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浙江省温州市2013届高三第二次模拟考试试题(word版)数学理


2013 年温州市高三第二次适应性测试 数学(理科)试题
选择题部分(共 50 分) 一、选择题:本大題共 1O 小題,每小題 5 分,共 50 分.在每小題给出的四个选项中,只 有一項符合題目要求. 1.已知全集 U=R,集合 A={x|x -1<0},B={y|y= x }则 A ? (CU B) =(▲)
2

A. (-1,0

) B. (-1,O] C. (0,1) D. [0,1) 2“ m ? 5 ”是“直线 x-2y + m=O 与圆 x2+y2=1 相切”的(▲) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.在Δ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 A = 300 ,B=1050,a=1.则 c= ( ▲) A- 1 B.

2

C.

3

D. 2

4. 若某几何体的二视图如图所示,则此几何体的体积是(▲) A- 2 B.

3 2

C. 3 D.

5 2

5. 下列命题正确的是(▲) A. 若平面 a 不平行于平面β .则β 内不存在直线平行于平面 a B. 若平面 a 不垂直于平面β .则多内不存在直线垂直于平面 a C. 若直线 l 不平行于平面 a 则 a 内不存在直线平行于直线 l D. 若直线 l 不垂于平面 a.则 a 内不存在直线垂直于直线 l 6. 已知 2 =3 =6 则有(▲)
a b c

a?b ? ( 2,3) c a?b ? ( 4,5) C c
A

a?b ? (3,4) c a?b ? (5,6) D c
B B. a2, b2 ,c2 D.

7. 已知三个不全相等的实数 a,b,c 成等比数列.则可能成等差数列的是(▲) A. a , b , c C. a3, b3 ,c3

a , b, c

8. 以下函数中满足 f(x+1)>f(x)+1 的是(▲)

A. f(x) = lnx

B. f(x)=e

x

C.f(x) = e -x

x

D. f(x) =e +x

x

?x ? 2 y ? 2 ? 9. 若实数 x,y 满足不等式组 ?2 x ? y ? 4 ,则 3|x-1|+y 的最大值是(▲) ? x ? y ? ?1 ?
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

10.抛物线 y2=2px(p>0)的准线交 x 轴了点 C,焦点为 F.A.B 是抛物线的两点.己知 A.B,C 三点共线,且|AF|,|BF|成等差数列,直线 AB 的斜率为 k,则有(▲) A k ?
2

1 4

B k2 ?

3 4

C k ?
2

1 2

D k2 ?

3 2

非选择题部分(共 100 分) 二、填空题:本大題共 7 小題,每小題 4 分,共 28 分. 11. i 是虚数单位,a,b∈R,若

a ? bi ? i 则 a+b=▲. a ?i

12.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值为▲. 13. 设 x = a0 +a1(1 + x) + a2(1 +x) +?+a6(1 + x) .则 a1 + a2 +?+ a6 = ▲ . 14. 己知正 Δ ABC 的边长为 1, AD ? DB, AE ? 2EC .则
6 2 6

BE.CD =▲
15. 有三位同学为过节日互赠礼物,每人准备一件礼物,先将 礼物集中在一个袋子中, 每人从 中随机抽取一件礼物.设恰好抽到自己准备的礼物的人数为 ? , 则 ? 的数学期望 E ? =_____. 16. 己知 F1,F2 分别是双曲线 x 2 ?
0

y2 ? 1 的左、右焦点,A 是双曲线上在第一象限内的 b2

点,若 |AF2|=2 且 ? F1AF2=45 .廷长 AF2 交双曲线右支于点 B,则 Δ F1AB 及的面积等于___▲

? 1 ? a ? 1 ( x ? 1), ( x ? a ) 1 3 ? 17. 设函数 f(x)= ? 若存在 l1,l2 使得 f (t1 ) ? , f (t 2 ) ? , t1-t2 则 2 2 ? 1 ( x ? 2), ( x ? a ) ?a ? 2 ?
的取值范围是 ▲.

三、解答题:本大題共 5 小題,共 72 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分) 已知 a =(2cosx,sinx), b =(0, (I)求 f ( ) 的值

3 cos x ),f(x)=| a + b |

?

6

(II)当 x ? (0,

?
3

) 时,求 f(x)的值域.

19. (本题满分 14 分) 己知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=2.当 n≥2 时.Sn-1+l, an . Sn+1 成筇等差数列. (I)求证:{Sn+1}是等比数列: (II)求数列{nan}的前 n 项和.

20.(本题满分 14 分)已知矩形 ABCD 中,AB= 2, AD = 5. E,F 分别在 AD,BC 上. 且 AE=1, BF = 3,沿 EF 将四边形 AEFB 折成四边形 A?EF B ? ,使点 B ? 在平面 CDEF 上的射影 H 在直线 DE 上. (I)求证: A?D //平面 B?FC (II)求二面角 A? -DE-F 的大小

.

21.(本题满分 15 分)如图.直线 l:y=kx+1 与椭圆 C1:
2 2

x2 y2 ? ? 1 交于 A,C 两点,A. C 16 4

在 X 轴两侧,B,D 是圆 C2:X +Y =16 上的两点.且 A 与 B. C 与 D 的横坐标相同.纵坐标同号. (I)求证:点 B 纵坐标是点 A 纵坐标的 2 倍,并计算|AB|-|CD|的取值范围; (II)试问直线 BD 是否经过一个定点?若是,求出定点的坐标:若不是,说明理由.

22. (本題满分 15 分) 已知函数 f ( x) ?

ln x . x

(I)若关于 X 的不等式 F(X)≤M 恒成立,求实数 M 的最小值: (II)对任意的 x1,x2∈(0,2)且 x1<x2,己知存在. x0 ? ( x1 , x2 ) 使得

f ?( x0 ) ?

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

求证: x0 ?

x1 x2

2013 年温州市高三第二次适应性测试 数学(理科)试题参考答案 项符合题目要求.

2013.4

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一

题号 答案

1 A

2 A

3 B

4 A

5 B

6 C

7 B

8 D

9 C

10 D

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.2 12.8 13.-1 14. ?

1 2

15.1

16.4

17. (??, ? ) U ( , ??)

1 2

1 2

三、解答题: 18.解: (I) f ( x) ?

(2 cos x) 2 ? (sin x ? 3 cos x) 2 ?????????2 分

? 7 cos 2 x ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x

? 1 ? 3(1 ? cos 2 x) ? 3 sin 2 x ??????????????4 分

? 4 ? 2 3 sin(2 x ? ) ??????????????6 分 3
∴ f( )?

?

?

6

7 ?????????????????????7 分
∴ 2x ?

(II)∵ x ? (0,

?
3

)

?

∴ sin(2 x ?

?
3

? ( , ? ) ?????????????9 分 3 3

?

) ? (0,1] ,
4?2 3

∴ 2 ? f ( x) ?

∴ f ( x) ? (2, 3 ? 1] ????????????????????14 分 19. (I)证明:∵ Sn ?1 ? 1, an , Sn ? 1 成等差数列 ∴ 2an ? Sn ? Sn?1 ? 2 (n ? 2) ????????????????2 分 ∴ 2(Sn ? Sn?1 ) ? Sn ? Sn?1 ? 2 即 Sn ? 3Sn?1 ? 2 ???????4 分

∴ Sn ? 1 ? 3(Sn?1 ? 1) (n ? 2) ??????6 分 ∴ {Sn ? 1} 是首项为 S1 ? 1 ? 3 ,公比为 3 的等比数列??????7 分 (II)解:由(I)可知 Sn ? 1 ? 3n ∴ Sn ? 3n ? 1 ???????????9 分

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2 ? 3n?1 又∵ a1 ? 2 ∴ an ? 2 ? 3n?1 (n ? N * ) ??????????????????11 分 ∴ Tn ? 2 ? 4 ? 3 ? 6 ? 3 ? L ? 2(n ?1) ? 3
2 n ?2

? 2n ? 3n?1

(1) (2)

3Tn ?

2 ? 3 ? 4 ? 32 ? 6 ? 33 ? L ? 2(n ?1) ? 3n?1 ? 2n ? 3n

(1)-(2)得:

?2Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ? L ? 2 ? 3n?1 ? 2n ? 3n ?

2(1 ? 3n ) ? 2n ? 3n ? 3n ? 1 ? 2n ? 3n 1? 3

∴ Tn ?

(2n ? 1) ? 3n ? 1 ??????????????????14 分 2
A ' E I DE ? E

20. (I)∵ A ' E ∥ B ' F , DE ∥ FC ∴ A ' E ∥平面 B ' FC , DE ∥平面 B ' FC ∴平面 A ' ED ∥平面 B ' FC ∴ A ' D ∥平面 B ' FC ??????????????????6 分 (II)方法一: 由(I)可知平面 A ' ED ∥平面 B ' FC ∴二面角 A '? DE ? F 与二面角 B '? FC ? E 互补????????8 分 过 B ' 作 B ' K ? EF 于 K ,连结 HK ∵ B ' H ? 平面 CDEF ∴ B ' H ? EF ∴ EF ? 平面 B ' KH ∴ EF ? KH

o o ∵ ?B ' FE ? 45 , ?B ' KF ? 90 , B ' F ? 3

∴ FK ?

3 2 2

∵ EF ? 2 2 ∴ EK ?
o o

2 2

又∵ ?KEH ? 45 , ?HKE ? 90 ∵ B'E ? 5

∴ EH ? 1

∴ B ' H ? 2 ????10 分 ∴ B ' H ? CF

过 H 作 HL ? CF 交 CF 延长线于点 L ,连结 B ' L ∵ B ' H ? 平面 CDEF ∴ CF ? 平面 B ' HL ∴ CF ? B ' L ∴ ?B ' LH 为二面角 B '? CF ? E 的平面角??????????12 分 ∵ HL ? 2 ? B ' H ∴ ?B ' LH ? 45
o
o

∴二面角 A '? DE ? F 的大小为 135 ??????????????14 分 方法二: 如图,过 E 作 ER ∥ DC ,过 E 作 ES ? 平面 EFCD 分别以 ER , ED , ES 为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系????8 分 ∵ B ' 在平面 CDEF 上的射影 H 在直线 DE 上,设 B '(0, y, z ) ( y, z ? R ) ∵ F (2, 2,0) , B ' E ? 5 , B ' F ? 3 ∴?
?

? y ?1 ?? 2 2 ?4 ? ( y ? 2) ? z ? 9 ? z ? 2 ? y2 ? z2 ? 5

∴ B '(0,1, 2) ????????????10 分

∴ FB ' ? (?2, ?1,2)

uuu r
uuu r

r 1 uuu 2 1 2 FB ' ? (? , ? , ) 3 3 3 3 r 设平面 A ' DE 的法向量为 n ? ( x0 , y0 , z0 )
∴ EA ' ?

又有 ED ? (0,4,0)

uur u

1 2 ? 2 ?? x ? y ? z ? 0 r ∴? 3 ? n ? (1, 0,1) ?????????????12 分 3 3 ?4 y ? 0 ?
又∵平面 CDEF 的法向量为 m ? (0,0,1) 设二面角 A '? DE ? F 的大小为 ? ,显然 ? 为钝角 ∴ cos ? ? ? | cos ? n, m ?|? ?

u r

r u r

2 2

∴ ? ? 135 ?????????14 分
o

21.(I)证明:设 A( x1 , y1 ), B( x1 , y2 ) ,根据题意:

? x12 ? 4 y12 ? 16 2 ? y2 ? 4 y12 ? 2 2 ? x1 ? y2 ? 16

∵ y1 , y2 同号,∴ y2 ? 2 y1 ????3 分

设 C( x3 , y3 ), D( x3 , y4 ) ,同理可得 y4 ? 2 y3 ∴ | AB |?| y1 |,| CD |?| y3 | ,

? x 2 ? 4 y 2 ? 16 由? ? (4k 2 ? 1) x 2 ? 8kx ? 12 ? 0 ? y ? kx ? 1
∵ A, C 在 x 轴的两侧 ∴ y1 y3 ? 0
2

∴ (kx1 ? 1)(kx3 ? 1) ? k x1 x3 ? k ( x1 ? x3 ) ? 1 ? 分

1 ? 16k 2 ?0 4k 2 ? 1

∴k ?
2

1 ????6 16

【这里 k 的取值范围直接从图中观察得到,照样给分】 ∴ | AB | ? | CD | ? | y1 | ? | y3 | ? y1 ? y3 ? k ( x1 ? x3 ) ? 2 ? 分 (II)解:∵直线 BD 的斜率 k ? ? 分 ∴直线 BD 的方程为 y ? 2k ( x ? x1 ) ? 2 y1 ? 2kx ? 2(kx1 ? y1 )

8 ? (0, ) ? ? 9 4k ? 1 5
2

2

2 y3 ? 2 y1 ? 2k ???????????????12 x3 ? x1

∵ y1 ? kx1 ? 1

∴直线 BD 的方程为 y ? 2kx ? 2

∴直线 BD 过定点 (0, 2) ??????????????????????15 分 22. (I)解:由 f ?( x ) ? 分 当 x ? (0, e) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增; 当 x ? (e, ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减; ∴ f max ( x) ? f (e) ? 分 ∵关于 x 的不等式 f ( x) ? m 恒成立 ∴ f max ( x) ? m ∴m ? 分 (II)证明:∵对任意的 x1 , x2 ? (0, 2) ,若存在 x0 ? ( x1 , x2 ) ,使得 f ?( x0 ) ?

1 ? ln x ? 0 解得 x ? e ???????????????????2 x2

1 ??????????????????????????4 e

1 e

即 m 的最小值为

1 ??????????????????????6 e

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1



1 ? ln x0 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 2 x0 x2 ? x1



1 ? ln x0 ( x2 ? x1 ) ? [ f ( x2 ) ? f ( x1 )] ? 0 ???????????8 分 2 x0
1 ? ln x ( x2 ? x1 ) ? [ f ( x2 ) ? f ( x1 )] ,则有 F ( x0 ) ? 0 ??????10 x2 2 ln x ? 3 ( x2 ? x1 ) , x3

令 F ( x) ? 分 ∴ F ?( x) ?

当 x ? (0, 2) 时, 2ln x ? 3 ? 2ln 2 ? 3 ? 0 ,又有 x2 ? x1 ? 0 ∴ F ?( x) ? 0 即 F ( x) 在 (0, 2) 上是减函数 ?????????????12 分

又∵ F ( x1 x2 ) ?

1 ? ln x1 x2 ( x2 ? x1 ) ? [ f ( x2 ) ? f ( x1 )] x1 x2 1 ? ln x1 x2 ln x ln x1 ( x2 ? x1 ) ? ( 2 ? ) x1 x2 x2 x1

?

?

x x 1 1 (1 ? ln 1 ) ? (1 ? ln 2 ) x1 x2 x2 x1



x2 1 1 1 ? t ? 1 ,∴ F ( x1 x2 ) ? [t ? (1 ? ln t ) ? (1 ? ln t )] x2 2 2 x1
1 1 t ? t ln t ? 1 ln t ) ? (1 ? ln t ) ,∴ h?(t ) ? 2 2 2t

设 h(t ) ? t ? (1 ?

设 k (t ) ? t ? t ln t ? 1 , ∴ k ?(t ) ? ? ln t ? 0 ( t ? 1 ) ,∴ k (t ) 在 (1, ??) 是减函数,∴ k (t ) ? k (1) ? 0 ∴ h?(t ) ? 0 ,∴ h(t ) 在 (1, ??) 是减函数,∴ h(t ) ? h(1) ? 0 ∴ F ( x1 x2 ) ? 分 ∵ F ( x) 在 (0, 2) 上是减函数,∴ x0 ?

1 ? h(t ) ? 0 ? F ( x0 ) ?????????????????14 x2

x1 x2 .?????????15 分


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