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高中数学:4.1.1导数与函数的单调性 课时训练 (北师大选修1-1))


第四章 第 1.1 节
1.确定下列函数的单调区间 3 2 3 (1)y=x -9x +24x (2)y=x-x

导数应用

导数与函数的单调性

2.讨论二次函数 y=ax +bx+c(a>0)的单调区间.

2

3.求下列函数的单调区间(1)y=

/>x?2 x

(2)y=

x x ?9
2

(3)y=

x +x

4.已知函数 y=x+

1 ,试讨论出此函数的单调区间. x

参考答案 1.(1)解:y′=(x -9x +24x)′=3x -18x+24=3(x-2)(x-4)
3 2 2

令 3(x-2)(x-4)>0,解得 x>4 或 x<2. 3 2 ∴y=x -9x +24x 的单调增区间是(4,+∞)和(-∞,2) 3 2 令 3(x-2)(x-4)<0,解得 2<x<4.∴y=x -9x +24x 的单调减区间是(2,4) (2)解:y′=(x-x )′=1-3x =-3(x -
3 2 2

1 3 3 )=-3(x+ )(x- ) 3 3 3

令-3(x+

3 3 3 3 3 3 )(x- )>0, 解得- <x< .∴y=x-x 的单调增区间是(- , 3 3 3 3 3

3 ). 3
令-3(x+

3 3 3 3 )(x- )<0,解得 x> 或 x<- . 3 3 3 3
3

∴y=x-x 的单调减区间是(-∞,-

3 3 )和( ,+∞) 3 3
b 2a

2.解:y′=(ax +bx+c)′=2ax+b, 令 2ax+b>0,解得 x>-

2

∴y=ax +bx+c(a>0)的单调增区间是(-

2

b ,+∞) 2a

令 2ax+b<0,解得 x<-

b b 2 .∴y=ax +bx+c(a>0)的单调减区间是(-∞,- ) 2a 2a

3.(1)解:y′=(

x?x?2 2 2 x?2 ? ? 2 ∵当 x≠0 时,- 2 <0,∴y′<0. )′= 2 x x x x

∴y=

x?2 的单调减区间是(-∞,0)与(0,+∞) x

x 2 ? 9 ? x ? 2 x ? x2 ? 9 x x2 ? 9 (2)解:y′=( 2 )′ ? ? 2 ?? 2 ( x 2 ? 9) 2 x ?9 ( x ? 9) 2 ( x ? 9) 2

x2 ? 9 当 x≠±3 时,- 2 <0,∴y′<0. ( x ? 9) 2
∴y=

x 的单调减区间是(-∞,-3),(-3,3)与(3,+∞). x2 ? 9

(3)解:y′=(

x +x)′ ?

1 ?1 1 x 2 ?1 ? ? 1. 2 2 x

当 x>0 时

1 2 x

+1>0,∴y′>0. ∴y=

x +x 的单调增区间是(0,+∞)

4.解:y′=(x+

1 )′ x

x 2 ? 1 ( x ? 1)( x ? 1) =1-1·x = ? x2 x2
-2



( x ? 1)( x ? 1) >0. 解得 x>1 或 x<-1. x2 1 的单调增区间是(-∞,-1)和(1,+∞). x

∴y=x+



( x ? 1)( x ? 1) 1 <0,解得-1<x<0 或 0<x<1.∴y=x+ 的单调减区间是(-1,0)和 2 x x

(0,1).


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