1 0 1 1 1 3 1 1 3 3 3 ( ? )( ? ) ( ? )( ? ) 4 2 4 4 2 4 2 4 1 1 ( x ? )( x ? ) 1 4 2 dx = 2 A2 = ∫ 0 3 1 3 1 3 ( ? )( ? ) 4 4 4 2 1 1 1 1 3 故求积公式为 ∫0 f ( x)dx ≈ 3[2 f ( 4 ) ? f ( 2 ) + 2 f ( 4 )] = Q[ f ]
1

(2)因为上述由二次插值推出,故至少具有二次代数精度,将 f ( x ) = x 3 , x 4 代入有



1

0

x3 dx =

1 = Q[ x3 ] 4



1

0

x 4 dx =

1 37 ≠ Q[ x 4 ] = 5 192

故该求积公式的代数精度为 3 次。

11

(3)



1 1 1 3 1 x 2 dx ≈ [2 × ( ) 2 ? ( ) 2 + 2 × ( ) 2 ] = 0 3 4 2 4 3
1

19、如果要用复化梯形公式计算积分 I [ f ] =



b

a

f ( x)dx ,试问应将积分区间[a,b]分成多

少份,才能保证误差不超过 ε 。 解:已知将[a,b]分成 n 份的复化梯形公式的余项为

R[ f ] = ?
''

b ? a 2 '' (b ? a )3 '' h f (ξ ) = ? f (ξ ), ξ ∈ (a, b) 12 12n 2

记 M = max f ( x) ,则按要求应满足
a ≤ x ≤b

R[ f ] ≤

(b ? a )3 M ≤ε 12n 2

?

(b ? a )3 M ≤n 12ε

? (b ? a )3 ? M ? ,为上取整。 故 n=? ? 12ε ? ? ?

20、已知勒让德(Legendre)正交多项式 pn ( x) 有三项递推关系式:

p1 ( x) = x ? p0 ( x) = 1, ? 2n + 1 n ? ? pn +1 ( x) = n + 1 xpn ( x) ? n + 1 pn ?1 ( x) (n = 1, 2,L) ?
试确定三点的高斯—勒让德(G—L)求积公式 的求积系数和节点,并利用此公式写出 I =


1

1

?1

f ( x)dx ≈ ω 0 f ( x0 ) +ω1 f ( x1 ) + ω 2 f ( x2 )



2

1

e x dx 的计算式(无需计算结果) 。 1 (5 x3 ? 3 x). 令 p3 ( x) = 0 ,其三个零 2

解:由递推关系式得三次勒让德正交多项式 p3 ( x) = 点为

x0 = ?

15 15 ≈ ?0.7745967, x1 = 0, x0 = ≈ 0.7745967. 5 5

则所求的高斯求积公式为



1

?1

f ( x)dx ≈ ω 0 f (?

15 15 ) + ω1 f (0) + ω 2 f ( ). 5 5

因三点的高斯求积公式具有 5 次代数精确度,令上述高斯求积公式对 f ( x ) = 1, x, x 2 均精确 成立,

12

? ? ? ? ?? ? ? ? ?

ω 0 + ω1 + ω 2 = ∫ dx = 2
?1 1 15 15 ω0 + ω 2 = ∫ xdx = 0 ?1 5 5 1 3 3 2 ω 0 + ω 2 = ∫ x 2 dx = ?1 5 5 3

1

?

5 ? ?ω 0 = 9 ? 8 ? ?ω1 = 9 ? 5 ? ?ω 2 = 9 ?

所以三点的高斯-勒让德求积公式为



5 15 8 5 15 f ( x)dx ≈ f (? ) + f (0) + f ( ). ?1 9 5 9 9 5
1

对I =



2

1

1 e x dx ,作变换 x = (t + 3) ,把积分区间[1,2]化为区间[-1,1] ,即 2
2 1 1 t +3 e dt. 用三点的高斯-勒让德求积公式计算,有 2 ∫?1 2 2 2

1

I = ∫ e x dx =
1

2

1

5 4 5 I ≈ e ?0.7745967 +3 + e 3 + e 0.7745967 +3 18 9 18

21、 建立高斯型求积公式



1

0

1 f ( x)dx ≈ A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 ) 。 (参考讲稿与参考书) x

解:
1 dx ? ? A0 + A1 = ∫0 x ? 1 ? x0 A0 + x1 A1 = ∫ ? 0 ? ? ? x2 A + x2 A = 1 ? 0 0 1 1 ∫0 ? 1 3 ? x0 A0 + x13 A1 = ∫0 ? ?

=2

? 3 2 ? x0 = ? 7 7 ? ? 3 2 2 ? x1 = + xdx = 7 7 3 ? x2 ? 6 x + 3 = 0 ? ? ? 7 35 2 1 ? xxdx = ? A0 = 1 + 3 5 ? 2 2 ? 1 xx dx = 7 ? A1 = 1 ? 3 ?

6 5 6 5 5 6 5 6

13


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