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全国高中数学联赛模拟训练题


全国高中数学联赛模拟试题(七) 第一试 一、选择题: (每小题 6 分,共 36 分) 1、a、b 是异面直线,直线 c 与 a 所成的角等于 c 与 b 所成的角,则这样的直线 c 有 (A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)无数条 2、已知 f(x)是 R 上的奇函数, g(x)是 R 上的偶函数, 若 f(x)?g(x)=x2+2x+3, 则 f(x)+g(x)= 2 2 2 2 (A)?x +2x?3 (B)x +2x?3 (C)?x ?2x+3 (D)x ?2x+3 2? 3、已知△ABC,O 为△ABC 内一点,∠AOB=∠BOC=∠COA= ,则使 AB+BC+CA 3 ≥m(AO+BO+CO)成立的 m 的最大值是 (A)2 (B) 5 3 2 ? e 2 ? 1 ,求实数 m 的取值范围. 3 四、 (20 分)a、b、c 均为实数,a≠b,b≠c,c≠a. a ? b ? 2c ? b ? c ? 2a ? c ? a ? 2b 3 证明: ≤ <2. 2 a ?b ? b?c ? c?a M(m,0).当椭圆的离心率 e 满足 五、 (20 分) 已知 f(x)=ax4+bx3+cx2+dx,满足 (i) a、 b、 c、 d 均大于 0; (ii) 对于任一个 x∈{?2, ?1,0,1,2}, f(x)为整数; (iii) f(1)=1,f(5)=70. 试说明,对于每个整数 x,f(x)是否为整数. 第二试 一、 (50 分)设 K 为△ABC 的内心,点 C1、B1 分别为边 AB、AC 的中点,直线 AC 与 C1K 交于点 B2, 直线 AB 于 B1K 交于点 C2. 若△AB2C2 于△ABC 的面积相等, 试求∠CAB. ? ? 二、 (50 分)设 w ? cos ? i sin ,f(x)=(x?w)(x?w3)(x?w7)(x?w9). 5 5 求证:f(x)为一整系数多项式,且 f(x)不能分解为两个至少为一次的整系数多 项式之积. 三、 (50 分) 在圆上有 21 个点.求在以这些点为端点组成的所有的弧中,不超过 120° 的弧的条数的最小值. (C) 3 (D) 3 2 4、设 x=0.820.5,y=sin1,z=log3 7 则 x、y、z 的大小关系是 (A)x<y<z (B)y<z<x (C)z<x<y (D)z<y<x (C)00 (D)20 ? 10 1995 ? 5、整数 ? 95 ? 的末尾两位数字是(A)10 ?10 ? 3 ? (B)01 6、设(a,b)表示两自然数 a、b 的最大公约数.设(a,b)=1,则(a2+b2,a3+b3)为 (A)1 (B)2 (C)1 或 2 (D)可能大于 2 参考答案 第一试 一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 1 D 2 A 3 C 4 B 4、 5 C 5 ;5、16; 24 二、填空题: (每小题 9 分,共 54 分) 1、若 f(x)=x10+2x9?2x8?2x7+x6+3x2+6x+1,则 f( 2 ?1)= . 2、设 F1、 F2 是双曲线 x2?y2=4 的两个焦点, P 是双曲线上任意一点, 从 F1 引∠F1PF2 平分线的垂线,垂足为 M,则点 M 的轨迹方程是 . 3、给定数列{xn},x1=1,且 x n ?1 ? 3xn ? 1 3 ? xn 6 C 6、5. 1、4; 2、x2+y2=4;3、0; ,则 x1999?x601= . ? 3? 2 ? ? 三、

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