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对应法在计数问题中的应用


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囊篓 
陕西 省 西安 市西 安 中学  陈昭 亮  

H  

对应 是 数学 中非 常基 本 的思 想 方法 , 它 的应 用极  其 广泛 , 数 学竞 赛 中的 许 多

问题 都 与 它 有 关 , 特 别 是 

不共面的 4 个 顶 点数 . 在 正方体 的 8 个顶点中, 4点共 
面有 两种情 况 : ( 1 ) 每个 面 上 的 4个顶 点 ; ( 2 ) 每个 对 

运 用对 应进 行 计数 是 解 决 组 合 数 学 中计 数 问题 的有  力 手段 . 在 组合 计数 中 , 要 计 算 某 个 有 限集 合 A 的 元  素个 数 l A1 , 如 果 直 接 求 解 比较 困难 , 这 时可 考 虑 在 
集合 A 与 另一 个 集 合 B 之 间 建 立 一 种 对 应 关 系 , 而  且 集合 B 的元 素个数 l   B   l 容易求出, 那 么我 们 就 可 以  通 过计 算 l   B   1 来计算 出 l   A  1 , 这 种 计 数 方 法 叫 做 对 
应 法.  

角 面上 4个 顶 点 , 容 易 得 出它 们 各 有 6种 , 共 1 2种 .  
所 以正方 体 的 8个顶 点 中 , 能构成 四面 体 的 4个 顶 点  有C   一1 2 —5 8种 , 那 么任 意两个 顶 点所 作 直 线 中 , 共  可 构成 5 8 X3 —1 7 4 对 异 面直 线.   说 明: 在这 类 问题 的解 答 中 , 如何 建 立对 应关 系 ,   建 立什 么样 的 映射是 难 点所 在. 一般 可 以从 这 样 的两  个 方 面去考 虑 : ( 1 ) 每对 异面 直线 涉及 几 个 顶点 ?( 2 )   每 组不 共 面的 4个顶 点 中 , 可 构成 几对 异 面直线 ?  

用 对应 法解 决 计 数 问题 时 常用 到 以 下几 个 重要 
概 念.  

例 2 设 圆周 上有 佗个 点 (  ≥ 6 ) , 其 中每 两 点 间 
连 一条 弦 , 且 任 何 3条 弦 在 圆 内部 没 有 公 共 点 , 问 这  些 弦彼 此相交 共 能形 成多 少个 不 同 的三角形 ?   讲解 : 这 样 的三 角形 可分 为如 下 4类 :   ( 1 ) 3个顶 点都 在 圆周上 的三 角形 , 记 为集 合 S   ,  

设. 厂 : A—B是从 集 合 A 到集 合 B 的 映射.   ( 1 ) 如 果 对 任 意 的  , z 。 ∈A, 当  ≠z 。时都 有  f ( x   ) ≠f ( x   ) , 则 称 厂为 集合 A 到集 合 B 的单射 ;   ( 2 ) 如果 对 j 二意 的  E   B, 必存在 z   E   A, 使 得  厂 ( z ) =Y, 则称  是 从集 合 A 到集 合 B 的满 射 ;  
( 3 ) 如果 映射 厂既是 单 射 又 是 满 射 , 则 称 ,是 从 

设 丁   是 圆周上  个 已 知点 的所 有 3元 子 集 的集 合 ,  
做 映射  : “ 三角 形对 应其 3个 顶点 ” , 则 ,是 S  到 T1   的双射 , 故l   S   I —l   T 1   I —C   .   ( 2 )2个 顶 点 都在 圆周 上 的  三角 形 , 记为集 合 S 。 , 设丁 2 是 圆  周上  个 已 知 点 的所 有 4元 子 

集合 A 到 集合 B 的一一 映射 ;  
( 4 ) 如果 厂是 满射 , 且 对 任 意 的  ∈B, 恰 有 A 中  的T n个 元 素  1 , x 2 , …, z  使 得 . 厂 (  ) 一Y( / 一1 , 2 ,   ) , 则 称 厂 是 从 集 合 A 到 集 合 B 上 的  倍 数  映射.  


,  

集的集 合, 则 l  T  l =C   .设  A MP   P  是任 一 这样 的三角 形 ,   如图 1 , 顶点 P   、 P  是 圆周 上 的 
图l  

运 用 对应 法解 决计 数 问题 常用 到下 面 的定理 .  

设 集 合 A、 B 都 是 有 限集 , ,: A— B 是 从 集 合 A  到集合 B 的映 射.   ( 1 ) 如果 _ 厂是单 射 , 则I AI ≤l B1 .  
( 2 ) 如 果 ,是满 射 , 则I   A   I ≥l   B   l ;   ( 3 ) 如果 - 厂是 双射 , 则f Af :f _ Bf ;   ( 4 ) 如果 厂是 m 倍 数 映射 , 则I Al = : =  1 BI .   这个 定理 的结 论是 显 然 的 , 它 在 与计 数 有 关 的 问 
题 中有着 极其 广泛 的应 用 .  

已知 点 , 顶点 M 是弦P   P  和 弦 Pj pj " 在 圆内 的交点 .  

令 f: AMP i P   一 { P i , P   , P  , g j   r ) , 则 AMP   P   、  

AMP : P  、  ̄MP i ' P /、 AMP i ' P j 同时对应于这同一 
个 4点 组 , 容 易得 出 , 这 个 映 射 厂是 S 。到 
数 映射 , 故I   S   I 一1   T 2   I 一4 C   .   ( 3 ) 1个顶 点 在 圆周 上 的三 

的 4倍 

角形 , 记为集合 S 。 , 设 丁 3 是 圆 
周上 7 " / 个 已知 点 的所 有 5元 子  集的集合, 则 I   I —  .设 
图2   △P   Q   Q   是 任 一 这 样 的 三 角  形, 如图 2 , 顶点 P  是 圆周上 的 

例 1 在正方体 中, 经过任 意两个顶点作 直线 ,  

问所 作直 线 中共 可 以构成 多少 对异 面 直线 ?   讲解 : 因为正 方体 不共 面 的 4个 顶点 与 3对 异 面  直线 之间 建立 了一 个倍 数 映射 , 故 只需 计 算 正方 体 中 

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已知 点 , 顶点 Q   、 Q  在 圆 内. 令 厂 : △P   Q   Q   一{ P   ,  
P 2 , P 3 , P 4 , P 5 } , 则 △P1 Q l Q5 , △P 2 Q1 Q 2 , △P 3   Q 2   ,   △P   Q 4 , △P   Q 4 Q  同 时对 应 于 这 同 一 个 5点 组 ,  

z 1 +z 2 +… +z 7 —2 7 0  

① 

在条 件 7   J   z   ( 1 ≤  ≤4 ) 且 1 3   l  ( 5 ≤  ≤7 ) 下 的正 整 数  解 的组数 .  
若( z   , z 。 , …, z   ) 是 满 足不 定方 程 ① 的一 组 正 整  数解 , 则 应有 
4  


容易得出, 这个 映 射 - 厂 是S 。到  l   S 。 I —l   T 。 I 一5 C   .  

的 5倍 数 映射 , 故 

( 4 ) 3个 顶点 都在 圆内的 三角形 , 记 为集 合 S   , 设  是 圆周 上 , z 个 已知 点 的所 有 6元 子 集 的集 合 , 则  l   T   I —C   . 设 △Q   Q 。 Q。 是任 一这 样 的三 角形 , 令- 厂 :   △Q   Qz   一{ P   , P 。 , P 。 , P   , P   , P   } , 则 这 个 映射 厂   是S  到 T 4 的双 射 , 故I   S   l — l丁 4   I —C   .   从 而所 求 三角形 的个数 为 C   +4 C : +5 C   +C   .   例3   求 方程 z 1 +z 2 + … +  一7 2 ( m,  E   N+)   的非 负整数 解 的组数 .  
讲解 : 用 z   , z   , …, z  表 示放 入 m 个 不 同 的盒 

7  

∑z   一7 m , ∑  一1 3 n , m ,  ∈   ,  


1  


』   5  




m、  是不 定方 程 
② 

7 m+ 1 3 n 一2 7 0  

在条 件  ≥4且 ≥ 3下 的一 组 正整数 解 .  
‘ .

。7 (  一4 ) +1 3 (  一 3 ) 一2 0 3,  

令 m  一m一4 , 7 z   一, z 一3 , 有  7 m   +1 3 n   一2 7 0 .  
。 . .

③ 

求 不定 方程 ② 满 足条 件 m≥4且 ≥ 3的正整 

子 中的球 的数 目 , 则 这个 问题 转 化 为 “ 求  个 相 同 的 
球 以任 意方 式放 人 m 个 不 同盒 子 中 的方 法 的种 数 ” .   先 在平 面上 画 m+1 条 竖线 “ I ” 表示 m+ 1 块“ 隔板 ” ,  

数解 等价 于求 不定 方程 ③ 的非 负整数 解.  
。 .

。 易 观察 到 7?2 +1 3?( 一1 ) 一1 ,  


‘ .

7?4 0 6 +1 3 ?( 一2 0 3 ) 一2 0 3,  

以相 邻 的两 “ 隔板 ” 之 间的部分代表一个盒子 ; 又 以  “ o” 表 示一 个 球 , 则  个 球 放 入 m 个 盒 子 中的 一 种 
方 法对应 于 m+1块“ 隔板 ” 与  个 “ o” 的一 个 排 列 ,  

即 优。 一4 0 6 ,  。 一 一2 0 3是 不 定 方 程 ③ 的一 组 整 
数解.  


. .

不定 方 程③ 的 整数 通 解 为 m  一4 0 6 —1 3 k, 7 2  

反 之亦然 . 由于 球必 须 全 部 放 入盒 子 中 , 故 对 应 的这  种排 列首 尾必 是 “ 隔板” . 因而, 所 求 方 程 的 非 负 整 数 





2 0 3 +7 k , kE Z.  

令 m   ≥0 ,   ≥O , 解得 2 9 ≤尼 ≤3 1 , 取 k 一2 9 , 3 O ,  

解 的集合 A 与 m+ 1条 竖 线 “ I ” 和  个 “ o” 排 成 一  列, 且首 尾必 排“ f ” 的全体 排列 构 成 的集 合 B, 二 者 的 
元 素形成 一一 对应 关 系. 而后者 只 要 去掉 首 尾两 位 置  而在 其余 的 +m一1 个 位 置上选 择  一1个 , 每 个位  置 放 上一 个 “ l ” 即可, 故有 I   B   l —C   m + -   1 一 。 , 即所 求 方程 

3 1 . 得 到 不 定 方 程 ③ 满 足 条 件 的 三 组 非 负 整 数 解 
f m  一2 9 ,f m  一1 6 ,f m  = : = 3 ,  

l  一o ;   l  一7 ;   I  一 1 4 .  
从 而得 到不 定 方 程 ② 满 足 条 件 的 三 组 正 整 数 解 

/ 1  一   3 3 , /  一 2 o , /  一 7 ,  


的非 负整数 解 的组 数 为 c m   + -   1 一   .  
说 明: ( 1 ) 用“ 隔板 ” “ 小球 ” 模 型 解题 形 象 直 观 , 是  解 决组 合计 数 问题 的常 用方 法之 一.   ( 2 ) 若 要求 方程 z 1 +z 2 + …+z   一  ( m,  EN +)  

3 ;   1   = = = 1 0 ;1   一1 7 .  
( 1 ) 当 mz3 3 ,  一3时 , 显然 , 2 7 5 一z 6 一z 7 = = : 1 3仅 

有一 种 可能.   又设 z i : : = 7 y   ( i 一1 , 2 , 3 , 4 ) , 于是 由不 定 方 程 Y  

的正整 数解 的组数 , 只需 令 z : 一z   一1 ( 其 中z : 为非负 

+  + 。 +3 ,   一3 3有 C 3   一C   3 2 —4 9 6 0组 正整 数解 ,  

. .

整数 ,   一1 , 2 , …,  ) , 则z   +z : +? ? ? +   一  一  , 故 
由例 1知 , 此 问题 的答案 为 C   .   例4 ( 2 0 0 2年全 国高 中数 学联 赛题 ) 在世 界 杯 


此时不定方程①有满足条件 的 C   3 。 一4 9 6 0组 

正整 数解 .   ( 2 ) 当 m=2 0 ,  一1 0时 , 设X i 一7 y i (   一1 , 2 , 3 , 4 ) ,  
1 3 y i ( 歹 一5 , 6 , 7 ) , 由Y 1 +  +  +  一2 0 , 有  9 组 
。 . .

足球 赛前 , F 国教 练 为 了考 察 A  、 A   、 …、 A  这 7名  队员 , 准 备让 他们 在 三 场训 练 比赛 ( 每场 9 0分 钟 ) 都  上场 , 假设 在 比赛 的任 何 时刻 , 这 些 人 中有 且 仅 有 一 
人 在 场上 , 并且 A  、 A: 、 A。 、 A  每人 上 场 的总 时 间 ( 以  分 钟 为单 位) 均被 1 3整 除 , 如果每场换人次数不 限,   那 么按 每 名 队员上 场 的总 时间计 算 , 共 有 多 少种 不 同 
的情况 ?  


正 整数解 ; 以及 s +  +  一1 0 , 有C ; 组正整数 解 ,  
此 时不定 方程 ①有 满足 条件 的 C { 。?C ;   3 4 8 8 4 组 正整 数解 .  
( 3 )在 m 一 7 ,  一 1 7时 , 设 z   一7 y   ( i 一1 , 2 , 3 ,  

4 ) ,   一1 3 y   (   一5 , 6 , 7 ) , 由 Y l + 2 +如 + 4 —7 , 有 

C ; 组正 整数 解 ; 以及 挑 + 6 +  = = = 1 7 , 有C ; 6 组 正 整  数解 .   综 上所 述 , 不 定方 程 ①满 足条 件 的正 整 数解 的组 

讲解 : 设第 i 名 队员上 场 的时 间为 z   分钟( i 一1 ,  
2 , 3 , …, 7 ) , 问题 即求 不定 方 程 

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数 为  C ; 2 +C i 9? C ; +C i?C ; 6 —4 9 6 0 +3 4 8 8 4 +2 4 0 0  


射共 有 (  

) .   B . C ;   C .C ‰ D.c 嚣  

A.C ‰ 

4 2 2 44 .  

3 .( 2 0 0 5年全 国 高 中数  学联 赛 江 西 省 预 赛题 ) 连 结  正五 边形 A   A。 A。 A   A  的对  角线 交 出 另 一 个 正 五 边 形  B   B   B。 B   B   , 两 次 连结 正 五 

例 5   ( 第4 3届 I MO预 选题 ) 设7 /是 正 整数 , 若  由7 /个 正 整数 组成 的数 列 ( 可 以相 同) 称为“ 满的” , 则 
这 个数 列应 满 足 条 件 : 对 于 每个 正 整 数 k ( k ≥2 ) , 如 

果 k在 这个 数列 中, 则k 一1 也 在这个 数 列 中 , 且k 一1   第 一次 出现 的位 置在 k最后 一次 出现 的位 置 的前 面.   问对 于每个 7 / , 有 多少 个“ 满 的” 数列 ?   讲解 : 我 们应想 办 法构 造一 个 与集合 { 1 , 2 , …, / 7 )   的排 列之 间满 足 双 射 的 “ 满 的” 数列. 设 口   , a z , …, n   是一 个“ 满 的” 数列 , r —ma x { a   , 口 。 , …, a   ) , 于是 , 由   题 意 知从 1至 r的整 数都 出现 在这 个数 列 中.   设5   一{ k I a k —i ) , 1 4k ≤r , 则所 有 的 S   非空 , 且  它是 集合 { 1 , 2 , …, / 7 } 的一 个 分 割. 对于 2 4k ≤r , “ 满 
的” 数列还 满 足 r ai n S   一   < ma x S   . 于是 , 先将 S  中元 

边形 B   B 。 B 3 B   B   的 对 角 
线, 又 交 出 一 个 正 五 边 形  图3  

C   C 。 C 。 C 4 C   ( 图3 ) , 以图 中线 段 为 边 的 三 角 形 中 , 共 

有 等腰 三角形 的个 数 为  .   4 . 有红 、 黄、 蓝、 白 四种 有 色 水 , 现 倒 入 三 个杯 子 
中, 不许 混合 , 则 不 同倒 法 的种 数为
.  
— —

5 .由 8 。 个 单 位 正 方 体 砌 成 棱 长 为 8的大 正 方  体, 问 在大正 方 体 中共 可 作 出 多少 条 直 线 , 使 每 条 直  线 都穿 过 8 个 单 位正方 体 的 中心 ?   6 . ( 2 0 0 5年全 国高 中数 学联 赛题 ) 如 果 自然 数 a   的各位 数字 之和 等于 7 , 那 么称 n为“ 吉祥 数” . 将所 有  “ 吉 祥数 ” 从小到大排成一列 n   , a z , 口 。 , …, 若 a  


素按 照递 减 的次 序 写 下来 , 再将 s 。中元 素 按 照 递减  的次 序写 下来 , …, 最后 将 s  中元素 按 照递 减 的次序  写下 来 , 从 而 得到集 合 { 1 , 2 , …, / 7 } 的一 个排 列 b   , b z ,  




b   , 所以, 就 可 以得 到 从 “ 满的” 数列 到集合 { 1 , 2 ,  
) 的排列 之 间 的一 个 映射 .  

2 0 0 5 , 求a 5   的值 .   7 . 如果 1 , 2 , 3 , …, 1 4中 , 按 由小 到大 的顺 序取 出 



,  

下 面证 明这 个 映 射 也 是 可 逆 , 实际上 , 设 b   , b   ,  


口 1 、 a 2 、 口 3 , 使 同时满 足 口 2 一口 1 ≥3与 日 3 一a 1 ≥3 . 求 所  有 不 同的取 法 的总数 .  
答 案与提 示  1 . B . 对 于 圆 内 的一 个交 点 , 对应 了两 条 弦 , 进 而 



b   是集合 { 1 , 2 , …,  ) 的一 个 排 列 . 设S   = : = { k     I n  



i ) . 设 S 1 一{ b 1 , b 2 , …, b   , ) , 其中b 1 >b 2 > … >6 E,  

且 b   , <6   , + 1 ,  

S 2 ={ b   + 1 , b   + 2 , …, b h} , 其中b   + 1 >6   + 2 >… 
>6 女   , 且 b  < 6   。 + 1 ,  

对应 着 圆上 的 四点 , 反 过来 , 圆上 的 四点 , 必对 应 着 圆  内的一 个 交 点 , 从 而 在 圆周 上 的 2 0 0 8个 点 中取 出 4   个点 的取 法就 与 弦在 圆 内的 交 点个 数 间存 在 着一 一 
对应 关 系 , 故共 有 C   。 。   种.  

S   一{ 6   + l , b k  + 2 , …, b   ) , 其中 6  
一   一

+ 1

>6  


 

十2  

 

> … >  ,  

2 .D 。 不 妨设 b   <6   < …< 6   。 , 将 集 合 A 中元素  a  , a 。 ,… ,   。 按 顺 序 分 为非 空 的 5 0组 , 定 义 映 射  - 厂 : A— B, 使得第 i 组 的元 素 在 ,之 下 的象 都 是 b   (  


当 ∈S   , 1 4i 4t 时, 令a   — , 则 数列 a   ,  , …,   n   是 一个 “ 满的” 数列 .  

综 上所 述 , “ 满 的” 数 列全 体 同集合 { 1 , 2 , …,  ) 的 
排 列所 构成 的集 合之 间 可建立 一 个 双射 , 从 而 对 于每  个  , 有, z !个 “ 满 的” 数 列.  
习  题  

1 , 2 , …, 5 0 ) , 易 知 这样 的 厂满 足 题 设要 求 , 每个 这 

样 的分组 都一 一对应 满 足条 件 的映 射 , 于是 满 足 题设 
要求 的 映射 . 厂的个 数 与 A 按 足 码 顺 序 分 为 5 0组 的  分法 数相 等 , 而 A 的分法数为 c   ; , 则 这 样 的映 射 共  有 c   3 .   3 . 8 5 . 对于 其 中任一 点 P, 以 P为“ 顶” ( 两腰 的公  共点) 的等腰 三 角形 的个 数记 为I F 3 , 则 

1 . 圆周 上有 2 0 0 8个 点 , 过 每两 点作 一 条 弦 , 设 这 

些 弦没有 三线 共点 的 , 则这 些 弦在 圆 内 的交 点个 数 至  多为 (   ) .  
B .C { o o 8   C .C   o 9   D . C 2 o o 9   A.C 2 0 o 8  

[ A1 ]一 6 ,( △A1 A2 A5 , △Al B 3 B4 , △Al B2 B 5 ,  
△ A1 A3 A4 , △ A1 A2 B5 , △ A1 A5 B2 ) .  

2 . ( 2 0 0 2 年 全 国高 中数 学联 赛 题 ) 已 知两 个 实 数  集 合 A一 { 口   , 口 。 ,… , a   。 。 ) 与 集合 B一 { b   , b   ,… ,   b   。 ) , 若 从 A 到 B 的映射 - 厂使得 B 中的每 一个 元素 都  有原象, 且 f( a   ) ≤f( a   ) ≤ …≤f( a   。 。 ) , 则 这 样 的 映 

[ B 1 ]一 9 ,( △B 1 A3 A   , △B 1 B2 B 5 , △B l B3 B 4 ,  
△ B1 C3   C 4 ,   △ B1 _ B 2 C 5 ,   △ Bl   C2 B5 ,   △ B1 A2 A5 ,  
△ B1 A3 B4 , △ B1 A4 B3 ).  

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E c   ] 一2 , ( Z k C   B 。 B   , △C   B   B   ) , 由于 图 中没 有 
等边 三角形 , 则 每个 等腰 三 角形 恰有 一个 “ 顶” .  

四位 “ 吉 祥数 ” l a b c , 其 个 数 为满 足 n +b +C = = = 6的非 
负整 数解 个数 , 即  + 。 一   一2 8 个.  
。 .

据对 称 性 可 知 [ A] 一6 , E B   ]一 9 , [ C   ] 一2 , ( i  


‘ 2 0 0 5 是第 1 +7 +2 8 +2 8+ 1— 6 5个 “ 吉 祥 
5  

1, 2 , 3, 4 , 5 ) .  

数” , 即a 6 5 —2 0 0 5 . 从而 y / -6 5 , 5 n 一3 2 5 .  

因此 等腰 三角 形共 有 5?( 6 +9 +2 ) 一8 5个 .  

4 . 2 0 . 设分 别 有 . z   、   z   、 . z 。 、   个 杯 子被 倒 入 了红  色、 黄色 、 蓝色 、 白色 , 则 有 



又P ( 4 ) 一q 一8 4 , P( 5 ) 一G o 一2 1 0 , 而> : P( 忌 )  
k -l  

3 3 0,  
。 . .

7 7 1 +z 2 +z 3 +z 4 —4 ,  

① 

从 大 到小 最 后 六 个 五位 “ 吉祥 数 ” 依 次是 :  

每种倒 法 可用 方 程 ① 的 一 组 非 负 整 数 解 与 它 对 
应, 并 且是 一对 一 的. 由 于方 程 ① 的 非 负 整 数 解 共 有  C i 一2 0组 , 故共 有 2 0种 不 同 的倒 法 .  

7 0 0 0 0 , 6 1 0 0 0 , 6 0 1 0 0 , 6 0 0 1 0 , 6 0 0 0 1 , 5 2 0 0 0 .. ’ . 第 3 2 5  

个“ 吉祥 数” 是 5 2 0 0 0 , 即口 5   一5 2 0 0 0 .  
7 .赋值 i -1 , 2 , …, 1 4 , 则从 1 4个 数 中任 选 三 

5 .将 穿 过 8 个 单 位 正方 体 中心 的 每条 直 线 与 所 
穿过 的 8个 方 格 中两端 的两 个方 格 相 对应 , 当分 别 计 

个 数 的任 一 种 取 法 , 对应着一个排列 ( z   , X 。 , …,   z  ) , 反之 , 任一排列 ( z   , . z 。 , …, z  ) 必 对 应 着 一 个 
取法 , 故 一 种取 法 ( z   , X 。 , …, z  ) 是一一映射. 根 据  假 设 的要 求 , 取 法 总数 等于排 列 ( X l , z   , …,   ) 中 

算长为 8 、 8   、 8   的直 线 数 目时 , 三 种 情 况 下 都 是 
一 一

映射 , 分别 计数 后 由加 法原 理 即得答 案 为 2 2 4 .  

6 .。 . 。 方程 z   +z   +… +. z   一m 的非 负整 数 解 的 
个数为 c   + ㈠ , 而使 z   ≥1 , X   ≥0 (   ≥2 ) 的整 数 解 个  数为 C   m - +   1 一 。 , 现取 m一7 , 可知 , k位 “ 吉祥数” 的 个 数 
为 P( 走 ) 一C   + 5 .  


有 3个 1 , 1 1 个 0 . 而 且 每 两 个 1中至 少 隔 着 2个 0  
的排列 数. 为 了求这 样 的排列数 , 我 们 选 排 好 模 式 
1 0 0 1 0 0 1 , 然 后 将 剩 下 的 7个 0插 入 3个 l形 成 的 4  



。 2 0 0 5是 形如 2 a b c 的数 中最 小 的一个 “ 吉祥数” ,  

个空位 中, 故有 C  一   一C  种 方 法 , 这 就 是 所 有 不 
同 的取 法 总数 .  

且 P( 1 ) 一C   一1 , P( 2 ) 一C ; 一7 , P( 3 ) 一C   一2 8 , 对 于 

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观摩 课 主讲 . 观 摩 课 初 步 安 排 为 初 中 内容 两 节 ; 高中  
内容 两 节 .  

深入 开 展 , 并 以典 型 案 例 为 载 体 , 研 讨 在 新 课 程 实 施  中如 何贯 彻数 学 教学 新理 念 , 提高 驾 驭课 标 教 材 的能  力, 提升数学课 堂教学 水平 , 实 现数学 教 学质 量 和效益  双丰收 , 陕 西师范大 学 中学 数 学教学 参 考杂 志社 、 人 民 

3 . 中学 数学 新课 程 教学 案例 及其 分析 

结 合示 范课 , 由专 家 引领 , 进 行现 场 点评 和分 析 ,   并研 讨 当前 中学 数 学 新 课 程 课 堂 教 学 中存 在 的 问题  及其 解决 对策 .  
二、 会议 时 间地点  会议时间: 2 0 0 8年 9月 2 7   E t ~2 8日  

教 育 出版 社 中学 数 学 室 和 广 西 南 宁 三 中将 联 合 举 办  “ 中学数学新课 程教学 案例及其分 析” 专题研 讨会.  




会 议 主 要 内 容 

1 . 中学 数学 教学 案 例及 其分 析专 题报 告.   会 议特 邀请 下 列专 家作 专题 报告 :   陕 西 师 范 大 学 博 士 生 导 师 罗增 儒 教 授 : 案 例 研  究; 人 民教育 出版 社 中学 数 学 室 主 任 章 建 跃 博 士 : 聚  焦 中学 数学 核 心概念 思 想方法 的教 学设 计 研 究 ; 湖北  省 武汉 市教 科 院教 研 室 裴 光 亚 先 生 :面 对 数 学 课 程 

会 议地 点 : 广 西南 宁市 双拥路 2 0号 南鹰 宾馆  三、 会 议 筹备联 络 

中学数 学教 学 参考 杂 志社 
02 9— —8 5 3 08 1 54, 0 29— —8 5 3 0 85 36  

电子信 箱 : s ma t 9 9 9 @1 6 3 . c o m 
j ma t @1 6 3 . c o m 

陕西 师 范大学 中学数 学教 学参 考杂 志社  人 民教育 出版 社 中学数 学室  广西 南 宁市第 三 中学 
2 0 0 8年 7月 1 5日  

改革的思考 : 关于教学研究.  
2 . 中学 数学 新课 程教 学案 例 观摩.   会议 将 邀 请 广 西 、 广东 、 江 苏 等地 数 学 老 师担 任 

专家解读引领 现场观 摩点评  九 月 相 聚 南 宁 领 略 数 学 风 情 


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