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浙江省六校联盟2012届高三第一次联考数学(理)试题


2012 2012 届浙江六校高三联考 数学( 2012 数学(理)试卷 2012.2
选择题部分(共 50 分)
参考公式: 球的表面积公式 S = 4π R 2 球的体积公式 棱柱的体积公式

V = Sh
其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 棱台的体积公式

4 V = πR 3 3
其中 R 表示球的半径 棱锥的体积公式

V =

1 h( S1 + S1S 2 + S 2 ) 3 其中 S1、S2 分别表示棱台的上、下底面积,

1 V = Sh 3 其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高

h 表示棱台的高 如果事件 A, B 互斥,那么 P( A + B) = P( A) + P( B)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 若集合 A = { y | y = lg x} ,B = x | y = 1 ? x , A∩B 为 则
[来源:学科网 ZXXK]

{

}

( ▲ )

A. [0,1] 2 ( ▲ ) A. ?1 .

B. (0,1] 复

C. [0, +∞) 数

D. (?∞,1]

1? i 1+ i
D. i





B. ?i

C. 1

3 . 已 知 a, b ∈ R , 下 列 四 个 条 件 中 , 使 a > b 成 立 的 必 要 而 不 充 分 的 条 件 是 ( ▲ ) A. a > b ? 1 B. a > b + 1 C. | a | > | b | D. 2a > 2b ( ▲ )
A C B

4. 已知锐角 α 的终边上一点 P sin 40° , + cos 40° ) 则 α 等于 ( 1 , A. 100 B. 200 C. 700 D. 800

5.一个正方体的展开图如图所示,A、B、C、D 为原正方体 的顶点,则在原来的正方体中( ▲ ) A.AB∥CD C.AB⊥CD
[来源:Z§xx§k.Com]

D

B.AB 与 CD 相交 D.AB 与 CD 所成的角为 60°
(第 5 题图)

6.如图,在 A、B 间有四个焊接点,若焊接点脱落, 而可能导致电路不通,如今发现 A、B 之间线路不通, 则焊接点脱落的不同情况有 A.10 7.已知双曲线 B.12 ( ▲ ) C.13 D.15
(第 6 题图)

x2 y 2 2 2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的两条渐近线均和圆 C : x + y ? 6 x + 5 = 0 相 切,且 a2 b2

双 曲 线 的 右 焦 点 为 圆 ( ▲ ) A.
[来源:学科网 ZXXK]

C

的 圆 心 , 则 该 双 曲 线 的 方 程 为

x2 y 2 ? =1 4 5

B.

x2 y 2 ? =1 5 4

C.

x2 y 2 ? =1 3 6

D.

x2 y 2 ? =1 6 3

?x ≥ 1 ? 8. 已知实数 x, y 满足 ? x + y ≤ 4 , 且目标函数 z = 2 x + y 的最大值为 6, 最小值为 1, ? ?ax + by + c ≤ 0
其 ( ▲ ) A.4 B.3 C.2 D.1 中

b ≠ 0, 则

c b







9. 若关于 x 的方程

x x+2

则实数 k 的取值范围为 = kx 2 有四个不同的实数解,

( ▲ )

A.(0,1)

B.(

1 ,1) 2

C.(

1 ,+∞) 2

D.(1,+∞)

10.已知点 A( ?1, ?1) .若曲线 G 上存在两点 B, C ,使 △ ABC 为正三角形,则称 G 为 Γ 型 曲线. 给定下列三条曲线:① y = ? x + 3 (0 ≤ x ≤ 3) ; ② y = ③ y=? A. 0

2 ? x 2 (? 2 ≤ x ≤ 0) ;

1 ( x > 0) .其中,Γ 型曲线的个数是 x
B. 1 C. 2 D. 3

( ▲ )

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小 题 4 分,共 28 分. 11.若某空间几何体的三视图如下图所示,则该几何体 的体积是 ▲ .

2
[来源:学科网 ZXXK]

2
正俯 俯

侧俯 俯

1 2

俯俯俯

(第 11 题图)

12.如右上图,如果执行它的程序框图,输入正整数

n = 8、 m = 4 ,那么输出的 p 等于
13. 已知数列 {a n } , {bn } 满足 a1 =

(第 12 题图)





bn 1 ? , a n + bn = 1, bn+1 = b 2 ( n ∈ N ) ,则 2012 = 2 1 ? an

▲ . 14.已知函数 f ( x) = ? x3 + 3 f '(2) x ,令 n = f '(2) ,则二项式 ( x +

2 x

) n 展开式中常

数项是 第 ▲ 项.

15.四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、3,把它们放在一个盒子里,从中任意摸出 两个 小球,它们所标有的数字分别为 x、 y ,记 ξ = x + y ,则随机变量 ξ 的数学期望为 ▲ .

16.已知平面向量 α , β (α ≠

β ) 满足 α = 2 ,且 α 与 β ? α 的夹角为 120°, t ∈ R ,则
▲ .

(1 ? t )α + t β 的取值范围是
17. 已知函数 y = x ?

1 的图象为双曲线,在此双曲线的两支上分别取点 P、Q ,则线段 PQ x

长的最小值为





三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本小题满分 14 分)在钝角三角形 ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A、B、C 的对边,

m = ( 2b ? c , cos C ) , n = (a , cos A) ,且 m ∥ n .
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数 y = 2 sin 2 B + cos(

π
3

? 2 B ) 的值域.

19.(本小题满分 14 分)已知数列 {an } 是递增数列,且满足 a3 ? a5 = 16, a2 + a6 = 10. (Ⅰ)若 {an } 是等差数列,求数列 {an } 的通 项公式; (Ⅱ)对于(Ⅰ)中 {an } ,令 bn = ( a n + 7) ?

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

2n ,求数列 {bn }的前 n 项和 Tn . 3

20. (本小题满分 15 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°, 平面 PAD⊥底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是

P

M

1 棱 PC 上的点,PA=PD=2,BC= AD=1,CD= 3 . 2
(Ⅰ)求证:平面 PQB⊥平面 P AD; (Ⅱ)设 PM=t MC,若二面角 M-BQ-C 的平面角的 大小为 30°,试确定 t 的值.
[来源:学|科|网]

D Q

C B
(第 20 题图)

A

21. (本小题满分 15 分)如图,过点 D (0, ?2) 作抛物线

x 2 = 2 py ( p > 0) 的切线 l ,切点 A 在第二象限.
(Ⅰ)求切点 A 的纵坐标;

3 x2 y2 的椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0) 恰好经 2 a b 过切点 A,设切线 l 交椭圆的另一点为 B,记切线 l ,OA,
(Ⅱ)若离心率为 OB 的斜率分别为 k , k1 , k 2 , 若k1 + 2k 2 = 4k ,求椭圆方程.

2 ?x 22.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) = ( ax + bx + c)e ( a ≠ 0) 的图像过点 (0, ?2) ,且

在该点的切线方程为 4 x ? y ? 2 = 0 . (Ⅰ)若 f (x ) 在 [ 2,+∞) 上为单调增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若函数 F ( x ) = f ( x) ? m 恰好有一个零点,求实数 m 的取值范围.

答案及评分标准 2012.2
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 选择题 本大题共 有一项是符合题目要求的。 有一项是符合题目要求的。 题目 1 2 3 4 5 6 7 8
[来源:学科网 ZXXK]

9

10

答案

D

B

A

C

D

C

B

A

D

C

小题, 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 填空题: 11. 2 12. 1680

13.

2012 2013
3.5

14.

5

15.

16.

[

3 ,+∞

)

17.

2 2( 2 ? 1)

小题, 解答应写出文字说明、 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 解答题:

18. (本小 题满分 14 分)解: (Ⅰ)由

m ? n 得 (2b ? c ) cos A ? a cos C = 0 ,

r

r

由正弦定理得 2sin B cos A ? sin C cos A ? sin A cos C = 0

∴ 2sin B cos A ? sin B = 0 ,Q B、A ∈ (0, π ) , sin B ≠ 0, 得A = π ········· ···· ········5 分 3
(Ⅱ) y = 1 ?

1 3 π cos 2 B + sin 2 B = sin(2 B ? ) + 1 ·· ······················……·············7 分 2 2 6

?π ?2 < B <π π 2π ? 当角 B 为钝角时,角 C 为锐角,则 ?     < B < ? 2 3 ?0 < 2π ? B < π ? 3 2 ?
5π π 7π π 1 1 1 3 ,∴   B ? ) ∈ ( ? , ) ,∴ y ∈ ( , ) ········10 分 ∴   < 2B ? < sin(2 6 6 6 6 2 2 2 2

?0 < B < π π ? 当角 B 为锐角时,角 C 为钝角,则 ? π 2π     0 < B < ? 6 ?2 < 3 ?B <π ?

π π π π 1 1 1 3 ∴   < 2 B ? < ,∴   B ? ) ∈ ( ? , ) ,∴ y ∈ ( , ) ········13 分 ? sin(2 6 6 6 6 2 2 2 2 1 3 综上,所求函数的值域为 ( , ) .··············14 分 2 2

[来源:Z#xx#k.Com]

19. (本小题满分 14 分)解: (1)根据题意: a 2 + a 6 = 10 = a 3 + a5 ,又 a 3 ? a5 = 16 , 所以 a 3 , a5 是方程 x ? 10 x + 16 = 0 的两根,且 a 3 < a5 ,
2

解得 a5 = 8, a 3 = 2 ,所以 d = 3 , a n = 3n ? 7 . ……………………………6 分 (2) bn = ( a n + 7) ?

2n = n ? 2 n ,则 3


Tn = 1 × 21 + 2 × 2 2 + 3 × 2 3 + L + ( n ? 1) ? 2 n ?1 + n ? 2 n

2Tn = 1 × 2 2 + 2 × 2 3 + L + ( n ? 2) ? 2 n ?1 + ( n ? 1) ? 2 n + n ? 2 n +1
①一②,得 ? Tn = 2 + 2 + 2 + L + 2
1 2 3 n ?1



+ 2 n ? n ? 2 n +1 =

2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n +1 , 1? 2

所以 Tn = n ? 2

n +1

? 2 n +1 + 2 = ( n ? 1) ? 2 n +1 + 2 . …………………………………………14 分

20. (本小题满分 15 分) (I)∵AD // BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点, 2

∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ . ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD.

又∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BQ⊥平面 PAD. ∵BQ ? 平面 PQB, ∴平面 PQB⊥平面 PAD. 7分 …………………… z

1 另证:AD // BC,BC= AD,Q 为 AD 的中点, ∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形, P 2
∴CD // BQ . ∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90°. ∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD.

M D Q A x N B y C

∵ PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面 PBQ. ∵ AD ? 平面 PAD,∴平面 PQB⊥平面 PAD.…………7 分 (II)∵PA =PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD.

如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系. 则平面 BQC 的法向量为 n = (0, 0,1) ;

r

Q (0, 0, 0) , P (0, 0, 3) , B (0, 3, 0) , C (?1, 3, 0) .
设 M ( x, y , z ) ,则 PM = ( x, y , z ? 3) , MC = ( ?1 ? x, 3 ? y , ? z ) , ∵ PM = tMC ,

uuuu r

uuuu r

uuuu r

uuuu r



? x = t ( ?1 ? x ) ? ? y = t ( 3 ? y) ? ? z ? 3 = t (? z)





t ? ?x = ? 1+ t ? 3t ? ?y = 1+ t ? ? 3 ?z = ? 1+ t
uuu r

…………………………11 分

在平面 MBQ 中, QB = (0, 3, 0) , QM = ( ? ∴ 平面 MBQ 法向量为 m = ( 3, 0, t ) .

uuuu r

t 3t 3 , , ), 1+ t 1+ t 1+ t

ur

r ur n?m t 3 ∵二面角 M-BQ-C 为 30°, cos 30 = r ur = = , 2 n m 3 + 0 + t2
°

∴ t = 3. 15 分 21. (本小题满分 15 分) 解:(Ⅰ)设切点 A( x 0 , y 0 ) ,且 y 0 = 由切线 l 的斜率为 k =

…………………………

x0 , 2p

2

x0 , p

得 l 的方程为 y =

x0 x x x ? 0 , 又 点 D (0,?2) 在 l 上 , ∴ 0 = 2 , 即 点 A 的 纵 坐 标 p 2p 2p

2

2

y 0 = 2 .…………5 分
(Ⅱ)由(Ⅰ) 得 A( ?2 p ,2) ,切线斜率 k = ?

2


p

设 B ( x1 , y1 ) ,切线方程为 y = kx ? 2 ,由 e =

3 2 2 ,得 a = 4b ,…………7 分 2

x2 y2 2 所以椭圆方程为 2 + 2 = 1 ,且过 A( ?2 p ,2) ,∴ b = p + 4 …………9 分 4b b
由?

? y = kx ? 2
2 2 2 ? x + 4 y = 4b

? (1 + 4k 2 ) x 2 ? 16kx + 16 ? 4b 2 = 0 ,

16k ? ? x0 + x1 = 1 + 4k 2 ? ∴? ,…………………11 分 2 ? x x = 16 ? 4b ? 0 1 1 + 4k 2 ?
∴ k1 + 2 k 2 =

y 0 2 y1 x1 y 0 + 2 x0 y1 x1 (kx0 ? 2) + 2 x0 (kx1 ? 2) 2 x + 4 x0 + = = = 3k ? 1 x0 x1 x0 x1 x0 x1 x0 x1

32k ?4 p 32k ? 4 p (1 + 4k 2 ) 2( x1 + x0 ) + 2 x0 1 + 4k 2 = 3k ? = 3k ? = 3k ? = 4k x0 x1 16 ? 4b 2 16 ? 4b 2 1 + 4k 2 2 将k = ? , b 2 = p + 4 代入得: p = 32 ,所以 b 2 = 36, a 2 = 144 , p
∴椭圆方程为

x2 y2 + = 1 .………………15 分 144 36

22. (本小题满分 14 分)解: (1)由 f (0) = ?2 ? c = ?2 …1 分

f ' ( x) = (2ax + b)e? x ? (ax 2 + bx + c)e ? x = (? ax 2 + 2ax ? bx + b ? c)e ? x
[来源:Zxxk.Com]

f ' (0) = (b ? c)e0 = 4

所以 b = 2 …………………………3 分

[来源:学科网]

∴ f ( x) = ( ax 2 + 2 x ? 2 ) e ? x f ' ( x) = (?ax 2 + 2ax ? 2 x + 4)e ? x = ?(ax + 2)( x ? 2)e ? x ≥ 0 在 [2, +∞) 上恒成立

即 ?( ax + 2) ≥ 0

∴a ≤ ?

2 x

∴ a ≤ ?1 ……………………………………………………5 分

(2) f ( x ) ? m = 0

y = m 和 y = f ( x) 恰好有一个交点

Q f ' ( x) = (?ax 2 + 2ax ? 2 x + 4)e ? x = ?(ax + 2)( x ? 2)e ? x
①当 a > 0 时 f ( x) 在区间 (?∞, ? ), (2, +∞) 单调递减,在 ? ?
2

2 a

? 2 ? , 2 ? 上单调递增, ? a ?

极大值为 f (2) = (4a + 2)e ?2 ,极小值为 f ( ? ) = ?2e a , (当 x 趋 向于 +∞ 时图像在 x 轴上方,并且无限接近于 x 轴)
?2 所以 m = ( ?2 ) e a 或 m > (4a + 2)e ………………………8 分
2

2 a

②当 a < 0 时:(ⅰ)当 ?

2 > 2 ,即 ?1 < a < 0 时, a

2 2? ? f ( x) 在区间 (?∞, 2), (? , +∞) 单调递增, ? 2, ? ? 上单调递减, 在 a a? ?
极大值为 f (2) = (4a + 2)e ?2 , 极小值为 f ( ? ) = ( ?2 ) e a , x 趋 (当 向于 +∞ 时图像在 x 轴下方,并且无限接近于 x 轴) 当 (4a + 2)e ?2 ≥ 0 即 ?
2 1 ≤ a < 0 时 ,m = (4a + 2)e ?2 或 m < ?2e a 2

2 a

2

当 (4a + 2)e ?2 < 0 时,即 ?1 < a < ?
2

1 时, (4a + 2)e ?2 < m < 0 或 2

m < ?2e a ……………………………………11 分
(ⅱ)当 ?

2 2 ? 2 ? < 2 时,即 a < ?1 时 f ( x) 在区间 (?∞, ? ), (2, +∞) 单调递增,在 ? ? , 2 ? 上单 a a ? a ?

调 递 减 , 极 小 值 为 f (2) = (4a + 2)e ?2 , 极 大 值 为
2 2 f (? ) = ( ?2 ) e a , (当 x 趋向于 +∞ 时图像在 x 轴下方,并 a

且无限接近于 x 轴)

∴ m = ?2e a 或 m < (4a + 2)e?2 ………………………13 分

2

2 = 2 时,即 a = ?1 时, f ( x) 在 R 上单调增(当 x 趋向于 +∞ 时图像在 x 轴下方, a 并且无限接近于 x 轴)此时 m < 0 …………… …………14 分
(ⅲ) ?


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