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2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查 必修部分33 不等关系与不等式


开卷速查(三十三)

不等关系与不等式
)

A 级 基础巩固练 1.若 a,b 是任意实数,且 a>b,则下列不等式成立的是( A.a2>b2 C.lg(a-b)>0 b B.a <1
?1? ?1? D.?3?a<?3?b ? ? ? ?

b 解析:当 a=-1,b=-2 时,a2<b2,a >1,lg(a-b)=0,排除 A 项,B 项,C 项,故选 D. 答案:D 2.设 x,y∈R,则“x≥1 且 y≥2”是“x+y≥3”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析:由不等式性质知当 x≥1 且 y≥2 时,x+y≥3;而当 x=2, 3 y=2时满足 x+y≥3, 但不满足 x≥1 且 y≥2, 故“x≥1 且 y≥2”是“x +y≥3”的充分而不必要条件. 答案:A 3.已知 a>b,则下列不等式成立的是( A.a2-b2≥0 C.|a|>|b| B.ac>bc D.2a>2b )

解析:A 项中,若 a=-1,b=-2,则 a2-b2≥0 不成立;当 c= 0 时,B 项不成立;当 0>a>b 时,C 项不成立;由 a>b 知 2a>2b 成 立,故选 D. 答案:D 4.已知下列四个条件:①b>0>a,②0>a>b,③a>0>b,④a

1 1 >b>0,能推出a<b成立的有( A.1 个 C.3 个

) B.2 个 D.4 个

1 1 解析:运用倒数性质,由 a>b,ab>0 可得a<b,②、④正确.又 正数大于负数,①正确,③错误,故选 C. 答案:C 5.已知 a,b,c 满足 c<b<a 且 ac<0,则下列选项中不一定能 成立的是( c b A.a<a b2 a2 C. c < c ) b-a B. c >0 a-c D. ac <0

c b b-a 解析:∵c<b<a,且 ac<0,∴c<0,a>0,∴a<a, c >0, a-c b2 a2 2 2 ac <0,但 b 与 a 的关系不确定,故 c < c 不一定成立.选 C 项. 答案:C 1 1 6.若a<b<0,则下列不等式: ① 1 1 <ab; ②|a|+b>0; a+b

1 1 ③a-a>b-b; ④lna2>lnb2. 其中,正确的不等式是( A.①④ C.①③ ) B.②③ D.②④

1 1 解析:因为a<b<0,所以可取 a=-1,b=-2.

1 1 1 1 =-3,ab=2,故①成立; a+b 又|a|+b=1-2=-1<0,故②错误; 1 1 3 又 a-a=0,b-b=-2<0,故③成立; 又 lna2=0,lnb2=ln22>0,故④错误,选 C. 答案:C x2 x3 7.设 x,y 为实数,满足 3≤xy ≤8,4≤ y ≤9,则y4的最大值是
2

__________. x2 1 y 1 1 y2 1 解析:∵4≤ y ≤9,∴9≤x2≤4,∴81≤x4≤16.
2 x3 1 1 1 1 x3 2 y 又∵3≤xy ≤8,而y4=y4= 2,且 27≤xy · x4≤2,∴2≤y4≤27. 2 y x3 xy · x4 2

答案:27 8.若 x>y,a>b,则在①a-x>b-y,②a+x>b+y,③ax>by, a b ④x-b>y-a,⑤y >x 这五个式子中,恒成立的所有不等式的序号是 __________. 解析:令 x=-2,y=-3,a=3,b=2,符合题设条件 x>y,a >b, ∵a-x=3-(-2)=5,b-y=2-(-3)=5, ∴a-x=b-y,因此①不成立. 又∵ax=-6,by=-6,∴ax=by,因此③也不成立. a 3 b 2 a b 又∵y= =-1,x= =-1,∴y=x,因此⑤不成立. -3 -2 由不等式的性质可推出②④成立. 答案:②④

9.对于实数 a,b,c 有下列命题:①若 a>b,则 ac<bc;②若 ac2>bc2,则 a>b;③若 a<b<0,则 a2>ab>b2;④若 c>a>b>0, 则 a b 1 1 > ;⑤若 a > b , a > b ,则 a > 0 , b < 0. 其中真命题是 c-a c-b

__________(把正确命题的序号写在横线上). 解析:若 c>0,则①不成立; 由 ac2>bc2 知 c2≠0,则 a>b,②成立; 由 a<b<0 知 a2>ab>b2,③成立; 1 1 a b 由 c>a>b>0, 得 0<c-a<c-b, 则 > , 则 > , c-a c-b c-a c-b ④成立; 1 1 b-a 若 a>b,a-b= ab >0,则 a>0,b<0,⑤成立. 答案:②③④⑤ 10.若实数 a、b、c 满足 b+c=5a2-8a+11,b-c=a2-6a+9, 试比较 a、b、c 的大小. 解析:∵b-c=a2-6a+9=(a-3)2≥0, ∴b≥c.
2 ? ?b+c=5a -8a+11, 由? 2 ?b-c=a -6a+9, ② ?



由①+②得 b=3a2-7a+10, ∵b-a=3a2-7a+10-a =3a2-8a+10 4? 14 ? =3?a-3?2+ 3 >0,
? ?

∴b>a. 由①-②得 c=2a2-a+1,

1? 1 ? ∴c-a=2a2-2a+1=2?a-2?2+2>0,
? ?

∴c>a.综上:b≥c>a. B级 能力提升练

11.若 a、b∈R,则下列不等式: ①a2+3>2a;②a2+b2≥2(a-b-1);③a5+b5>a3b2+a2b3;④a 1 +a≥2 中一定成立的是( A.①②③ C.①② ) B.①②④ D.②④

解析:①a2-2a+3=(a-1)2+2>0; ②a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0; ③a5-a3b2+b5-a2b3=a3(a2-b2)+b3(b2- a2)=(a2-b2)(a3-b3)= (a+b)(a-b)2(a2+ab+b2), 若 a=b,则上式=0,不成立; 1 ④若 a<0,则 a+a<0. ∴①②一定成立,故选 C. 答案:C 12.已知 a、b、c∈R,则下列推理: a b 1 1 1 1 ①c2>c2?a>b; ②a3>b3, ab>0?a<b; ③a2>b2, ab>0?a<b; 1 ④0<a<b<1?loga(1+a)>logb . 1-a 其中正确的个数是( A.1 个 C.3 个 ) B.2 个 D.4 个

a b 解析:由c2>c2可知 c2>0, a 2 b 2 ∴c2· c >c2· c ,即 a>b,∴①正确. 由 a3>b3,ab>0,可得 1 1 a>b>0 或 b<a<0,∴a<b,∴②正确. 由 a2>b2,ab>0 可得 a>b>0 或 a<b<0, 1 1 1 1 a>b>0 时,a<b,但 a<b<0 时,a>b,故③不正确. ∵0<a<b<1,∴loga(1+a)>logb(1+a). 又∵logb(1+a)-logb 1 =logb(1-a2)>0, 1-a

1 ∴logb(1+a)>logb , 1-a 1 ∴loga(1+a)>logb ,故④正确,故选 C. 1-a 答案:C x 13.已知 x,y 为正实数,满足 1≤lgxy≤2,3≤lgy≤4,求 lg(x4y2) 的取值范围. 解析:设 a=lgx,b=lgy,则 lgxy=a+b, x lgy=a-b,lgx4y2=4a+2b, 设 4a+2b=m(a+b)+n(a-b),
?m+n=4, ?m=3, ? ? ∴? 解得? ? ? ?m-n=2, ?n=1.

x ∴lgx4y2=3lgxy+lgy.

x ∵3≤3lgxy≤6,3≤lgy≤4, ∴6≤lg(x4y2)≤10. c 14.已知函数 f(x)=ax2+bx+c 满足 f(1)=0,且 a>b>c,求a的 取值范围. 解析:∵f(1)=0, ∴a+b+c=0,∴b=-(a+c). 又 a>b>c, ∴a>-(a+c)>c,且 a>0,c<0. a+c c c c ∴1>- a >a,即 1>-1-a>a. 2c ? ? a <-1, ∴? c ? ?a>-2. c 1 解得-2<a<-2.


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