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第二届泛珠三角力学竞赛参考解答


第二届泛珠三角力学竞赛参考解答
【题 1】 :解:子弹打入摆球,设共同速度为

v



: mv ? (n ? 1)mv共

① ……..②

从最低点摆至最高点速度为 v/: 1 (n ? 1)mv共 2 ? (n ? 1)mg ? 2l ? 1 (n ? 1)mv / 2 2 2 由①②得

v/ ? (

v 2 ) ? 4 gl n ?1
v / ? gl
∴ v ? (n ? 1) 5 gl

通过最高点的条件:

【题 2】 : (a)x 越大,θ 越大,物块愈容易滑下,即将下滑时,

mg sin ? m ? mg cos? ? ? ? tg? m ? ?
由力矩平衡: MgOC sin ? m ? mgxm cos? m 得: xm ? 3R? (b)当受到微小扰动时,重力矩将使其回到平衡位置,故为稳定平衡。 【题 3】 : (a)当 a 较小时 力平衡) 对 m1 : T ? m1 a min ? ? ? m1 g 对 ∴ Mg

3 1 R ? tg? m ? Mg ? xm 8 8

m1 将下滑,临界态如图,以 M 为参照系(引入惯性力,转为静

m2
a min ? m1 ? m2 (sin ? ? ? cos? ) ?g ?m1 ? m2 (cos? ? ? sin ? )



T ? m2 g sin ? ? m2 amin cos? ? ? (m2 g cos? ? m2 a sin ?
解得

当 a 较大时,m1 将上滑,临界态如图 对 m1 : 对

T ? m1 g ? m1a? m2
a max ? m1 ? m2 ( ? cos? ? sin ? ) ?g m2 (cos? ? ? sin ? ) ? ?m1


T ? ? (m2 g c o ? s ? m2 a s i n ? ) ? m2 g s i n ? ? m2 a c o ? s
解得

为了不“飘离”斜面,应有 N2≥0,即 m2 g cos? ? m2 a0 sin ? ? a0 ? gctg? 故当: amax ? gctg? 时, a min ? a ? a max

am a x ? g c t? g 时, amin ? a ? gctg?
(b)对整个系统: F ? ( M ? m1 ? m2 ) g? ? ( M ? m1 ? m2 )a

? F ? ( M ? m1 ? m2 )( a ? g? )

【题 4】 :解: mdh ?

1 2 mv0 ? v0 ? 2 gh 2 1 2 gt ??① 2

对斜抛: 竖直方向: ? L sin ? ? v0 sin ? ?

水平方向: L cos? ? v0 sin ? ? t ??② 由②

t?

Lc o ? s v0 c o ? s

代①:

? L sin ? ? v0 sin ? (
化简:

L cos? 1 L cos? 2 ) ? g( ) v0 cos? 2 v0 cos?

1 g cos2 ? ? L ? cos2 ? sin ? ? tg? cos? cos2 ? 2 2 v0

[cos? (cos? sin ? ? sin ? cos? ) ? cos? ? sin(? ? ? ) ?
g cos2 ? 2v0
2

sin(2? ? ? ) ? sin ? ] 2



?L ?

sin ? (1 ? cos 2? ) cos? sin(? ? 2? ) ? sin ? ? sin 2? ? 2 2 2
时,L 有极大值

故当 ? ? 2? ? 此时 ? ?

?
2

?
8
2 2

Lmax

2v0 sin(? ? 2? ) ? sin ? v0 2 ? ? ? ? 2(1 ? ) ? (200 ? 100 2 ) m 2 2 g 2 g cos ?

【题 5】解:系统水平方向动量守恒

MS ? m( L cos? ? S )
对 M: 对 m: 得

∴S ?

mL cos? M ?m

N sin ? ? Ma mg s i n ? ? N ? ma s i n ?
a? mg sin ? cos? ?g M ? m sin 2 ?
得t ?



1 S ? at 2 2

2 L( M ? m sin 2 ? ) g sin ? ( M ? m)

【题 6】解:(a)设电子速度为 v 0 :

1 2 Mv0 ? E 2
/

∴ v0 ?

2E M

电子与 m1 发生完全弹性碰撞

Mv0 ? Mv0 ? m1v1 v 0 ? v1 ? v 0
/

? v1 ?

2 2 EM M ? m1

E1 ?

4m1 ME 1 2 m1v1 ? ∴ 2 ( M ? m1 ) 2

(b)介子质心速度为 v c

m1v1 ? (m1 ? m2 )vc

∴ vc ?

2m1 2 EM ( M ? m1 )( m1 ? m2 )
2

E Kc ?

4m1 M 1 2 (m1 ? m2 )vc ? ?E 2 ( M ? m2 ) 2 (m1 ? m2 )

(c) E P ? E1 ? E K ?

4m1 m2 M ?E ( M ? m1 ) 2 (m1 ? m2 )
∴ vC ?

【题 7】 :解:(a) mv0 ? (m ? m)vc

v0 2

即质心向右做匀速直线运动

(b)在质心参考系中,AB 相对质心做简谐运动, 最大相对速度

v0 / ,倔强系数 k ? 2k ,即 F ? ?2k 2

∴ T ? 2?

m 2k

(c)当 AB 相互靠近时,达共同速度(相对质心速度为零) ,由机械能守恒

v 1 1 1 2 2 mv 0 ? 2m( 0 ) 2 ? kxm ? x m ? 2 2 2 2
(d)此过程的时间 故质心位移

m ? v0 2k

t? Sc ?

T ? ? 4 2

m 2k m 2k
故 S A ? SC ? 故 S B ? SC ?

?v T vc ? 0 4 4
m 2k m 2k

A 相对质心前进了 相对质心后退了

x m v0 ? 2 2

x m (? ? 2)v0 ? 2 4

m 2k m 2k

x m v0 ? 2 2

x m (? ? 2)v0 ? 2 4


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