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幂函数知识归纳及习题(含答案)


自主梳理 1.幂函数的概念 形如________的函数叫做幂函数,其中____是自变量,____是常数. 2.幂函数的性质 (1)五种常见幂函数的性质,列表如下: 定义域 值域 奇偶性 单调性 y=x R R 奇 ?? y=x2 y=x3 1 Y=x 2 Y=x
-1

过定点

R R [0,+∞) (-∞,0) ∪(0,+∞)

[0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0) ∪(0,+∞)

偶 奇 非奇 非偶 奇

[0,+∞) ? (-∞,0] ? ?? [0,+∞) ? (-∞,0) ? (1,1)

(0,+∞) ? (2)所有幂函数在________上都有定义,并且图象都过点(1,1),且在第____象限无图象. (3)α>0 时, 幂函数的图象通过点____________, 并且在区间(0, +∞)上是________, α<0 时,幂函数在(0,+∞)上是减函数,图象______原点.

1 1.已知幂函数 y=f(x)的图像经过点?4,2?,则 f(2)=( ? ? 1 A. 4 C. 2 2 B.4 D. 2 )
-1

)

2.下列函数中,其定义域与值域不同的函数是( 1 A.y=x 2 1 C.y=x 3 B.y=x

D.y=x2 )

1 3.已知 f(x)=x ,若 0<a<b<1,则下列各式中正确的是( 2 1 1 A.f(a)<f(b)<f?a?<f?b? ? ? ? ? 1 1 B.f?a?<f?b?<f(b)<f(a) ? ? ? ? 1 1 C.f(a)<f(b)<f?b?<f?a? ? ? ? ? 1 1 D.f?a?<f(a)<f?b?<f(b) ? ? ? ?

4.已知 f(x)=x2+bx+c 且 f(-1)=f(3),则( 5 A.f(-3)<c<f?2? ? ? 5 C.f?2?<f(-3)<c ? ?

)

5 B.f?2?<c<f(-3) ? ? 5 D.c<f?2?<f(-3) ? ?

5.(2013· 蚌埠二中调研)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c,如果 f(x1)=f(x2)(x1≠x2),则 f(x1 +x2)=( ) b B.- a 4ac-b2 D. 4a )

b A.- 2a C.c

6.若 f(x)=x2-x+a,f(-m)<0,则 f(m+1)的值( A.正数 C.非负数 1 7.对于函数 y=x2,y=x 有下列说法: 2 ①两个函数都是幂函数; ②两个函数在第一象限内都单调递增; ③它们的图像关于直线 y=x 对称; ④两个函数都是偶函数; ⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1); ⑥两个函数的图像都是抛物线型. 其中正确的有________. B.负数

D.与 m 有关

8. (2012· 北京西城二模)已知函数 f(x)=x2+bx+1 是 R 上的偶函数, 则实数 b=________, 不等式 f(x-1)<x 的解集为________. 9.(2012· 无锡联考)设函数 f(x)=mx2-mx-1,若 f(x)<0 的解集为 R,则实数 m 的取值 范围是________. 1 3 10.如果幂函数 f(x)=x- p2+p+ (p∈Z)是偶函数.且在(0,+∞)上是增函数.求 p 2 2 的值,并写出相应的函数 f(x)的解析式.

11.已知二次函数 f(x)的图像过点 A(-1,0)、B(3,0)、C(1,-8). (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在 x∈[0,3]上的最值; (3)求不等式 f(x)≥0 的解集.

12.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 0≤x≤2 时,y=x,当 x>2 时,y=f(x)的图像是 顶点为 P(3,4),且过点 A(2,2)的抛物线的一部分. (1)求函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式; (2)在下面的直角坐标系中直接画出函数 f(x)的草图;

(3)写出函数 f(x)的值域.

1 1.已知 y=f(x)是偶函数,当 x>0 时,f(x)=(x-1)2,若当 x∈?-2,-2?时,n≤f(x)≤m ? ? 恒成立,则 m-n 的最小值为( 1 A. 3 3 C. 4 ) 1 B. 2 D.1

2.(2013· 青岛质检)设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数 y=f(x) -g(x)在 x∈[a, b]上有两个不同的零点, 则称 f(x)和 g(x)在[a, b]上是“关联函数”, 区间[a, b]称为“关联区间”.若 f(x)=x2-3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”,则 m 的 取值范围为________. 3.(2012· 滨州模拟)已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).
?f?x?,x>0, ? (1)若函数 f(x)的最小值是 f(-1)=0,且 c=1,F(x)=? 求 F(2)+F(-2) ? ?-f?x?,x<0,

的值; (2)若 a=1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立,试求 b 的取值范围.





课时跟踪检测(九) A级 1 1 1.选 C 设 f(x)=xα,因为图像过点?4,2?,代入解析式得:α=- , ? ? 2 1 2 ∴f(2)=2- = . 2 2 2.选 D 对 A,定义域、值域均为[0,+∞);对 B,定义域、值域均为(-∞,0)∪(0, +∞);对 C,定义域值域均为 R;对 D,定义域为 R,值域为[0,+∞). 1 1 1 1 1 3. C 因为函数 f(x)=x 在(0, 选 +∞)上是增函数, 0<a<b< < , f(a)<f(b)<f?b?<f?a?. 又 故 ? ? ? ? 2 b a 4.选 D 由已知可得二次函数图像关于直线 x=1 对称,又 f(-3)=f(5),c=f(0)=f(2), 5 二次函数在区间(1,+∞)上单调递增,故有 f(-3)=f(5)>f?2?>f(2)=f(0)=c. ? ? x1+x2 b b b b2 b2 5.选 C 由题意得:a≠0, =- ,x1+x2=- .得 f(x1+x2)=f?-a?=a·2- + ? ? 2 2a a a a c=c. 1 6.选 B 法一:∵f(x)=x2-x+a 的对称轴为 x= , 2 1 而-m,m+1 关于 对称, 2 ∴f(m+1)=f(-m)<0. 法二:∵f(-m)<0,∴m2+m+a<0, ∴f(m+1)=(m+1)2-(m+1)+a=m2+m+a<0. 7.①②⑤⑥ 8.解析:因为 f(x)=x2+bx+1 是 R 上的偶函数,所以 b=0,则 f(x)=x2+1,解不等式 (x-1)2+1<x,即 x2-3x+2<0 得 1<x<2. 答案:0 {x|1<x<2}

9.解析:若 m=0,显然-1<0 恒成立, 若 m≠0,
? ?m<0, 则? ∴-4<m<0. ? ?Δ<0.

故所求范围为:-4<m≤0. 答案:(-4,0] 10.解:∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, 1 3 ∴- p2+p+ >0, 2 2

即 p2-2p-3<0. ∴-1<p<3. 又∵f(x)是偶函数且 p∈Z, ∴p=1,故 f(x)=x2. 11.解:(1)由题意可设 f(x)=a(x+1)(x-3), 将 C(1,-8)代入得-8=a(1+1)(1-3),得 a=2. 即 f(x)=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6. (2)f(x)=2(x-1)2-8, 当 x∈[0,3]时,由二次函数图像知, f(x)min=f(1)=-8,f(x)max=f(3)=0. (3)f(x)≥0 的解集为{x|x≤-1,或 x≥3}. 12.解:(1)设顶点为 P(3,4)且过点 A(2,2)的抛物线的方程为 y=a(x-3)2+4,将(2,2)代 入可得 a=-2, 则 y=-2(x-3)2+4, 即 x>2 时,f(x)=-2x2+12x-14. 当 x<-2 时,即-x>2. 又 f(x)为偶函数,f(x)=f(-x)=-2×(-x)2-12x-14, 即 f(x)=-2x2-12x-14. 所以函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式为 f(x)=-2x2-12x-14. (2)函数 f(x)的图像如图,

(3)由图像可知,函数 f(x)的值域为(-∞,4]. B级 1.选 D 当 x<0 时,-x>0,f(x)=f(-x)=(x+1)2, 1 ∵x∈?-2,-2?, ? ? ∴f(x)min=f(-1)=0,f(x)max=f(-2)=1, ∴m≥1,n≤0,m-n≥1. 2.解析:由题意知,y=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m 在[0,3]上有两个不 同的零点.在同一坐标系下作出函数 y=m 与 y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图

9 ? 9 ? 像如图所示, 结合图像可知, x∈[2,3]时, 当 y=x2-5x+4∈?-4,-2?, ? ? 故当 m∈?-4,-2? 时,函数 y=m 与 y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图像有两个交点. 9 答案:?-4,-2? ? ? b 3.解:(1)由已知 c=1,a-b+c=0,且- =-1, 2a 解得 a=1,b=2.则 f(x)=(x+1)2.
2 ? ??x+1? ,x>0, 则 F(x)=? 2 ? ?-?x+1? ,x<0.

故 F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8. 1 (2)由题意得 f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1 在(0,1]上恒成立,即 b≤ -x x 1 且 b≥- -x 在(0,1]上恒成立. x 1 1 又当 x∈(0,1]时, -x 的最小值为 0,- -x 的最大值为-2, x x 故-2≤b≤0.


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