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2.3.2抛物线的简单几何性质


2.3.2 抛物线的简单几何性质
1.顶点在原点,对称轴为 y 轴,顶点到准线的距离为 4 的抛物线方程是( ) 2 2 A.x =16y B.x =8y 2 C.x =±8y D.x2=±16y 解析:选 D.顶点在原点,对称轴为 y 轴的抛物线方程有两个:x2=-2py,x2=2py(p>0).由 顶点到准线的距离为 4 知 p=8,故所求抛物线方程为 x2=

16y,x2=-16y. 2.已知直线 y=kx-2 与抛物线 y2=8x 交于不同两点 A、B,若线段 AB 中点的纵坐标为 2, 则 k 等于( ) 1 A.-1 B.2 或-1 C.2 D. 2 ?y1=8x1, 解析:选 C.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则? 2 ?y2=8x2,
2

① ②

y1-y2 8 8 = = =2. x1-x2 y1+y2 4 2 3.(2011 年高考辽宁卷)已知 F 是抛物线 y =x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+ |BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( )
①-②得(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2),∴k= A. 3 4 B.1 C. 5 4 D. 7 4

1 5 xA+xB 解析:选 C.|AF|+|BF|=xA+xB+ =3,∴xA+xB= .∴线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 2 2 2 5 = . 4 2 4.已知直线 x-y-1=0 与抛物线 y=ax 相切,则 a=________. ?x-y-1=0 1 1 解析:由? ,得 ax2-x+1=0,由 Δ =1-4a=0,得 a= . 答案: 2 4 4 ?y=ax 一、选择题 1.与直线 2x-y+4=0 平行的抛物线 y=x2 的切线方程为( ) A.2x-y+3=0 B.2x-y-3=0 C.2x-y+1=0 D.2x-y-1=0 解析:选 D.设切线方程为 2x-y+m=0,与 y=x2 联立得 x2-2x-m=0,Δ =4+4m=0,m= -1,即切线方程为 2x-y-1=0. 2.已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F,点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3,y3)在抛物线上,且 2x2=x1+x3,则有( ) A.|FP1|+|FP2|=|FP3| B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2 C.|FP1|+|FP3|=2|FP2| D.|FP1|·|FP3|=|FP2|2 解析:选 C.由抛物线定义知|FP1|=x1+ ,|FP2|=x2+ ,|FP3|=x3+ , 2 2 2 ∴|FP1|+|FP3|=2|FP2|,故选 C. 3.抛物线 y2=12x 截直线 y=2x+1 所得弦长等于( ) 15 A. 15 B.2 15 C. D.15 2 解析:选 A.令直线与抛物线交于点 A(x1,y1),B(x2,y2)
1

p

p

p

?y=2x+1 由? 2 ?y =12x

1 得 4x2-8x+1=0,∴x1+x2=2,x1x2= , 4

∴|AB|= ? 1+22? ? x1-x2? 2= 5[? x1+x2? 2-4x1x2]= 15. 4.以抛物线 y2=2px(p>0)的焦半径|PF|为直径的圆与 y 轴的位置关系为( ) A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定 p |PF| xP p 解析:选 C.|PF|=xP+ ,∴ = + ,即为 PF 的中点到 y 轴的距离.故该圆与 y 轴相切. 2 2 2 4 5.(2011 年高考课标全国卷)已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交 于 A,B 两点,|AB|=12,P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为( ) A.18 B.24 C.36 D.48 2 解析:选 C.不妨设抛物线的标准方程为 y =2px(p>0),由于 l 垂直于对称轴且过焦点,故直 线 l 的方程为 x= .代入 y2=2px 得 y=±p,即|AB|=2p,又|AB|=12,故 p=6,所以抛物 2 1 线的准线方程为 x=-3,故 S△ABP= ×6×12=36. 2 6.(2011 年高考湖北卷)将两个顶点在抛物线 y2=2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点 的正三角形个数记为 n,则( ) A.n=0 B.n=1 C.n=2 D.n≥3 解析:

p

?p ? 选 C.如图所示,A,B 两点关于 x 轴对称,F 点坐标为? ,0?, ?2 ? 设 A(m, 2pm)(m>0),则由抛物线定义,|AF|=|AA1|,即 m+ =|AF|. 2 又|AF|=|AB|=2 2pm,∴m+ =2 2pm,整理,得 m2-7pm+ =0,① 2 4 ∴Δ =(-7p)2-4× =48p2>0, ∴方程①有两相异实根, 记为 m1, m2, 且 m1+m2=7p>0, m1·m2 4 = >0,∴m1>0,m2>0,∴n=2. 4 二、填空题 7.抛物线 y2=4x 上的点 P 到焦点 F 的距离是 5,则 P 点的坐标是________. 解析:设 P(x0,y0),则|PF|=x0+1=5,∴x0=4,∴y2 0=16,∴y0=±4. 答案:(4,±4) 8.抛物线 y2=4x 与直线 2x+y-4=0 交于两点 A 与 B,F 是抛物线的焦点,则|FA|+|FB|= ________. 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|FA|+|FB|=x1+x2+2. 2 ?y =4x 又? ? x2-5x+4=0,∴x1+x2=5,x1+x2+2=7.答案:7 ?2x+y-4=0
2

p

p

p2

p2

p2

9.边长为 1 的等边三角形 AOB,O 为原点,AB⊥x 轴,则以 O 为顶点,且过 A、B 的抛物线方 程是________. 3 1 3 解析:焦点在 x 轴正半轴上时,设方程为 y2=2px(p>0),代入点( , )得 p= ,∴所求 2 2 12 方程为 y= ∴p= 3 x;焦点在 x 轴负半轴上时,设方程为 y2=-2px(p>0), 6

3 3 3 3 ,所求方程为 y=- x.综上,所求方程为 y2=± x.答案:y2=± x 12 6 6 6 三、解答题 10.抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆 9x2+4y2=36 的短轴所在直线,抛物线焦点到 顶点的距离为 3,求抛物线的方程. 解:椭圆 9x +4y =36 可化为 + =1,得抛物线的对称轴为 x 轴. 4 9 设抛物线的方程为 y2=ax(a≠0),又抛物线的焦点到顶点的距离为 3,则有| |=3, 4 2 2 ∴|a|=12,即 a=±12.故所求抛物线方程为 y =12x 或 y =-12x. 11.过点 Q(4,1)的抛物线 y2=8x 的弦 AB 恰被点 Q 平分,求 AB 所在直线方程. 解:若弦 AB⊥Ox,则其中点是(4,0),不是 Q(4,1), 所以可设弦 AB 所在的直线方程:y-1=k(x-4). ?y-1=k? x-4? , 列方程组? 2 消去 x 并化简,得 ky2-8y-32k+8=0. ?y =8x. 8 设弦 AB 端点 A(x1,y1),B(x2,y2),∴y1+y2= .又 Q(4,1)为弦 AB 中点,
2 2

x2 y2

a

k



y1+y2

2 k 所以所求直线方程是 y=4x-15. 12.A、B 是抛物线 y2=2px(p>0)上的两点,满足 OA⊥OB(O 为坐标原点).求证: (1)A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值; (2)直线 AB 经过一个定点. 2 证明:(1)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 y2 1=2px1,y2=2px2. 2 2 2 ∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,y2 1y2=4p x1x2=4p ·(-y1y2). ∴y1y2=-4p2 为定值,从而 x1x2=4p2 也为定值. y1-y2 2p 2 (2)∵y2 = . 1-y2=2p(x1-x2),∴ x1-x2 y1+y2 2p 2p 2p y2 1 ∴直线 AB 的方程为 y-y1= (x-x1),即 y= x- · +y1, y1+y2 y1+y2 y1+y2 2p 2p y1y2 2p y= x+ ,亦即 y= (x-2p).∴直线 AB 经过定点(2p,0). y1+y2 y1+y2 y1+y2

8 =1,即 y1+y2=2,∴ =2,∴k=4.

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