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正弦定理与余弦定理导学案


正弦定理、余弦定理
【基础知识】 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.

a ? sin A
它们的变形形式有:a =

= ; b=

=2R(R 为 c=

);

sin A ? sin B
2.余弦定理:一边平方等于其他

两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. a2=b2+c2-2bccosA; b2= ; 2 c= . 变形形式有: cos A ? . 3.三角形的面积公式: (1)S==

1 absinC= 2



1 acsinB 2
). (D)5 6 ).

【基础练习】 1. 在 ?ABC 中, A ? 600 , B ? 750 , a ? 10, 则 c ? ( (B) 10 2 (C)
10 6 3

(A) 5 2

2. 在 ?ABC 中, a ? 2 3,b ? 2 2,B ? 45? ,则 A 为(

( A)60?或120? ( B)60?

(C)30?或150?

( D)30?

(a ? b ? c) (a ? b ? c) ? ab ,则角 C 的大小为 3.已知 a, b, c是?ABC 三边长,若满足等式
(A) 60
0

(B) 90

0

(C) 120
0

0

(D) 150

0

4.在 ?ABC 中, a ? 18, b ? 20, A ? 150 满足条件的三角形有( ). (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D) 3 个 5. 在 ?ABC 中, a ? 2b cos C ,则此三角形一定是 6. 在 ?ABC 中,已知 a ? 3, b ? 3, C ? 300 ,则 A ? .

.

1

【典型例题】 题型一:正弦、余弦定理的简单应用 例 1. (1)在 ?ABC 中,已知 a ? 3, b ?

2, B ? 450 ,解三角形;

(2)在 ? ABC 中,已知 a ? 2 3 , c ? 6 ? 2 , B ? 600 ,求 b 及 A;

变式练习: 在 ?ABC 中,已知 a ? 8, C ? 750 , B ? 600 ,求边 b和c .

2

变式练习: 1.在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是( (A)等腰直角三角形 (B)直角三角形 (C) 等腰三角形 (D)等边三角形 2. 在 ? ABC 中, 如果 lg a ? lg c ? lg sin B ? lg



2 , 且 B 为锐角, 试判断此三角形的形状. 2

题型三: 正、余弦定理的综合应用 例 3 在△ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边长,已知 a、b、c 成等比数列, 且 a2-c2=ac-bc,求∠A 的大小及

b sin B 的值. c

变式练习:

?ABC 的三个内角为 A、B、C ,求当 A 为何值时, cos A ? 2 cos
求出这个最大值.

B?C 取得最大值,并 2

1. 在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则

AC 的值等于 cos A



2. 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 且满足 cos (I)求 ?ABC 的面积; (II)若 c ? 1 ,求 a 的值.
3

A 2 5 ? ,AB ? AC ? 3 . 2 5

1. 在 ???C中,若

sin A cos B ? ,则?B ? ( ) a b

( A)30?

( B)45?

(C )60?

( D)90?

2. 以 4、5、6 为边长的三角形一定是( ) (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 锐角或钝角三角形 3. 在 ?ABC 中, b cos A ? a cos B ,则三角形为( ) (A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C)等腰三角形 (D)等边三角形 4. 在 ?ABC 中, cos A cos B ? sin A sin B,则 ?ABC 是( ) (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)正三角形 5. 在 ?ABC 中, a ? b ? 12,A ? 60? ,B ? 45? ,则 a ? _______, b ? ________ 6. 在 ?ABC 中,化简 b cos C ? c cos B ? ___________ 7. 在 ?ABC 中,已知 sin A:sin B:sin C ? 654 : : ,则 cosA ? ___________ 8. 已知在 ?ABC 中, ?A ? 45? ,a ? 2,c ? 6 ,解此三角形

9.在 ?ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且

sin A ?

5 10 ,sin B ? 5 10

(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。

4

10.在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c , 已知 a ? c ? 2b ,且 sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b
2 2

5

【基础练习】 1. 在 ?ABC 中, A ? 600 , B ? 750 , a ? 10, 则 c ? ( (A) 5 2 (B) 10 2 (C) 103 6 C ).

(D)5 6

2. 在 ?ABC 中, a ? 2 3,b ? 2 2,B ? 45? ,则 A 为( A )

( A)60?或120? ( B)60?
解析: ?

(C)30?或150?

( D)30?

a b a 3 ? , ? sin A ? sin B ? ,答案为 A. sin A sin B b 2

(a ? b ? c) (a ? b ? c) ? ab ,则角 C 的大小为 3.已知 a, b, c是?ABC 三边长,若满足等式
( C
0

). (B) 90
0

(A) 60

(C) 120

0

(D) 150

0

4.在 ?ABC 中, a ? 18, b ? 20, A ? 1500 满足条件的三角形有( A (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D) 3 个 5. 在 ?ABC 中, a ? 2b cos C ,则此三角形一定是

).

.

解析:由正弦定理 sin A ? 2 sin B cosC,? sin(B ? C ) ? 2 sin B cosC,? sin(B ? C ) ? 0 所以 B ? C 答案:等腰三角形. 6. 在 ?ABC 中, a, b, c分别是角 A、B、C 所对的边,已知 a ? 3, b ? 3, C ? 300 , 则A?
2 2

.
2

解析:? c ? a ? b ? 2abcosC ? 3, 答案: A ? 30
0

?c ? 3,? a ? c, 则A ? C ? 300

【典型例题】 题型一:正弦、余弦定理的简单应用 例 1. (1)在 ?ABC 中,已知 a ? 3, b ?

2, B ? 450 ,解三角形;

(2)在 ? ABC 中,已知 a ? 2 3 , c ? 6 ? 2 , B ? 600 ,求 b 及 A. 【审题要津】已知三角形的两边及一边的对角应选用正弦定理,已知三角形的两边及其夹 角应选用余弦定理.
6

解析: (1)根据根据正弦定理,?

a b a 3 ? , ?sin A ? sin B ? sin A sin B b 2

? a ? b,? A ? 600 或A ? 1200 ;
当 A ? 60 时, C ? 180 ? 45 ? 60 ? 75 , c ?
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

b sin C sin B

?

6? 2 2

; ;

当 A ? 120 时, C ? 180 ? 45 ? 120 ? 15 , c ? 所以 A ? 60 , C ? 750 , c ?
0

b sin C sin B

?

6? 2 2

6? 2 2

或 A ? 120 , C ? 150 , c ?
0

6? 2 2

(2)∵ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B = (2 3)2 ? ( 6 ? 2)2 ? 2?2 3 ?( 6 ? 2) cos 450 = 12 ? ( 6 ? 2)2 ? 4 3( 3 ?1) =8 ∴ b ? 2 2. 求 A 可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理: 解法一:∵cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 (2 2)2 ? ( 6 ? 2 )2 ? (2 3)2 1 ? ? , ∴ A ? 600. 2bc 2 2? 2 2 ?( 6 ? 2)

a 2 3 ?sin450 , 解法二:∵sin A ? sin B ? b 2 2
又∵ 6 ? 2 > 2.4 ?1.4 ? 3.8, 2 3 < 2?1.8 ? 3.6, ∴ a < c ,即 00 < A < 900 , ∴ A ? 600. 【题后反思】应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能 有两解的情形. 变式练习: (1)在 ?ABC 中,已知 a ? 8, C ? 75 , B ? 60 ,求边 b和c .
0 0

(2)在 ? ABC 中,已知 a ?134.6cm , b ? 87.8cm , c ?161.7cm ,解三角形 解析: (1)? B ? 60 , C ? 75 ,? A ? 45 ,根据正弦定理
0 0 0

a b c ? ? , sin A sin B sin C

sin B a sin C b ? asin A ? 4 6 , c ? sin A ? 4 3 ? 4

(2)由余弦定理的推论得:
7

cos A?

b2 ? c2 ? a2 87.82 ?161.72 ?134.62 ? 0.5543, ? 2bc 2?87.8?161.7 A ? 56020? ;

cos B ?

c2 ? a2 ?b2 134.62 ?161.72 ?87.82 ? 0.8398, ? 2ca 2?134.6?161.7 B ? 32053? ;

C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (56020? ? 32053?) ? 90047?.

题型二:判定三角形的形状问题 例 2 在 ? ABC 中, a、b、c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边,如果

(a 2 ? b 2) sin(A ? B) = (a 2 ? b 2) sin(A ? B) ,试判断三角形的形状.
【审题要津】合理根据条件利用正弦定理、余弦定理进行边角互化,将边角关系转化边边 关系或角角关系. 解: 方法一:已知等式可化为 a 2 [sin(A ? B) ? sin(A ? B)] ? b 2 [? sin(A ? B) ? sin(A ? B)]

? 2a 2 cos A sin B ? 2b 2 cos B sin A ,
由正弦定理,即 sin A cos A sin B ? sin B cos B sin A ,
2 2

所以 sin A sin B(sin A cos A ? sin B cos B) ? 0,? sin 2 A ? sin 2B,由0 ? 2 A,2B ? 2? , 可得: 2 A ? 2 B或2 A ? ? ? 2 B ,即 ? ABC 为等腰或直角三角线. 方法二:同方法一可得 2a cos A sin B ? 2b cos B sin A ,由正弦定理可得:
2 2

a 2b

b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 ? ab2 ;? a 2 (b 2 ? c 2 ? a 2 ) ? b 2 (a 2 ? c 2 ? b 2 ) 2bc 2ac
2 2 2

2 2 2 2 2 即 (a ? b )(a ? b ? c ) ? 0, 所以 a ? b或a ? b ? c

故 ? ABC 为等腰或直角三角线. 【题后反思】判定三角形的形状通常可以从角、或从边两种角度加以正弦定理或余弦定理 为工具进行推理论证. 变式练习:1.在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是( (A)等腰直角三角形 (B)直角三角形
8



(C) 等腰三角形 (D)等边三角形 答案:C 解析:2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)又∵2sinAcosB=sinC, ∴sin(A-B)=0,∴A=B 点评:本题考查了三角形的基本性质,要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方 向,通畅解题途径 2. 在 ? ABC 中, 如果 lg a ? lg c ? lg sin B ? lg

2 , 且 B 为锐角, 试判断此三角形的形状. 2

解:由 lg sin B ? lg

2 2 0 ,由 B 为锐角,? B ? 45 , 得 sin B ? 2 2 a 2 sin A 2 . ? , 所以由正弦定理得 ? c 2 sin C 2

由 lg a ? lg c ? lg sin B ,得

所以 2 sin C ? 2 sin A ? 2 sin(1350 ? C),即sin C ? sin C ? cosC, 故 cosC ? 0, 所以C ? 900 ,故 ? ABC 为等腰直角三角形.

题型三: 正、余弦定理的综合应用 例 3 在△ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边长,已知 a、b、c 成等比数列,

b sin B 的值. c 【审题要津】 因给出的是 a、b、c 之间的等量关系,要求∠A,需找∠A 与三边的关系,
且 a2-c2=ac-bc,求∠A 的大小及
b2 b sin B =a,再用正弦定理可求 的值。 c c 解法一:∵a、b、c 成等比数列,∴b2=ac.

故可用余弦定理。由 b2=ac 可变形为 又 a2-c2=ac-bc,∴b2+c2-a2=bc.

b2 ? c2 ? a2 bc 1 = = ,∴∠A=60°. 2bc 2bc 2 b sin A 在△ABC 中,由正弦定理得 sinB= ,∵b2=ac,∠A=60°, a

在△ABC 中,由余弦定理得:cosA=



b sin B b 2 sin 60? 3 ? =sin60°= 。 c ac 2

解法二:在△ABC 中,由面积公式得

1 1 bcsinA= acsinB. 2 2

3 b sin B =sinA= . 2 c
9

∵b2=ac,∠A=60°,∴bcsinA=b2sinB.

【题后反思】 解三角形时,找三边一角之间的关系常用余弦定理,找两边两角之间的关 系常用正弦定理. 变式练习: 1. (2009 湖南卷文)在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则

AC 的值等于 cos A



AC 的取值范围为
答案 2, ( 2 , 3 )

.

解:设 ?A ? ? , ? B ? 2? . 由正弦定理得

AC BC AC AC ? ,? ?1? ? 2. sin 2? sin ? 2 cos ? cos ?
由锐角 ?ABC 得 0 ? 2? ? 90 ? 0 ? ? ? 45 , 又 0 ? 180 ? 3? ? 90 ? 30 ? ? ? 60 ,故 30 ? ? ? 45 ?

2 3 , ? cos ? ? 2 2

? AC ? 2 cos ? ? ( 2, 3).
2. (2009 浙江文)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos

A 2 5 ? 2 5

AB ? AC ? 3 . (I)求 ?ABC 的面积;
解: (Ⅰ) cos A ? 2 cos
2

(II)若 c ? 1 ,求 a 的值.

A 2 5 2 3 ?1 ? 2 ? ( ) ?1 ? 2 5 5 4 3 2 os A ? bc ? 3 ,所以 又 A ? (0, ? ) ,sin A ? 1 ? cos A ? ,而 AB . AC ? AB . AC . c 5 5 1 1 4 bc ? 5 ,所以 ?ABC 的面积为: bc sin A ? ? 5 ? ? 2 2 2 5 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bc ? 5 ,而 c ? 1 ,所以 b ? 5
所以 a ? b 2 ? c 2 ? 2bccos A ?

25 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 5

点评:本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公 式以及倍角公式,考察应用、分析和计算能力

1. 在 ???C中,若

sin A cos B ? ,则?B ? ( B a b
10



( A)30?

( B)45?

(C )60?

( D)90?

解析:? 由题意及正弦定理可得 tanB ? 1 答案:B 2. 以 4、5、6 为边长的三角形一定是( A ) (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 锐角或钝角三角形 解析:长为 6 的边所对角最大,设它为 ? 则 cos ? ?
? 0? ? ? ? 90?

16 ? 25 ? 36 1 ? ?0 2?4?5 8

答案:A 3. 在 ?ABC 中, b cos A ? a cos B ,则三角形为( C ) (A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C)等腰三角形 (D)等边三角形 解析:由余弦定理可将原等式化为
b? b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 ?a? 2 bc 2ac

即2b 2 ? 2a 2 , ? a ? b

答案:C 4. 在 ?ABC 中, cos A cos B ? sin A sin B,则 ?ABC 是( C ) (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)正三角形 解析: 原不等式可变形为 cos( A ? B) ? 0 ,

? 0 ? A ? B ? ?, ? ? ? B ?(0, ) 2

?

从而C ? ? ? (A ? B) ?(
答案:C

?
2

,? )

5. 三角形的两边分别为 5 和 3,它们夹角的余弦是方程 5x 2 ? 7 x ? 6 ? 0 的根,则三角形的 另一边长为( B ) (A)52 (B) 2 13 (C)16 (D)4

3 解析:由题意得 cos? ? ? 或 2(舍去) 5

? 三角形的另一边长 ? 52 ? 32 ? 2 ? 5 ? 3 ? cos? ? 52 ? 2 13
答案:B
11

6. 如果 ?A 则 ( 1B 1C1 的三个内角的余弦值分别等于 ?A2 B2C2 的三个内角的正弦值, (A) ?A 1B 1C1 和 ?A2 B2C2 都是锐角三角形 (B) ?A 1B 1C1 和 ?A2 B2C2 都是钝角三角形 (C) ?A 1B 1C1 是钝角三角形, ?A2 B2C2 是锐角三角形 (D) ?A 1B 1C1 是锐角三角形, ?A2 B2C2 是钝角三角形 解析: ?A 1B 1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则 ?A 1B 1C1 是锐角三角形,

) .

? ? ? ? ? sin A2 ? cos A1 ? sin( 2 ? A1 ) ? A2 ? 2 ? A1 ? ? ? ? ? ? 若 ?A2 B2C2 是锐角三角形,由 ? sin B2 ? cos B1 ? sin( ? B1 ) ,得 ? B2 ? ? B1 , 2 2 ? ? ? ? ? ? ?sin C2 ? cos C1 ? sin( 2 ? C1 ) ?C2 ? 2 ? C1 ? ?
那么, A2 ? B2 ? C2 ? 答案:D 7. 在 ?ABC 中, a ? b ? 12,A ? 60? ,B ? 45? ,则 a ? _______, b ? ________
36 ? 12 6,12 6 ? 24

?
2

,所以 ?A2 B2C2 是钝角三角形。故选 D.

解析:?

a b sin A sin 60? 6 ? , ?a ? b? b? b sin A sin B sin B sin 45? 2

又 ? a ? b ? 12, ? a ? 36 ? 12 6,b ? 12 6 ? 24 8. 在 ?ABC 中,化简 b cos C ? c cos B ? ___________

a2 ? b2 ? c2 a2 ? c2 ? b2 ?c? ?a 解析:利用余弦定理,得原式 ? b ? 2ab 2ac
答案: a 9. 在 ?ABC 中,已知 sin A:sin B:sin C ? 654 : : ,则 cosA ? ___________ 解析:由正弦定理得 a: b: c ? 654 :: 设 1 份为 k,则 a ? 6k,b ? 5k,c ? 4 k

12

再由余弦定理得 cos A ? 答案:

b2 ? c2 ? a 2 1 ? 2 bc 8

1 8

10. 在 ?ABC 中,A、B 均为锐角,且 cos A ? sin B ,则 ?ABC 是_________. 钝角三角形 解析:由 cos A ? sin B 得 sin(

?
2

? A) ? sin B

? A、B 均为锐角,?

?

? A ?(0, ) ,B ?(0, ) 2 2 2

?

?

而 y ? sin x 在 (0, ) 上是增函数 2

?

?

?
2

?A?B

即A ? B?

?
2

? C ? ? ? (A ? B) ?( ,? ) 2
11. 已知在 ?ABC 中, ?A ? 45? ,a ? 2,c ? 6 ,解此三角形。 解:由正弦定理得:

?

sin C ?

c 6 2 3 sin A ? ? ? ,? ?C ? 60?或120? , a 2 2 2
a 2 sin B ? ? sin A 2 2 a 2 sin B ? ? sin A 2 2 6? 2 ? 3 ?1 4

当 ?C ? 60? 时, ?B ? 180??(?A ? ?C) ? 75? , b ?

当?C ? 120? 时,?B ? 180??(?A ? ?C) ? 15? , b ?

6? 2 ? 3 ?1 4

? b ? 3 ? 1,?C ? 60? ,?B ? 75? 或b ? 3 ? 1,?C ? 120? ,?B ? 15?

12. 在四边形 ABCD 中, BC ? a,DC ? 2a, 四个角 A、B、C、D 的度数的比为 3:7:4:10, 求 AB 的长。 解析:设四个角 A、B、C、D 的度数分别为 3x、7x、4x、10x 则有 3x ? 7x ? 4x ? 10x ? 360? , 解得 x ? 15? ? A ? 45? ,B ? 105? ,C ? 60? ,D ? 150?
13

连 BD,在 ?BCD 中,由余弦定理得:

BD 2 ? BC 2 ? DC 2 ? 2BC ? DC ? cos C ? a 2 ? 4a 2 ? 2 ? a ? 2a ?
? BD ? 3a ,
此时,DC 2 ? BD 2 ? BC 2

1 ? 3a 2 2

??BCD 是以 DC 为斜边的直角三角形 ??C D B ? 30? , ??BDA ? 150??30?? 120?
在??BD中,由正弦定理有:

BD ? sin ?BDA AB ? ? sin A
3 2a 2

3a ?

3 2 ?3 2a 2 2 2

? AB 的长为

13. (2009 四川卷文) 在 ?ABC 中,A、B 为锐角, 角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 且 sin A ?

5 10 ,sin B ? 5 10

(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值.
5 10 ,sin B ? 5 10

解(I)∵ A、B 为锐角, sin A ?

∴ cos A ? 1 ? sin A ?
2

2 5 3 10 , cos B ? 1 ? sin 2 B ? 5 10 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? . 5 10 5 10 2

cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
∵ 0 ? A? B ?? ∴ A? B ?

?
4
3? 2 ,∴ sin C ? 4 2

(II)由(I)知 C ? 由

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C
14

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b, c ? 5b
又∵ ∴ ∴

a ? b ? 2 ?1 2b ? b ? 2? 1 ∴ b ? 1

a ? 2 ,c ?

5

14.(2009 全国卷Ⅰ理)在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c , 已知 a ? c ? 2b ,且 sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b .
2 2

解法一: 在 ?ABC 中

sin A cos C ? 3cos A sin C, 则由正弦定理及余弦定理有:

a

a2 ? b2 ? c2 b2 ? c2 ? a2 2 2 2 ? 3c 化简并整理得: 2(a ? c ) ? b . 2ab 2bc
2 2 2

又由已知 a ? c ? 2b ? 4b ? b .解得 b ? 4或b ? 0(舍) . 解法二: 由余弦定理得: a ? c ? b ? 2bc cos A .又 a ? c ? 2b , b ? 0 .
2 2 2 2 2

所以 b ? 2c cos A ? 2 ① sin A cos C ? 3cos A sin C ? sin A cos C ? cos A sin C ? 4 cos A sin C 又 ,

sin( A ? C ) ? 4cos A sin C ,即 sin B ? 4 cos A sin C
由正弦定理得 sin B ? 由①,②解得 b ? 4 . 15. 已知 ?ABC 的外接圆半径是 2 ,且满足条件 2 2 (sin 2 A ? sin 2 C) ? (a ? b) sin B . (1)求角 C. (2)求 ?ABC 面积的最大值. 解: (1)? R ? 2且2 2 (sin 2 A ? sin 2 C) ? (a ? b) sin B
2 ? (2 2 ) 2 ( s i 2nA ? s i n C) ? (a ? b) ? 2 2 s i n B

b sin C ,故 b ? 4c cos A c



即 (2R) 2 sin 2 A ? (2R) 2 sin 2 C ? (a ? b)2R sin B 由正弦定理知 a 2 ? c 2 ? (a ? b) b
15

即 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab 由余弦定理得 cos C ?
a 2 ? b2 ? c2 ab 1 ? ? 2ab 2ab 2

?C ? 60?
(2) S ?

1 ab sin C 2 ? 1 ? 2R ? sin A ? 2R sin B ? sin 60? 2

? 3 ? 2 sin A sin B ? ? 3[cos(A ? B) ? cos(A ? B)] ? ? 3[cos(180??60? ) ? cos(A ? B)] 1 ? 3[ ? cos(A ? B)] 2
1 3 3 . ? 当 A=B 时,S 的最大值 3 ( ? 1) ? 2 2

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