当前位置:首页 >> 数学 >>

15级高一数学不等式中恒成立问题的解法


不等式中恒成立问题的解法 “含参不等式恒成立问题” 把不等式、 函数、 三角、 几何等内容有机地结合起来, 其以覆盖知识点多,综合性强,解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另 一方面, 在解决这类问题的过程中涉及的 “函数与方程” 、 “化归与转化” 、 “数形结合” 、 “分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力,培养其思维的灵活性、创造性 都有着独到的作用恒成立问

题的基本类型: 一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式,则可考虑应用判别式法解题。一般地,对于二次 函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0, x ? R) ,有 1) f ( x) ? 0 对 x ? R 恒成立 ? ?

?a ? 0 ; ?? ? 0 ?a ? 0 . ?? ? 0

2) f ( x) ? 0 对 x ? R 恒成立 ? ?

例 1:若不等式 (m ? 1) x 2 ? (m ? 1) x ? 2 ? 0 的解集是 R,求 m 的范围。 解析:要想应用上面的结论,就得保证是二次的,才有判别式,但二次项系数含有参 数 m,所以要讨论 m-1 是否是 0。 (1)当 m-1=0 时,元不等式化为 2>0 恒成立,满足题意; (2) m ? 1 ? 0 时,只需 ?

?m ? 1 ? 0
2 ?? ? (m ? 1) ? 8(m ? 1) ? 0

,所以, m ? [1,9)

二、最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型有: 1) f ( x) ? a 恒成立 ? a ? f ( x) min 2) f ( x) ? a 恒成立 ? a ? f ( x) max

2 例 2、若 x ?? ?2, 2? 时,不等式 x ? ax ? 3 ? a 恒成立,求 a 的取值范围。

解:设 f ? x ? ? x ? ax ? 3 ? a ,则问题转化为当 x ?? ?2, 2? 时, f ? x ? 的最小值非负。
2

(1) 当 ?

a 7 ? ?2 即: a ? 4 时, f ? x?min ? f ? ?2? ? 7 ? 3a ? 0 ? a ? 又 a ? 4 所 2 3

以 a 不存在; (2) 当 ?2 ?

a ? 2 即 : ?4 ? a ? 4 时 , f ? x ? m i ? n 2

a ? a? f ?? ? ? 3? a ? ? 0 4 ? 2?

2

??6 ? a ? 2 又 ?4 ? a ? 4 ??4 ? a ? 2 a (3) 当 ? ? 2 即: a ? ?4 时, f ? x?min ? f ? 2? ? 7 ? a ? 0 ? a ? ?7 又 a ? ?4 2 ??7 ? a ? ?4 综上所得: ?7 ? a ? 2
三、分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为 求主元函数的最值, 进而求出参数范围。 这种方法本质也还是求最值, 但它思路更清晰, 操作性更强。一般地有: 1) f ( x) ? g (a)(a为参数) 恒成立 ? g (a) ? f ( x) max 2) f ( x) ? g (a)(a为参数) 恒成立 ? g (a) ? f ( x) max
x 2 x 例 3.已知 x ? ? ??,1? 时,不等式 1 ? 2 ? a ? a ? 4 ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。

?

?

x 解:令 2 ? t ,

x ? ? ??,1? ?t ? ? 0 , 2 ? 所以原不等式可化为: a 2 ? a ?

t ?1 , t2

要使上式在 t ? ? 0, 2 上恒成立,只须求出 f ? t ? ?

?

t ?1 在 t ? ? 0, 2? 上的最小值即可。 t2

t ?1 ? 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 f ?t ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? t ?t ? t ?t 2? 4
? f ? t ?min ? f ? 2 ? ? 3 4 ? a2 ? a ? 3 4 ??

2

2

1 ?1 ? ? ? , ?? ? t ?2 ?
1 3 ?a? 2 2

注:分离参数后,方向明确,思路清晰能使问题顺利得到解决。 四、变换主元法 处理含参不等式恒成立的某些问题时,若能适时的把主元变量和参数变量进行“换 位”思考,往往会使问题降次、简化。

例 4.对任意 a ? [?1,1] ,不等式 x 2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 恒成立,求 x 的取值范围。 分析:题中的不等式是关于 x 的一元二次不等式,但若把 a 看成主元,则问题可转 化为一次不等式 ( x ? 2)a ? x 2 ? 4 x ? 4 ? 0 在 a ? [?1,1] 上恒成立的问题。 解 : 令 f (a) ? ( x ? 2)a ? x 2 ? 4 x ? 4 , 则 原 问 题 转 化 为 f (a ) ? 0 恒 成 立 ( a ? [?1,1] ) 。 当 x ? 2 时,可得 f (a ) ? 0 ,不合题意。 当 x ? 2 时,应有 ?

? f (1) ? 0 解之得 x ? 1或x ? 3 。 ? f (?1) ? 0

故 x 的取值范围为 (??,1) ? (3,??) 。 注:一般地,一次函数 f ( x) ? kx ? b(k ? 0) 在 [? , ? ] 上恒有 f ( x) ? 0 的充要条 件为 ?

? f (? ) ? 0 。 ? f (? ) ? 0

四、数形结合法 数学家华罗庚曾说过: “数缺形时少直观,形缺数时难入微” ,这充分说明了数形结 合思想的妙处,在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道,函数图象和不 等式有着密切的联系: 1) f ( x) ? g ( x) ? 函数 f ( x) 图象恒在函数 g ( x) 图象上方; 2) f ( x) ? g ( x) ? 函数 f ( x) 图象恒在函数 g ( x) 图象下上方。

2 x 例 5: 已知 a ? 0, a ? 1, f ( x ) ? x ? a , 当x ? ( ?1,1)时, 有f ( x ) ?

1 恒成立 ,求实数 a 2

的取值范围。

1 1 ,得x 2 ? ? a x ,在同一直角坐标系中做出两个函数的 2 2 1 1 2 2 ?1 图象,如果两个函数分别在 x=-1 和 x=1 处相交,则由 1 ? ? a及(?1) ? ? a 得 2 2 1 x x 到 a 分别等于 2 和 0.5,并作出函数 y ? 2 及y ? ( ) 的图象,所以,要想使函数 2 1 x 2 ? ? a x 在区间 x ? (?1,1) 中恒成立,只须 y ? 2 x 在区间 x ? (?1,1) 对应的图象在 2 1 y ? x 2 ? 在区间 x ? (?1,1) 对应图象的上面即可。当 a ? 1时, 只有a ? 2 才能保证, 2
2 x 解析:由 f ( x ) ? x ? a ?

而 0 ? a ? 1时,只有a ?

1 1 才可以,所以 a ? [ ,1) ? (1,2] 。 2 2

由此可以看出,对于参数不能单独放在一侧的,可以利用函数图象来解。利用函 数图象解题时,思路是从边界处(从相等处)开始形成的。 综合练习; 例 6 已 知

f(x) 是 定 义 在 [-1,1] 上 的 奇 函 数 , 且

f(1)=1, 若

m, n ? [?1,1], m ? n ? 0时

f (m) ? f (n) ? 0, 若 f ( x) ? t 2 ? 2at ? 1 对于所有的 x ? [?1,1], a ? [?1,1] m?n

恒成立,求实数 t 的取值范围. 解析 本题不等式中有三个变量, 因此可以通过消元转化的策略, 先消去一个变量, 容易证明 f(x)是定义在 [-1,1] 上的增函数, 故 f(x)在 [-1,1]上的最大值为 f(1)=1,则
f ( x) ? t 2 ? 2at ? 1 对 于 所 有 的 x ? [?1,1], a ? [?1,1] 恒 成 立 ? 1 ? t 2 ? 2at ? 1 对 于 所 有 的
a ? [?1,1] 恒成立,即 2ta ? t 2 ? 0 对于所有的 a ? [?1,1] 恒成立,令 g (a) ? 2ta ? t 2 ,只要
? g (?1) ? 0 , ? t ? ?2或t ? 2或t ? 0 . ? ? g (1) ? 0

课后作业: 1.已知函数 y ? lg[ x ? (a ? 1) x ? a ] 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围。
2 2 2 2 解 : 由 题 设 可 将 问 题 转 化 为 不 等 式 x ? (a ? 1) x ? a ? 0 对 x ? R 恒 成 立 , 即 有

1 ? ? (a ? 1) 2 ? 4a 2 ? 0 解得 a ? ?1或a ? 。 3 1 所以实数 a 的取值范围为 (?? ,?1) ? ( ,?? ) 。 3 若不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |…a 对任意 x ?R 恒成立,则 a 的取值范围是 . 【分析】先确定 | x ? 1| ? | x ? 2 | 的取值范围,则只要 a 不大于 | x ? 1| ? | x ? 2 | 的最小值
即可. 【解】当 x ? ?1 时, | x ? 1| ? | x ? 2 |? ? x ? 1 ? x ? 2 ? ?2 x ? 1 …3 ; 当 ?1 ? x ? 2 时, | x ? 1| ? | x ? 2 |? x ? 1 ? x ? 2 ? 3 ;

当 x ? 2 时, | x ? 1| ? | x ? 2 |? x ? 1 ? x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 3 ; 综上可得 | x ? 1| ? | x ? 2 |…3 ,所以只要 a ? 3 , 即实数 a 的取值范围是 (??,3] . 【答案】 (??,3]

2..函数 f ( x) ?

x 2 ? 2x ? a , x ? [1,??) ,若对任意 x ? [1,??) , f ( x) ? 0 恒成立,求 x

实数 a 的取值范围。 解:若对任意 x ? [1,??) , f ( x) ? 0 恒成立,

x 2 ? 2x ? a ? 0 恒成立, 即对 x ? [1,??) , f ( x) ? x
2 考虑到不等式的分母 x ? [1,??) ,只需 x ? 2 x ? a ? 0 在 x ? [1,??) 时恒成立而得

2 ( x) ? g (1) ? 3 ? a ? 0 得 而 抛 物 线 g ( x) ? x ? 2 x ? a 在 x ? [1,??) 的 最 小 值 g m i n

a ? ?3
注:本题还可将 f ( x) 变形为 f ( x) ? x ?

a ? 2 ,讨论其单调性从而求出 f ( x) 最小值。 x

若二次不等式中 x 的取值范围有限制,则可利用根的分布解决问题。 3.设 f ( x) ? x ? 2mx ? 2 ,当 x ? [?1,??) 时, f ( x) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范
2

围。 解:设 F ( x) ? x ? 2mx ? 2 ? m ,则当 x ? [?1,??) 时, F ( x) ? 0 恒成立
2

当 ? ? 4(m ? 1)(m ? 2) ? 0即 ? 2 ? m ? 1时, F ( x) ? 0 显然成立; 当 ? ? 0 时,如图, F ( x) ? 0 恒成立的充要条件为:

y x

? ?? ? 0 ? ? F ( ?1) ? 0 解得 ? 3 ? m ? ?2 。 ? ? 2m ?? ? ?1 2 ?
综上可得实数 m 的取值范围为 [?3,1) 。

-1 O

x

2 4: 在 ? ABC 中, 已知 f ( B) ? 4 sin B sin (

?
4

?

B ) ? cos 2 B, 且 | f ( B) ? m |? 2 恒成立, 2

求实数 m 的范围。 解析:由

f ( B) ? 4 sin B sin 2 (

?
4

?

B ) ? cos 2 B ? 2 sin B ? 1,? 0 ? B ? ? ,? sin B ? (0,1] 2



?m ? f ( B) ? 2 即? 恒 f ( B) ? (1,3] , ?| f ( B) ? m |? 2 恒成立, ? ?2 ? f ( B) ? m ? 2 , ?m ? f ( B) ? 2
成立,? m ? (1,3]

2 5、若不等式 2 x ? 1 ? m x ? 1 对满足 m ? 2 的所有 m 都成立,求 x 的取值范围。 2 解:设 f ? m ? ? m x ? 1 ? ? 2 x ? 1? ,对满足 m ? 2 的 m , f ? m? ? 0 恒成立,

?

?

?

?

2 ? ? ? f ? ?2 ? ? 0 ??2 ? x ? 1? ? ? 2 x ? 1? ? 0 ?? ?? 2 f 2 ? 0 ? ? ? ? ? ?2 ? x ? 1? ? ? 2 x ? 1? ? 0

解得:

?1 ? 7 1? 3 ?x? 2 2

6、若不等式 3x2 ? loga x ? 0 在 x ? ? 0, ? 内恒成立,求实数 a 的取值范围。 解 : 由 题 意 知 : 3x2 ? loga x 在

? ?

1? 3?

? 1? x ? ? 0, ? 内恒成立, ? 3?
在同一坐标系内,分别作出函数 y ? 3x2 和 y ? log a x 观察两函数图象, 当 x ? ? 0, ? 时, 若 a ? 1 函数 y ? log a x 的图象显然在函数 y ? 3x2 图 象的下方,所以不成立; 当 0 ? a ? 1 时,由图可知, y ? log a x 的图象必须过点 ? , ? 或在这个点的上方,则,

? ?

1? 3?

?1 1? ?3 3?

log a

1 1 ? 3 3

?a ? 1 27

1 27

?1 ? a ?

1 27

综上得: 1 ? a ?

8、已知不等式:

1 1 1 1 2 ? ? ...... ? ? loga (a ? 1) ? 对一切大于 1 的自 n ?1 n ? 2 n ? n 12 3

然数 n 恒成立,求实数 a 的范围。 [a ? (1,

1? 5 )] 2



例 3 已知 f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 ? a ,若 x ? [?2,2], f ( x) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围. 解 析 本 题 可 以 化 归 为 求 函 数 f(x) 在 闭 区 间 上 的 最 值 问 题 , 只 要 对 于 任 意
x ? [?2,2], f ( x) min ? 2 . 若 x ? [?2,2], f ( x) ? 2 恒 成 立 ? ?x ? [?2,2], f ( x) min ? 2 ?

? a ?? ? ?2 ? 2 ? n f (?2) ? 7 ? 3a ? 2 ? f ( x) m i ?

a ? ?2? ? ? 2 ? 2 ? 或? 或 a a2 ? f ( x) ?2 min ? f ( ? ) ? 3 ? a ? ? 2 4 ?

? a ?? ? 2 ,即 a 的取值范围为 ? 2 ? f ( x ) ? f ( 2 ) ? 7 ? a ? 2 min ?

[?5,?2 ? 2 2 ] .

例 4 已知函数 f ( x) ?| x2 ? 4x ? 5 | , 若在区间 [ ?1,5] 上,y ? kx ? 3k 的图象位于函数 f(x) 的上方,求 k 的取值范围. 解析 本题等价于一个不等式恒成立问题 ,即对于 ?x ?[?1,5], kx ? 3k ? ? x 2 ? 4x ? 5 恒

成立,式子中有两个变量,可以通过变量分离化归为求函数的最值问题. 对于
?x ?[?1,5], kx ? 3k ? ? x2 ? 4x ? 5 恒 成 立 ? k ?

? x 2 ? 4x ? 5 对 于 ?x ? [?1,5] 恒 成 立 , 令 x?3

y?

16 ? x 2 ? 4x ? 5 , x ?[?1,5] ,设 x ? 3 ? t , t ? [ 2,8] ,则 y ? ?(t ? ) ? 10, t ? [2,8], ?当t ? 4 ,即 x=1 t x?3

时 ymax ? 2 , ? k 的取值范围是 k>2. 变式 :已知函数 f ( x) ?| x2 ? 4x ? 5 | ,若在区间 [ ?1,5] 上, y ? k ( x ? 3) 2 的图象位于函 数 f(x)的上方,求 k 的取值范围 由 题 意 得 , 对 于 ?x ?[?1,5], k ( x ? 3) 2 ? ? x 2 ? 4x ? 5 恒 成 立 ? k ?
? x 2 ? 4x ? 5 ( x ? 3) 2

对于

?x ? [?1,5]

恒 成 立 , 令

y?

? x 2 ? 4x ? 5 ( x ? 3) 2

, x ? [?1,5]

, 设 x ? 3 ? t , t ? [2,8] , 则

y??

16 10 4 5 9 ? ? 1 ? ?( ? ) 2 ? , t ? [ 2,8] , 2 t t 4 16 t

4 5 1 9 9 ?当 ? , 即x ? 时 , y max ? , ? k 的取值范围是 k> . t 4 5 16 16


相关文章:
高一数学中的恒成立问题_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高一数学中的恒成立...15级高一数学不等式中恒... 4页 免费 函数中的恒成立问题 10页 免费 高一数学...
关键词:恒成立问题;解法;函数;不等式 我们在高中数学教学中,经常遇到一些恒成立问题,我们反复讲解,大多数学生也束手 无策, 不知道从哪里下手, 找不到问题的...
高考数学中不等式恒成立问题参数求解技巧_数学_高中教育_教育专区。2010 届高考数学不等式恒成立问题参数求解技巧在不等式中,有一类问题是求参数在什么范围...
不等式中恒成立问题的解法_高一数学_数学_高中教育_教育专区。不等式中恒成立问题的解法 “含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起...
高考数学中恒成立问题的一般解法冉娟利_数学_高中教育_教育专区。高考数学中恒成立...下面我就 结合自己的教学经验谈谈不等式的恒成立问题的解决方法。 一.函数法 ...
不等式恒成立问题不等式恒成立问题数学试题中的...在正式求解之前先解决两个问题: 1、怎么判断是恒...2 当 x ? 3 时取得最小值为 16 分 15 15 ,...
高中数学不等式的恒成立问题_数学_高中教育_教育专区。高中数学不等式的恒成立...解析:由题意知,函数 值范围.此不等式为超越不等式,求解时一般使用数形结合法...
不等式恒成立问题》教案_数学_高中教育_教育专区。《不等式恒成立问题》一、...(2) 能力目标:掌握不等式恒成立问题的解法,熟练应用四大数学思想, 提升解决问题...
不等式中恒成立问题的解法研究 完美_哲学/历史_人文社科_专业资料。不等式恒成立问题中心摘要近几年在数学高考试题中经常遇到不等式恒成立问题。 在 05 年高考辽宁...
更多相关标签:
高一数学不等式解法 | 不等式恒成立问题解法 | 一元二次不等式的解法 | 绝对值不等式的解法 | 不等式的解法 | 分式不等式的解法 | 不等式组的解法 | 一元一次不等式的解法 |