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福建省武平县第一中学2016届高三上学期数学(文)周考测试试题(916)


高三文科数学周练
一、选择题 1.设集合 A ? {x |

2015.9. 16

x ? 0}, B ? {x | 0 ? x ? 3} ,那么 " m ? A " 是 " m ? B " 的( x ?1 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件



2.已知命题 p: ?x ? R, cos x ? 1, 则 ( A. ?p : ?x ? R, cos x ? 1; C. ?p : ?x ? R, cos x ? 1;



B. ?p : ?x ? R, cos x ? 1; D. ?p : ?x ? R, cos x ? 1;

? ? ? ? 3.命题 p : 向量 b 与向量 a 共线;命题: q 有且只有一个实数 ? ,使得 b ? ? a ,
则 p 是 q 的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

4.已知 f ( x) 是定义在 R 上周期为 4 的奇函数,当 x ? (0, 2] 时, f ( x) ? 2 x ? log 2 x , 则 f (2015) ? ( A.-2 ) B.
1 2

C.2

D.5

5.函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? A. (3,4) 6. sin A.0

2 的零点所在的大致区间是 ( x

) D. (0,1)

B. (2,e)

C. (1,2) ) C.2

?
12

? 3 cos

?
12

的值为(

B. ?

2

D. 2

x?a ? 0 的解集为 P ,不等式 x ?1 ? 1 的解集为 Q ,若 Q ? P , x ?1 则正数 a 的取值范围是 ( )

7.记关于 x 的不等式

? ?) A. (2,

-2) B. (-?,

C. ?2, ? ??

D. (-?, -2? )

8.已知 a ? 0, b ? 0 ,则 A.2 B. 2 2

1 1 ? ? 2 ab 的最小值是是 ( a b

C.4

D.5

9.等式

2? x ? 0 的解集为是 ( x?4

) C. ?x x ? ?4? D. ? x x ? 2或x ? 4?
1 恒成立, 2

A. ? x ?2 ? x ? 4?

B. ? x x ? 2?

10.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (1) ? 1 ,且对于任意的 x , f ?( x) ?
lg 2 x 1 ? 的解集为( 则不等式 f (lg x) ? 2 2
2



A. (0,

1 ) 10

B. (0,

1 ) ? (10, ??) 10

1 C. ( ,10) 10

D. (10, ??)

二、填空题 11.在 △ ABC 中, a ? 4 , b ? 5 , c ? 6 ,则
sin 2 A ? sin C



12.化简:

tan 200 ? tan 400 ? tan1200 ? tan 200 tan 400



13 .已知关于 x 的一元二次不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 的解集为 {x | ?1 ? x ? 2} ,则
a ? b ? ___ ___.

14.设正实数满足 x, y, z 满足 x2 ? 3xy ? 4 y 2 ? z ? 0 ,则当 的最大值为 .

z 取最小值时,x ? 2 y ? z xy

三、解答题 15.已知集合 A ? ? x 1 ? x ? 3? ,集合 B ? ? x 2m ? x ? 1 ? m? . (1)当 m ? ?1 时,求 A ? B ; (2)若 A ? B ,求实数 m 的取值范围; (3)若 A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围.

16.某体育赛事组委会为确保观众顺利进场,决定在体育场外临时围建一个矩形 观众候场区,总面积为 72m 2(如图所示) .要求矩形场地的一面利用体育场的外墙, 其余三面用铁栏杆围,并且要在体育馆外墙对面留一个长度为 2m 的入口.现已知 铁栏杆的租用费用为 100 元 / m .设该矩形区域的长为 x (单位: m ) ,租用铁栏杆 的总费用为 y (单位:元)
体育场外墙

(Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数; (Ⅱ)试确定 x ,使得租用此区域所用铁栏杆 所需费用最小,并求出最小费用.

x

入口

17. (1)已知 a , b 是正常数, a ? b , x, y ? (0, ??) ,求证: 出等号成立的条件; (2)利用(1)的结论求函数 f ( x) ? 小值时 x 的值.

a 2 b 2 (a ? b) 2 ? ? ,指 x y x? y

2 9 1 ? ( x ? (0, ) )的最小值,指出取最 x 1? 2x 2

18.已知:函数 f ? x ? ?

1 2 x ? ax ? 2a 2 ln x ? a ? 0 ? 2

(1)求 f ? x ? 的单调区间. (2)若 f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

高三文科数学周练 2015.9.16 参考答案

1.A

试题分析:集合 A ? ? 0,1? ,集合 B ? ? 0,3? ,所以 " m ? A " 是 " m ? B " 的

充分不必要条件。 考点:充分性与必要性 2.C 试题分析:全称命题的否定是特称命题,并且否定结论,所以否定是:
?p : ?x ? R, cos x ? 1

考点:全称命题与特称命题

3.B

? ? ? ? 试题分析:若 a ? 0, b ? 0 ,则任意实数 ? ,都有 b ? ? a 不成立,即 p ? q

? ? ? ? 为假命题,若有且只有一个实数 ? ,使得 b ? ? a ,则向量 b 与 a 共线,即 q ? p 为
真命题.综上 p 是 q 的必要不充分条件,故选 B. 向量的综合 4.A 试 题 分 析 : 因 为 f ( x) 是 定 义 在 R 上 周 期 为 4 的 奇 函 数 , 所 以 , 考点:充分必要条件与

f ? x ? 4? ? f ? x ?

f ? ?x ? ? ? f ? x ?



f ( x) ? 2 x ? log 2 x



? f ? 2015? ? f ? ?1? 2016? ? f ? ?1? ? ? f ?1? ? ?2 ,故选 A。
考点:函数的奇偶性和周期性 5. C 试题分析: 判定端点值是否异号,f ?3? ? ln 4 ?
2 1 ? 0 ,f ?4 ? ? ln 5 ? ? 0 , 3 2

f ?2? ? ln 3 ? 1 ? 0 , f ?e ? ? ln?e ? 1? ?

2 ? 0, 都是同号, 所以不选, f ?1? ? ln 2 ? 2 ? 0 , e

f ?1? f ?2? ? 0 ,所以零点必在区间 ?1,2? 内.
6.B

考点:函数的零点

?? ?? ? ?? 试题分析:根据辅助角公式可得 2sin ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2 ,故 ? 12 3 ? ? 4?

选 B. 考点:辅助角公式 7.A 试题分析:由 x ?1 ? 1 解得 0 ? x ? 2 ,所以 Q ? ?x 0 ? x ? 2?,
x?a ? 0等 x ?1

价 于 ( x ? a)(x ? 1) ? 0 , 若 Q ? P , 则 不 等 式 ( x ? a)(x ? 1) ? 0 的 解 集 为

P ? ?x ?1 ? x ? a?,所以 a ? 2 .
的关系. 8. C

考点:1.不等式的解法;2.集合间

1 1 1 1 1 试题分析: 由 a ? 0, b ? 0 可知, ? ? 2 , 当且仅当 ? , 即a ? b a b a b ab 1 1 1 ? 2 ab ? 2 4 ? 4 ,当且仅当 2 ? 2 ab ,即 ? ab , ab ab ab
考点:均值定理

时等号成立,又 2

ab ? 1 ,所以 a ? b ? 1 时等号成立.

9.D 试题分析:不等式

?(2 ? x)(x ? 4) ? 0 2? x ? 0 等价转化为 ? ,所以 x ? 2 或 x?4 x ? 4 ? 0 ?

x ? 4. 考点:分式不等式的解法
1 1 1 10.C 试题分析:设 g ? x ? ? f ? x ? ? x ,由 f ' ? x ? ? ,得 g ' ? x ? ? f ' ? x ? ? ? 0 , 2 2 2

? g ? x?
? f ? lg 2 x ? ?













f ?1? ? 1



lg 2 x 1 1 lg 2 x 1 lg 2 x 1 1 ? ,? g ? lg 2 x ? ? f ? lg 2 x ? ? lg 2 x ? ? ? ? ? f ?1? ? ? g ?1? ? g ? lg 2 x ? 2 2 2 2 2 2 2 2
1 ? x ? 10 , 故 10

? lg 2 x ? lg 2 10,? ? lg x ? lg10 ?? lg x ? lg10 ? ? 0,?? lg10 ? lg x ? lg10,?

选 C。 11



1

考点:利用导数研究函数的单调性 由 题 意 以 及 余 弦




2?







1 3 3 7 7 cos C ? , cos A ? ,? sin C ? ,sin A ? 8 4 8 4

sin 2 A ? sin C

, 所 以

7 3 ? 4 4 ?1 3 7 8 ,

考点:正余弦定理
? ? ? ? tan 200 ? tan 400 ? tan1200 tan ? 20 ? 40 ??1 ? tan 20 tan 40 ? ? 3 12.: ? ?? 3 tan 200 tan 400 tan 20? tan 40?

考点:两角和差的正切公式

b ? ?1 ? 2 ? ? ? ?a ? ?1 ? a 13.0 由韦达定理可得: ? ,解得 ? ,所以 a ? b ? 0 ?b ? 2 ??1? 2 ? 2 ? a ?

考点:解一元二次不等式 14.2 上 式 为

z ? x2 ? 3xy ? 4 y 2





z x 2 ? 3xy ? 4 y 2 x 4 y x 4y ? ? ? ?3? 2 ? ?3 ?1 , 当 且 仅 当 x ? 2y 时 取 等 xy xy y x y x
2 号. x ? 2 y ? z ? 2 y ? 2 y ?[(2 y ) ? 6 y2 ? 4 y2 ] ? ? 2y2 ? 4y,当 y ? 1 时取得最大值为

2.

考点:基本不等式、函数的最值 15. (1) A ? B ? ?x ? 2 ? x ? 3?; (2) m ? ? ??, ?2? ; (3) m ??0, ??? 试题分析: (1) 借助于数轴求两集合的并集; (2) 同样是借助于数轴, 当A? B

时,比较端点的大小,求参数的取值; (3)考虑两种情况,当 B ? ? ,和 B ? ? 两 种情况,求参数的取值. 试题解析: 解: (1) 当 m ? ?1 时, B ? ?x ? 2 ? x ? 2( , ? 2 分) A ? B ? ?x ? 2 ? x ? 3?
?1 - m ? 2m ? 由题知 ?2m ? 1 ,得 m ? ? ??, ?2? ?1 ? m ? 3 ?

由题知若 2m ? 1 ? m ,即 m ?

1 时, B ? ? 满足题意. 3

1 1 ? ? ?m ? ?m ? f ?x ? ? ? 1 1 3 3 或? 0 ? x ? 若 2m ? 1 ? m ,即 m ? 时, 得 ? 3 3 ?2 m ? 3 ?1 ? m ? 1 ?

综上 m ??0, ???

考点:1.集合的运算;2.集合的关系.

16.试题分析: (1)根据本题考察的是函数的实际应用,根据要求矩形场地 的一面利用体育场的外墙 ,其余三面用铁栏杆围,并且要在体育馆外墙对面留一 个长度为 2 m 的入口。 现已知铁栏杆的租用费用为 100 / m , 可得 y 表示为 x 的函数; (2)本题考察的是求函数的最值,根据基本不等式即可得到所求答案 试题解析: (Ⅰ)依题意有: y ? 100(
72 ? 2 ? x ? 2) ,其中. x

(Ⅱ)由均值不等式可得: y ? 100(
≥100(2 144 ? 2) ? 2200

72 144 ? 2 ? x ? 2) ? 100( ? x ? 2) x x

144 ? x 即 x ? 12 时取“=” x 综上:当 x ? 12 时,租用此区域所用铁栏杆所需费用最小,最小费用为 2200

当且仅当

元 ?12 分 考点:基本不等式在最值问题中的应用 17.试题分析: (1)本问考查学生对均值定理的掌握情况,学习均值定理时, 要将知识类型进行总结归纳,发现此问的证明需要适当变形,变成

? a 2 b2 ? a 2 y b2 x 2 2 ? , 然 后 将 其 展 开 , 得 到 a ? ? ?b , 观 察 知 ( x ? y)? ? ? x x y y? ? ?
a 2 y b2 x (2)根据第(1)问证得的结论, ? ? 2 a 2b 2 ? 2ab ,从而整理后问题得证; x y
可以直接应用于第(2)问,注意划归与转化成第(1)问所证得结论的形式,从 而就能求出 f ( x) 的最小值,注意取等条件的验证.本题考查均值定理的变形,以 及对新定义问题的掌握. 试题解析: (1) a , b 是正常数, a ? b , x, y ? (0, ??) ,应用二元均值不等式, 得

(

a 2 b2 y x y x ? )( x ? y) ? a 2 ? b2 ? a 2 ? b2 ? a2 ? b2 ? 2 a2 b2 ? (a ? b)2 , x y x y x y

a 2 b2 (a ? b)2 a b y x 故 ? ? .当且仅当 a 2 ? b 2 ,即 ? 时上式取等号. x y x y x y x? y
(2)由(1) f ( x) ? 当且仅当

22 32 (2 ? 3)2 ? ? ? 25 . 2 x 1 ? 2 x 2 x ? (1 ? 2 x)

2 3 1 ? ,即 x ? 时上式取最小值,即 [ f ( x)]min ? 25 . 2x 1? 2x 5 考点:1.均值定理;2.新定义问题. 18. 试题分析: (1)本题考察的是函数的单调区间问题,利用导数来研究即 可。先求出函数的定义域,从而根据函数的解析式,求出函数的导函数,分析导 函数符号在不同区间上的取值,根据导函数符号与原函数的单调性之间的关系即 可求出所求区间。

(2)本题考察的是求参数的取值范围,本题中若 f ? x ? ? 0 恒成立,则 f ? x ? 的 最小值大于 0,根据(1)中结论,求出函数的最小值,代入构造关于 a 的不等式, 解不等式即可得到 a 的取值范围。

试题解析: (Ⅰ) f ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? ,
f ' ? x? ? x ? a ? 2a 2 x 2 ? ax ? 2a 2 ? x ? 2a ?? x ? a ? ? ? x x x

(1)当 a ? 0 时,在 ? 0, ?2a ? 上 f ' ? x ? ? 0 ,在 ? ?2a, ??? 上 f ' ? x ? ? 0 , 因此, f ? x ? 在 ? 0, ?2a ? 上递减,在 ? ?2a, ??? 上递增. (2)当 a ? 0 时,在 ? 0, a ? 上 f ' ? x ? ? 0 ,在 ? a, ??? 上 f ' ? x ? ? 0 , 因此, f ? x ? 在 ? 0, a ? 上递减,在 ? a, ??? 上递增. (Ⅱ)由(Ⅰ)知: a ? 0 时,

fmin ? x ? ? f ? ?2a ? ? 2a2 ? 2a2 ? 2a2 ln ? ?2a ? ? ?2a2 ln ? ?2a ?
1 由 f ? x ? ? 0 得: ln ? ?2a ? ? 0 ? 0 ? ?2a ? 1 ? ? ? a ? 0 , 2 1 3 当 a ? 0 时, f min ? x ? ? f ? a ? ? a 2 ? a 2 ? 2a 2 ln a ? a 2 ? 2a 2 ln a 2 2
3 3 3 由 f ? x ? ? 0 得: a 2 ? 2a 2 ln a ? 0 ? ln a ? ? 0 ? a ? e 4 2 4

3 ? 1 ? ? 4? 综上得: a ? ? ? ,0 ? ? ? 0, e ? ? 2 ? ? ?

考点: (1)利用导数研究函数的单调性(2)导数在最大值、最小值问题中的 应用

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