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2016经济类考研数学指导:简单递推数列通项公式的通用解法


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2016 经济类考研数学指导:简单递推数列通项公 式的通用解法

以下记 A(N)为数列第 N 项 1、已知 A1=1,A(N)=2A(N-1)+1,求数列通项公式 解:由题意,A(N)+1=2[A(N-1)+1] 即 A(N)+1 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列 因此 A(N)+1=2^N

数列通项公式为 A(N)=2^N-1 2、通用算法 已知 A1=M,A(N)=P*A(N-1)+Q,P《》1,求数列通项公式 解:设 A(N)+X=P*[A(N-1)+X] 解得 X=Q/(P-1) 因此 A(N)+Q/(P-1)是以 A1+Q/(P-1)为首项,P 为公比的等比数列 由此可算出 A(N)通项公式 3、已知 A1 和 A2, A(N)=P*A(N-1)+Q*A(N-2),求数列通项公式 解题思路:设 A(N)+X*A(N-1)=Y*[A(N-1)+X*A(N-2)] 代入原式可得出两组解,对两组 X,Y 分别求出 A(N)+X*A(N-1)的通项公式 再解二元一次方程得出 A(N) 注:可能只有一组解,但另有解决办法。 4、现在用上面的思路来解决一个著名的问题: N 个球和 N 个盒子分别编号从 1 到 N,N 个球各放入一个盒子,求没有球与盒子编号相 同的放法总数。 解:设 A(N)为球数为 N 时满足条件的放法(以下称无配对放法)总数,

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易知 A1=0,A2=1 当 N》2 时,一号球共有 N-1 种放法,假设 1 号球放入 X 号盒子 在剩下的 N-1 个球和 N-1 个盒子中,如 X 号球正好放入 1 号盒子, 问题等价于有 N-2 个球的无配对放法,放法总数为:A(N-2) 在剩下的 N-1 个球和 N-1 个盒子中,如 X 号球没有放入 1 号盒子, 则可以把 X 号球看作 1 号球,问题等价于有 N-1 个球的无配对放法, 放法总数为:A(N-1) 因此有 A(N)=(N-1)*[A(N-1)+A(N-2)] 上式可变换为: A(N)-NA(N-1) =-[A(N-1)-(N-1)*A(N-2)] 按等比数列得出: A(N)-NA(N-1)=(-1)^N 上式除以 N!得出: A(N) A(N-1) (-1)^N ------- = ---------------- + ----------------N! (N-1)! N! 把 A(N)/N!当作新的数列, 把(-1)^N/N!也作为一个数列 则 A(N)等于数列 (-1)^N/N!从第二项到第 N 项的和再乘以 N 另外可得出: N 球恰有 K 球与盒子配对的放法总数为: C(N,K)*A(N-K)

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