当前位置:首页 >> 数学 >>

三角函数及解三角形知识点总结


1. 任意角的三角函数的定义:设 ? 是任意一个角,P ( x, y ) 是 ? 的终边上的任意一点(异

于原点) ,它与原点的距离是 r ?

x 2 ? y 2 ? 0 , 那 么 sin ? ?

y x , cos ? ? r r
y


a的 终边
P( x

,y) r

tan ? ?

y , ? x ? 0? x

三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点 P 的位置无关。

o
2.三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余弦)

x

+ -

+ -

- -

+ +

- +

+ -

sin? cos? tan ?
3.同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系: sin ? ? cos ? ? 1,1 ? tan ? ?
2 2 2

(2)商数关系: tan ? ?

sin ? (用于切化弦) cos ?

1 cos 2 ?

※平方关系一般为隐含条件,直接运用。注意“1”的代换

4.三角函数的诱导公式
诱导公式(把角写成

k? ? ? 形式,利用口诀:奇变偶不变,符号看象限) 2
?sin(? ? x ) ? ? sin x ? Ⅲ) ?cos(? ? x ) ? ? cos x ?t an( ? ? x) ? t an x ?

?sin(? x) ? ? sin x ?sin(2k? ? x) ? sin x ? ? Ⅰ) ?cos(2k? ? x) ? cos x Ⅱ) ?cos(? x) ? cos x ?t an(? x) ? ? t an x ?t an(2k? ? x) ? t an x ? ?
?sin(? ? x ) ? sin x Ⅳ) ? ?cos(? ? x ) ? ? cos x ?t an( ? ? x) ? ? t an x ?

? ? ? ? sin( ? ? ) ? cos? sin( ? ? ) ? cos? ? ? ? 2 2 Ⅴ) ? Ⅵ) ? ? ? ?cos( ? ? ) ? sin ? ?cos(? ? ? ) ? ? sin ? ? ? 2 ? 2 ?

5.特殊角的三角函数值



0?
0
0

30?

45?

60?

90?

120?
2? 3

135?
3? 4

150?
5? 6 1 2

180?

270 ?

360?
2?
0

弧度

? 6
1 2

? 4
2 2
2 2

? 3
3 2
1 2

? 2

?
0

3? 2

sin ?

1

3 2
? 1 2

2 2
? 2 2

1

cos ?

1

3 2 3 3

0

?

3 2 3 3

?1

0

1

tan ?

0

1

3



? 3

?1

?

0



0

6.三角函数的图像及性质 函 质





y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图 像

定 义 域 值 域 最 值

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?

??1,1?
当 x ? 2 k? ?

??1,1?
当 x ? 2k? ? k ? Z ? 时,

R

?
2

? k ? Z ? 时,

既无最大值也无最小值

ymax ? 1 ;

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

当 x ? 2 k? ?

?
2

? k ? Z ? 时,

? k ? Z ? 时, ymin ? ?1.

ymin ? ?1.
周 期 性 奇 偶 性 在 ?? 单 调 性

2?

2?

?

奇函数

偶函数

奇函数

? ? ? ? ? 2k? , ? 2k? ? 2 ? 2 ?

? k ? Z ? 上是增函数;
在?

在 ??? ? 2k? ,2k? ? ? k ? Z ? 上是增函数; 在 ?2k? ,2k? ? ? ? ? k ? Z ? 上是减函数.

在 ? k? ?

? ?

?
2

, k? ?

??
? 2?

3? ?? ? ? 2 k? , ? 2 k? ? 2 ?2 ?

? k ? Z ? 上是增函数.

? k ? Z ? 上是减函数.
对称中心 对 称 性 对称中心 ? k? ,0?? k ? Z ? 对称轴 x ? k? ?

?
2

?k ? Z ?

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? Z ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ? Z ?

对称中心 ?

? k? ? , 0??k ? Z ? ? 2 ?

无对称轴

7.函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的画法: ①“五点法”――设 X ? ? x ? ? ,令 X =0, 点的坐标,描点后得出图象;

?
2

,? ,

3? , 2? 求出相应的 x 值,计算得出五 2

②图象变换法:这是作函数简图常用方法。

8.图像的平移变换:函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象与 y ? sin x 图象间的关系:

要 特别注意 ,若由 y ? sin ?? x ? 得到 y ? sin ??x ? ? ? 的图象,则向左或向右平移应平移

|

? | 个单位 ?

例:以 y ? sin x 变换到 y ? 4sin(3x ? ? ) 为例 3
y ? sin x 向左平移

?
3

个单位 (左加右减)

?? ? y ?sin ?x? ? 3? ?

横坐标变为原来的

1 ?? ? 倍(纵坐标不变) y ? sin ? 3x ? ? 3 3? ?

?? 纵坐标变为原来的 4 倍(横坐标不变) y ? 4sin ? ? 3x ? ? 3? ?

1 y ? sin x 横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变) y ? sin ?3x ? 3
向左平移

? 个单位 (左加右减) 9

?? ?? ? ? y ? sin 3 ? x ? ? ? sin ? 3x ? ? 9? 3? ? ?

?? 纵坐标变为原来的 4 倍(横坐标不变) y ? 4sin ? ? 3x ? ? 3? ?

注意:在变换中改变的始终是 x。

9、三角恒等变换 1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式: (1) sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? sin ? cos ? (2) sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? sin ? cos ? (3) cos(? ? ? ) ? cos? cos? ? sin ? sin ? (4) cos(? ? ? ) ? cos? cos? ? sin ? sin ?

? ? ?) ? (5) tan( ? ? ?) ? (6) tan(

tan? ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1? tan ? tan ? ? 1 ? tan? tan ? tan? ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1? tan ? tan ? ? 1 ? tan? tan ?

(7) a sin ? ? b cos ? = a2 ? b2 sin(? ? ? ) ( 其中 , 辅助角 ? 所在象限由点 ( a , b ) 所在的象 限决定, sin ? ?

b a ?b
2 2

, cos ? ?

a a ?b
2 2

, tan ? ?

b ,该法也叫合一变形). a

(8)

1 ? tan ? ? 1 ? tan ? ? ? tan( ? ? ) ? tan( ? ? ) 1 ? tan ? 4 1 ? tan ? 4

10、二倍角公式 (1) sin 2a ? 2 sin a cos a (2) cos2a ? cos a ? sin a ? 1 ? 2 sin a ? 2 cos a ? 1
2 2 2 2

(3) tan 2a ?

2 tan a 1 ? tan 2 a

11. 降幂公式: (1) cos a ?
2

1 ? cos 2a 2

(2) sin a ?
2

1 ? cos 2a 2

12. 升幂公式 (1) 1 ? cos ? ? 2 cos (3) 1 ? sin ? ? (sin (5) sin ? ? 2 sin
2

?
2

(2) 1 ? cos ? ? 2 sin

2

?
2

?
2

? cos

?
2

)2

(4) 1 ? sin ? ? cos ?
2 2

?
2

cos

?
2

13.三角变换:
函数名称变换:三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式:

a sin ? ? b cos ? ? a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) 其中 cos? ?

a a ?b
2 2

, sin ? ?

b a ? b2 ,
2

y ? sin x ? 3 cos x ? 12 ? ( 3 ) 2 (
比如:

1 12 ? ( 3 ) 2

sin x ?

3 12 ? ( 3 ) 2

cos x)

? ? ? 1 3 ? 2( sin x ? cos x) ? 2(sin x cos ? cos x sin ) ? 2 sin( x ? ) 3 3 3 2 2
注意:“凑角”运用: ? ? ?? ? ? ? ? ? , 14、三角形中常用的关系:

? ? ? ? ? ? ?? ? ,

?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2?

1

sin A ? sin(B ? C ) , sin 2 A ? ? sin 2( B ? C ) ,

cos A ? ? cos(B ? C ) , cos2 A ? cos2( B ? C )
6 ? 2 ,sin 75? ? cos15? ? 4

sin

A B?C ? cos , 2 2

常见数据: sin15? ? cos 75? ?

6? 2 , 4

tan15? ? 2 ? 3 , tan75? ? 2 ? 3 ,
15、正弦定理:在 ??? C 中,a 、b 、c 分别为角 ? 、? 、C 的对边, R 为 ??? C a b c ? ? ? 2 R (R 是三角形外接圆半径) 的外接圆的半径,则有 . sin ? sin ? sin C 注:正弦定理的变形公式: ① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; a b c ② sin ? ? , sin ? ? , sin C ? ; 2R 2R 2R ③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C 16、余弦定理:在 ??? C 中,有
a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos ? , b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos ? , c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C

cos ? ? 注: 余弦定理的推论:

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 cos C ? cos ? ? , , . 2bc 2ab 2ac

1 1 1 17、三角形面积公式: S???C ? bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? 2 2 2 1 S ?ABC ? ? 两边之积 ? 两边夹角的正弦值 2 1 S ?ABC ? 底 ? 高 2 注: (1)①如果一个三角形两边的平方和等于第三边,那么第三边所对的角为

直角; ②如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角为钝角; ③如果大于第三边的平方,那么第三边所对角为锐角。 (课本第 6 页右下角)
C 的对边, b、 例如 a 、 则: ①若① a 2 ? b2 ? c2 , 则 C ? 90? ; c 是 ??? C 的角 ? 、 ?、

②若 a 2 ? b2 ? c2 ,则. 90? ? C ? 180? ,C 为钝角 ③若 a 2 ? b2 ? c2 ,则 0? ? C ? 90? ;C 为锐角 (2)在三角形中一些重要的知识点; 1. A ? B ? C ? ? , A, B, C ? (0,? ) 2.任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。 3.大角对大边,小角对小边,等角对等边。 4.在三角形中,如果某一边不是最大的边,那么这条边所对的角一定是锐角。 5.在三角形中,如果某一边是最大的边,那么它所对的角可能是锐角,直角, 钝角。


相关文章:
解三角形知识点归纳(附三角函数公式)
高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b<c 3、三角形中的...
三角函数及解三角形知识点总结
三角函数及解三角形知识点总结_数学_高中教育_教育专区。1. 任意角的三角函数的定义:设 ? 是任意一个角,P ( x, y ) 是 ? 的终边上的任意一点(异 于...
三角函数+解三角形知识点总结例题剖析
2 ? 无对称轴 2 解三角函数知识点 1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B); 三角形三角关系:A+B+C=180° C=180° (A+B); a2、三角形...
三角函数与解三角形知识点复习表
三角函数解三角形知识点复习表_数学_高中教育_教育专区。三角函数的图像与性质任意角 ? 的终边与单位圆交于点 P( x, y ) 时, 基本 同角三角 问 函数关系...
三角函数解三角形知识点
三角函数解三角形知识点_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 三角函数解三角形知识点_数学_高中教育_教育专区。三角函数解三角形知识点...
三角函数+解三角形知识点总结例题剖析
三角函数+解三角形知识点总结例题剖析_数学_高中教育_教育专区。三角函数 5、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 6、...
三角函数和解三角形知识点
三角函数解三角形知识点一.考试要求 内 基本初等函数Ⅱ (三角函数) 、三 角恒等变换 解三角形 容 等级要求 A B √√√ C √ 两角和(差)的正弦、余弦和...
1.三角函数、解三角形知识点及其解题思路
1.三角函数、解三角形知识点及其解题思路_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第二轮专题复习 1:三角函数及解三角形 【三角函数】 一. 【解题思路及方法】 1.化...
三角函数及解三角形总结提升
三角函数及解三角形总结提升_数学_高中教育_教育专区。三角函数及解三角形总结提升 1.cos(- A. 2 2.已知 sinα= 5 A. <m<6 2 17π 17π )-sin(- ...
三角函数 三角恒等变换及其解三角形知识点总结理科
三角函数 三角恒等变换及其解三角形知识点总结理科_高一数学_数学_高中教育_教育专区。三角函数 三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制: (1)在直角坐标系内...
更多相关标签:
解三角形知识点总结 | 三角函数知识点总结 | 解三角形知识点 | 高中解三角形知识点 | 三角函数的知识点总结 | 三角函数与解三角形 | 解三角形题型总结 | 三角函数 解三角形 |