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高三复习5: 三角函数的图像与性质


高三复习 5:

三角函数的图像与性质
对称轴方程

x?

?
2

? k?

【知 识 梳 理】 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

x=kπ



?π ? (1)正弦函数 y=sin x,x∈[0,2π ]的图象中,五个关键点是:(0,0),? ,1?,(π ,0), ?2 ? ?3π ,-1?,(2π ,0). ? 2 ? ? ? ?π ? (2)余弦函数 y=cos x,x∈[0,2π ]的图象中,五个关键点是:(0,1),? ,0?,(π ,- ?2 ? ?3π ? 1),? ,0?,(2π ,1). ? 2 ?
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 k∈Z) 函数 图象

3.函数 y=Asin(ω x+φ )中各量的物理意义: 当函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0, ω >0), x∈[0, +∞) 表示一个振动量时,几个相关的概念如下表: 简谐振动 振幅 周期 频率 相位 ω x+φ 初相 φ

y=Asin(ω x+φ )(A>0, ω >0), A x∈[0,+∞)

T=

2π ω

f= T

1

4.函数 y=sin x 的图象经变换得到 y=Asin(ω x+φ )的图象的两种途径

y=sin x

y=cos x

y=tan x

定义 R 域 R

{x|x∈R,且x≠
kπ + ,k∈Z?
?

π 2 R

?

值域 周期性 奇偶性

[-1,1] 2π 奇函数

[-1,1] 2π 偶函数 [2kπ -π ,2kπ ]

π 奇函数

【题型归类】
题型一 “五点法”作函数 y ? A sin ??x ? ? ? 的图像 【例1】 用“五点法”作出函数 y ? 2 sin? 2 x ?

递增区间

? ?? ? 2k? ? ,2k? ? ? ? 2 2? ?

? ?? ? ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?

? ?

??

? 在一个周期内的函数图像. 3?

递减区间

? 3? ? ? 2k? ? ,2k? ? ? ? 2 2? ?

[2kπ ,2kπ+π]



对称中心

(kπ ,0)

(k? ?

?
2

,0)

?kπ ,0? ? 2 ? ? ?

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【训练 1】用“五点法“作出函数 y ?

1 ?? 3 ?1 cos? x ? ? ? 在一个周期内的函数图像. 2 4? 2 ?2

题型三 由图象求函数 y=Asin(ω x+φ )的解析式 【例 3】 (1)函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |<π )的部分图象如图所示, 则函数 f(x)的解析式为___ .

题型二 函数 y ? A sin ??x ? ? ?的图像变换 【例 2】(1)说明函数 y ? 2 sin? 2 x ? 到. π? ? (2)要得到函数 y=sin?4x- ?的图象,只需将函数 y=sin 4x 的图象( 3? ? π A.向左平移 个单位 12 )

(2)函数 f(x)=cos(ω x+φ )的部分图象如图所示,则 f(x)的单调递减区间为( 1 3? ? A.?kπ - ,kπ + ?,k∈Z 4 4? ? 3? ? 1 C.?k- ,k+ ?,k∈Z 4 4? ? 1 3? ? B.?2kπ - ,2kπ + ?,k∈Z 4 4? ? 1 3? ? D.?2k- ,2k+ ?,k∈Z 4 4? ?

)

? ?

??

? 的图像可由 y ? sin x 的图像经过怎样的变换而得 3?

π π π B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 12 3 3

π? ? 【训练 3】 (1)设函数 f(x)=sin(ω x+φ )?ω >0,0<φ < ?的部分图象如图所示,直线 2? ?

π (3)将函数 f(x)=sin(2x+φ )的图象向左平移 个单位,所得到的函数图象关于 y 轴对称, 8 则 φ 的一个可能取值为( 3π A. 4 π B. 4 ) C.0 π D.- 4

x= 是它的一条对称轴,则函数 f(x)的解析式为( ) A. f(x)=sin?x+ ? B.f(x)=sin?2x- ? C.f(x)=sin?4x+ ? D.f(x)=sin?2x+ ? 3 6 3 6

π 6

? ?

π?

?

? ?

π?

?

? ?

π?

?

? ?

π?

?

π 【训练 2】(1)y=3sin 2x 的图象左移 个单位长度后所得图象的解析式是 4

. (1)

π π? ? (2)将函数 f(x)=sin(ω x+φ )?ω >0,- ≤φ < ?图象上每一点的横坐标缩短为原来 2 2? ? π 的一半,纵坐标不变,再向右平移 个单位长度得到 y=sin x 的图象,则 f 6

?π ?=________. ?6? ? ?

(2) 如图, 某地一天, 从 6~14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ω x+φ )+b(A>0, ω >0,0<φ <π ),则这段曲线的函数解析式为________.

(2)
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课时作业 一、选择题 π 1.将函数 y=cos 2x+1 的图象向右平移 个单位,再向下平移 1 个单位后得到的函数图象对 4 应的表达式为( A.y=sin 2x ) B.y=sin 2x+2 C.y=cos 2x π? ? D.y=cos?2x- ? 4? ?

8.已知函数 y ? 2 sin( 2 x ?

?
3

).

(1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像; (3)说明 y ? 2 sin( 2 x ?

?
3

) 的图像可由 y ? sin x 的图像经过怎样的变换而得到.

π π? ? 2.(2015·萍乡联考)函数 f(x)=2sin(ω x+φ )?ω >0,- <φ < ? 2 2? ? 的部分图象如图所示,则 ω ,φ 的值分别是( 1 π A. 和 2 6 1 π B. 和- 2 3 π C.2 和 6 ) π D.2 和- 3

π π? ? 3.(2015·河南六市联考)将奇函数 f(x)=Asin(ω x+φ )?A≠0,ω >0,- <φ < ?的图 2 2? ? π 象向左平移 个单位得到的图象关于原点对称,则ω的值可以为( 6 A.6 B.3 C.4 D.2 )

? ?π ?? 4.已知函数 f(x)=sin(2x+φ ),φ ∈(0,2π ),其中 f(x)≤?f? ??,对 x∈R 恒成立,且 ? ? 6 ??
f? ?<f(π ),则 f(x)的单调递增区间是( 2
π 2π ? ? A.?kπ + ,kπ + ?(k∈Z) 6 3 ? ? π π? ? C.?kπ - ,kπ + ?(k∈Z) 3 6? ? 二、填空题 π π? ? 6.已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )?ω >0,- ≤φ ≤ ?的图象上的两个相邻的最高点和最 2 2? ? 1? ? 低点的距离为 2 2,且过点?2,- ?,则函数解析式 f(x)=________. 2? ? ? 7.将函数 y ? 8 sin x 的图像上所有的点向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长 8 的原来的 4 倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是 三、解答题 .

?π ? ? ?

)

9.某同学用“五点法” 画函数 y ? A sin(?x ? ? ) (? ? 0, ? ? 列表并填入部分数据,如下表:

?
2

) 在某一个周期内的图像时,

π? ? B.?kπ ,kπ + ?(k∈Z) 2? ? π ? ? D.?kπ - ,kπ ?(k∈Z) 2 ? ?

?x ? ?

0

x
A sin(?x ? ? )
0

? 2 ? 3

?

3? 2 5? 6
-5

2?

0

(1) 请将上述数据补充完整,并直接写出函数 f ( x) 的解析式. (2) 将函数 f ( x) 图像上所有点向左平行移动

? 个单位长度,得到 y ? g ( x) 的图像,求 6

y ? g ( x) 图像离原点 O 最近的对称中心.

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