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2012年全国高中数学图形计算器应用能力测试试题及参考答案


2012 年

第9期

Journal of Chinese Mathematics Education

No. 9

2012

2012 年全国高中数学图形计算器应用能力测试 试题及参考答案
本试卷分为填空题和解答题两部分. 试卷满分 150 分. 考试 时间 1

20 分钟 . 试题解答过程中可以使用卡西欧 fx-9750 系列 、 fx-9860 系列、fx-CG 系列和 ClassPad 系列图形计算器. 一、填空题 ( 本大题共 12 小题,每小题 7 分,满分 84 分 . 把答案填在题中横线上 ) 1. 已知 a = sin (-516°) ,b = tan 522°,c = cos 527°,把它们 按从小到大的顺序用“<”连接起来为 5x + 3y + 13z = 122, 2. 已知三元一次方程组 2x + 21y + 34z = 290, 则 x + y - z x + 5y + 8z = 71, 的值为 . 3. 农场种植的甲、乙两种水稻,在面积相等的两块稻田中 连续 6 年的年平均产量 ( 单位:kg ) 如下:
表1 品种 甲 乙 第1年 450 445 第2年 460 480 第3年 450 475 第4年 425 425 第5年 455 430 第6年 460 445

确到 1 元 ) . 11. 利用式子 π = 2 × 2 × 4 × 4 × 6 × 6 × 8 × 8 × … 2 1 3 3 5 5 7 7 9 的前 200 项之积,估算圆周率 π 的值为 π 对一切 x∈R 恒成立,则 ≠ 6 ≠ ( 精确到 0.001 ) . 12. 设函数 f(x ) = asin 2x + cos 2x,其中 a ∈R, a ≠0. 若 f(x )≤ f



π ①f 12

= 0; ≠ ≠

π π ② f(x ) 的单调递增区间是 kπ - ,kπ + ,k∈Z; 3 6





③ f(x ) 是偶函数; ④ 存在经过点 (a,1 ) 的直线与函数 f(x ) 的图象不相交. 以上结论正确的是 编号 ) . 二、解答题 ( 本大题共 4 小题,满分 66 分,解答应写出必 要的文字说明、演算步骤或证明过程 ) 13. ( 本小题满分 15 分 ) 在学校里,有的老师经常对学生这 样说: “如果你的数学成绩好,那么你的物理成绩也不会差.”一 同学随机抽取班里 10 名学生,并记录下他们期中考试的数学和 ( 精确到 0.001 ) . 物理成绩 ( 满分均为 100 分 ) 如下表所示:
表2 序号 数学 x 物理 y 1 88 78 2 65 62 3 74 71 4 66 64 5 63 61 6 68 68 7 76 67 8 89 91 9 71 73 10 72 71

( 写出所有正确结论的

则产量比较稳定的品种是 4. 不等式 2x - 1 > 2 姨 x 的解集为



5. 已知数列 {an } 的通项公式为 an = 40n + 2 012 ,n∈N*,an n2 取得最小值时,n 的值为 则此方程实数根的个数最多为
2

. .

6. 已知关于 x 的方程为 lg ax - 1 = sin x,a∈N*,且 a < 5, x + 4x + 2,x ≤ m, 若函数 g (x )= f(x )- x ≤ 2,x > m, .

7. 已知函数 f(x )=

(1 )建立一个 y 与 x 的线性回归模型,并用该模型预测此班 某同学数学成绩为 80 分时他的物理成绩; (2 )建立一个 y 与 x 的非线性回归模型,使 r2 尽可能接近于 1, 并用该模型预测此班某同学数学成绩为 80 分时他的物理成绩; )上述两个模型哪个更可靠?请说明理由. (3 14. ( 本小题满分 15 分 ) 已知函数 f(x )= ln (ex + a )( a 为常 数 ) 是 R 上的奇函数. (1 )求 a 的值; (2 )若函数 g (x )= sin x - f(x ) ,求函数 g (x ) 在 [-1,1] 上的 最大值; (3 )若关于 x 的方程 ln x = x2 - 2ex + m 有实数根,求 m 的 f(x ) 取值范围 ( 精确到 0.01 ) .

恰有三个零点,则实数 m 的取值范围是 上整数点的坐标为 .

8. 已知双曲线 x2 - 3y2 = 1,当 20 ≤ y ≤ 100 时,该双曲线 9. 已知关于 x 的实系数方程 x2 + ax + 2b = 0 的一个根在 0和 1 之间,另一个根在 1 和 2 之间,则 b - 2 的取值范围是 a-1 . 10. 某人从银行贷款 12 万元,计划 4 年还清,还款方式为 等额本息 ( 即每月偿还的本金和利息之和相同 ) . 若年利率为6.9%, 按月复利,那么在第 10 期还款中,应还利息为 ( 精

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S H I T I H U IC U I

试 题 荟 萃
15. (本 小 题 满 分 18 分 ) 如图 1, 一个观光览车转轮的半径为 8 m,每 12 分钟旋转一周,转轮上最低点与地 面距离为 2 m. 观光览车启动后按逆时 针方向匀速旋转,图中 OP 为初始位 2 m 置,其中 O 为转轮圆心, P 为转轮上 一点,OP 平行于地面. 位:分钟 ) 的函数解析式; (2 )经过 15.5 分钟后,求点 P 走过的路程 ( 精确到 0.1 m ); )求在每一周内点 P 高于地面 15 米时的旋转时间 ( 精确 (3 到 0.1 分钟 ) . 16. ( 本小题满分 18 分 ) 已知数列 {an } 满足 a1 = 2,an +1 = λan + 2 ,n∈N*.
n

O

8m

P

(3 ) 图1 图3

非图形计算器环境:利用消元法直接解方程. 3. 甲 提示: 利用 “ 统计 ” 功能模块,分两列输入数据,进行双 变量或单变量统计,比较两种水稻的标准差可得.

(1 )求点 P 离地面的距离 h ( 单位: m ) 与旋转时间 t (单

(1 )当 a2 = -1 时,求 λ 及 a3,a7 的值. (2 )若数列 {an } 为等比数列,数列 {bn } 满足 bn = log2an. 记 Sn = a1 + a2 + … + an, Tn = b1 + b2 + … + bn, Rn = 8Tn ,求使 R > n Sn + 2
(1 ) (2 )

1 ( * n∈N) 成立的 n 的取值范围,并说明理由. 12 a (3 )若 λ > 1,且数列 {cn } 满足 cn = 1 - n an + 1





1 ,求 姨a n + 1

) (3 图4

证:0 < c1 + c2 + … + cn < 姨 2 . 附:参考答案 ( 使用 CG20 图形计算器 ) 一、填空题 1. c < a < b 提示:利用“计算 · 矩阵”功能模块分别进行计算,注意角 的单位应设置为度.

非图形计算器环境:纸笔运算,先计算平均数,然后计算 方差进行比较可得. 4. {x 0 ≤ x < 0.134,或 x > 1.866 } 提示:利用“图形”功能模块,作出函数 y = 2x - 1 ,y = 2 姨 x 的图象,利用图形分析功能求出两个函数图象的交点并显 示其坐标,数形结合可得到不等式的解集.

图2

(1 )

(2 )

非图形计算器环境:同一平面直角坐标系中,利用诱导公 式结合函数图象,比较大小. 2. 0 提示: 利用 “ 解方程 (组 )” 功能模块,输入各方程的系 数,求解即得.
(3 ) 图5

非图形计算器环境:两边直接平方,代数变形,利用一元 二次不等式求解. 2x - 1 > 2 姨 x 圳
(1 ) (2 )
2 (2x - 1 ) > 4x

x ≥ 0, ≥

圳0 ≤ x < 1 -

姨 3 ,或 x > 1 + 姨 3 . 2 2

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试 题 荟 萃
5. 5 提示:利用“图形”模块功能作出函数 y = 40x + 2 012 的 x2 图象 . 对图象进行分析,可得当 x ≈4.65 时, y 取得最小值 . 由 于 x ∈N ,因此分别计算 x = 4, x = 5 时的函数值 . 通过比较可
*

非图形计算器环境:对实数 a 赋值,运用函数图象,观察 、 推理、判断. 7. [-1,2 ) 提示:由已知 g (x )= x + 3x + 2,x ≤ m, 画出图象,求出 ≤ 2 - x,x > m,
3

得当 x = 5 时,取得最小值.

与 x 轴的交点,分析图象可得.

(1 )

(2 ) 图8

非图形计算器环境:纸笔画图,由二次函数 、 一次函数的 图象性质,观察、推理并判断. 8. ( 97,56 ),或 (-97,56 )
) (3

提示:设 x′ = y,y′ = x,则 y′ = ± 姨1 + 3x′2 ,利用“表格”
(4 )

功能模块,设定如图,从列表中搜索即可 . 也可利用“递归 · 数 列”功能中的表格.

) (5

图6

(6 ) (1 ) (2 )

非图形计算器环境:运用导数方法,同时结合函数图象求 解;或利用均值不等式求解. 6. 6 提示:利用“动态图 ” 功能模块,作出函数 y = lg ax - 1 和函数 y = sin x 的图象,调整参数 a 的值,观察交点个数即得.

(3 ) 图9

非图形计算器环境:代数变形,直接尝试,x = ± 姨1 + 3y2 , 20 ≤ y ≤ 100.
(1 ) (2 )

9.

1 ,1 姨 姨 4
姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨

提示:令 f(x )= x2 + ax + 2b. f(0 )> 0, f(2 )> 0. 由已知有 f(1 )< 0,得到约束条件 1 + a + 2b < 0, 2 + a + b > 0. 作出可行域为三角形的内部,用图形分析功能求出三角形 三顶点的坐标 A (-3,1 ),B (-2,0 ),C (-1,0 ) . 因为过三角形内的点 (a,b ) 和点 D (1,2 ) 的直线的斜率 k = b-2 , a-1 所以 1 = kAD < b - 2 < kCD = 1, 4 a-1
(5 ) 图7 (6 )
姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨

b > 0,

(3 )

(4 )

1 ,1 即 b - 2 的取值范围是 . 4 a-1





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试 题 荟 萃
2 (2n ) 的前 (2n - 1 ) (2n + 1 ) 100 项之积的问题后,利用一般计算器运算求解.

非图形计算器环境:转化为数列 an =

12. ①② 提示: f(x )= asin (2x )+ cos (2x )= 姨a2 + 1 ·sin (2x + φ )≤
(1 ) (2 )

π 姨a2 + 1 ,又 f 6

≤ ≤=

asin π + cos π 3 3

=

姨3 a + 1 , 2 2

由题意 f(x )≤ f 则 姨a2 + 1 ≤
) (3 图 10

π 对一切 x∈R 恒成立, ≤ 6 ≤ 对一切 x∈R 恒成立,

姨3 a + 1 2 2

即 a2 + 1 ≤ 3 a2 + 姨 3 a + 1 , 4 2 4
2 化简即 a2 - 2 姨 3 a + 3 =(a - 姨 3 ) ≤ 0 恒成立, 2 ≥ 0,所以 a = 姨 3 . 而 (a - 姨 3 )

非图形计算器环境:转化为线性规划问题后,纸笔画图求解. 10. 575 提示:利用“金融”功能模块,选择“复利” ,输入相应的 ,令 已知条件进行计算,可得单期额 PMT. 继续选择 “ 分期 ” PM1 = 10,PM2 = 10,计算器可直接计算出第 10 期的利息.

π 所以 f(x )= 姨 3 sin (2x )+ cos (2x )= 2sin 2x + . 6





π ①f 12

-π = 2sin ≤ ≤ ≤ 6

+π 6

= 0,所以 ① 正确;也可利用 ≤

图形计算器画出图象进行计算.

(1 )

(2 )

(1 )

(2 )

(3 ) 图 11

非图形计算器环境:列出等额本息还款的计算公式,利用 科学计算器求解. 11. 3.134 2 (2n ) 的前 提示: 问题可以转化为求数列 an = (2n - 1 ) (2n + 1 ) 100 项之积的问题. 利用“程序”功能模块,编制程序,运行即 可得到结果.

(3 ) 图 13

π ② f(x )= 2sin 2x + ,2kπ - π ≤ 2x + π ≤ 2kπ + π , 6 2 6 2





kπ - π ≤ x ≤ kπ + π ,所以②正确; 3 6 ③ 由图象知 f(-x ) ≠f(x ) ,所以③错误; ④ 由 ① 知 a = 姨 3 ,要经过点 (姨 3 ,1 )的直线与函数 f(x ) 的图象不相交,则此直线与 x 轴平行,又 f(x ) 的振幅为 2, 而 2 > 1,所以直线必与 f(x ) 图象有交点. ④不正确.

(1 )

(2 )

(3 ) 图 12

图 14

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试 题 荟 萃
非图形计算器环境:求出 a 值后,利用三角函数的图象和 性质逐一判断. 二、解答题 13. 解: (1 )利用图形计算器中的 “ 统计 ” 功能,输入数 据,画出散点图,用线性回归模型拟合 . 得到回归直线方程 y = 6.160 850 59 + 0.880 316 24x; 利用图形分析功能,可得预测值为 77 分. 77777 5 分 (3 )因为 f(x )= x, 所以方程化为 ln x = x2 - 2ex + m. x 令 f( )= ln x - x2 + 2ex,f( )= m. 1 x 2 x x
(1 ) (2 ) 图 17

利用图形计算器画出函数 f1 (x ) 的图象,借助图形分析功能 可求得极大值 ( 也是最大值 ) 约为 7.76.

) (3 图 15

(4 ) (1 ) 图 18 (2 )

(2 )可分别用二次、三次、四次等多项式回归模型和指数等 回归模型拟合,通过比较,可发现用四次多项式回归模型拟合, r 最接近于 1. 其回归方程为:y = 0.001 461 8x - 0.424 711 9x +
2 4 3

f( )= m 的图象是一条平行于 x 轴的直线. 2 x 所以数形结合可得,当 m ≤ 7.76 时,方程有实根. …15 分 非图形计算器环境: 第 (2 ) 问利用导数判断单调性;第 (3 ) 问 利用导数求解,可得当 m ≤ e2 + 1 时,方程有实根. e 15. 解: (1 )由已知,周期 T = 12, 所以 ω = 2π = π , 12 6 又 A = 8,

45.975 633 8x - 2 197.942 9x + 39 222.960 5;
2

预测值为 57 分. 777777777777777 10 分

(1 ) 图 16

(2 )

所以 h (t )= 10 + 8sin π t;777777777777 6 分 6 )当 t = 15.5 时,点 P 每分钟转过的弧度数为 π , (2 6 所以点 P 走过的路程为 π × 15.5 × 8 = 62π ≈64.9 (m ) ;77777777 12 分 6 3

(3 )本题中线性回归模型更为可信. 理由如下:① 通常认为 数学与物理是线性正相关关系; ② 从两模型对物理成绩的预测 效果来看,四次回归模型不太符合实际,如:四次回归模型 中数学 80 分预测物理成绩 57 分,数学 56 分预测物理成绩为 108 分. 777777777777777777777 15 分 14. 解: (1 )f(x )= ln (ex + a ) 是奇函数, 则 ln (ex + a )= -ln (ex + a ) 恒成立. 所以 (e-x + a ) (ex + a )= 1,ae-x + aex + a2 = 0. 所以 a (e-x + ex + a )= 0. 所以 a = 0. (2 )g (x )= sin x - x. 由g (x ) 的图象可知,g (x ) 在 [-1,1 ] 上单调递减, 所以 g (x ) (-1 )= 1 - sin 1. max = g 77777777 10 分

(1 ) 图 19

(2 )

(3 )令 h (t )= 15, 解 得 在 区 间[0, 12]内 的 根 为 t1 = 1.289 406 248, t2 = 4.710 593 752,

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S H I T I H U IC U I

试 题 荟 萃
所 以 点 P 高 于 地 面 15 米 时 的 旋 转 时 间 为 t = t2 - t1 ≈ 3.4 分钟. ……18 分 ) (n + 2 )- n (n + 1 ) = (2 - n ) (n + 1 ), Rn + 1 - Rn = (n + 1 2n 2n - 1 2n n > 2 时,Rn + 1 < Rn,数列 {Rn } 为递减数列. 输入该数列的通项公式,设定首项和末项,列表查看,如 图可知: R11 = 33 > 1 ,R12 = 39 < 1 . 256 12 512 12
(1 ) (2 )

(1 ) ) (3 图 20

(2 )

非图形计算器环境:第 (3 ) 问转化为求方程 10 + 8sin π t = 15 6 根的问题,利用数学用表求出两根,计算两根差的绝对值即可. 16. 解: (1 )由已知可得 λ = - 3 . 2 利用“递归 · 数列”功能,输入递推公式,设定首项、末项 和初始值,列表可得 a3 = 11 ,a7 = 1 691 . !!!!!! 6 分 2 32 又因为 R1 = 2,R2 = 3, 所以 n 的取值范围是 {n n ≤ 11,n∈N* } . !!!! 12 分 (3 )因为 λ > 1, ) an + 2 n > 0 , 所以 an + 1 - an =(λ - 1 所以 an + 1 > an,n∈N*. a cn = 1 - n an + 1
(3 ) 图 22



1 姨a 姨

> 0 ,c 1 + c 2 + … + c n > 0 ,

n+1

(1 )

(2 )

a 又 cn = 1 - n an + 1



1 姨a 姨

n+1

= =
(3 ) 图 21 (4 )

an 姨an + 1 an 姨an + 1



1 - 1 an an - 1 n


1 姨a n + 1
n

1 姨 姨a

1 姨 姨 姨a

+
n

1 姨an + 1



(2 )数列 {an } 为等比数列,则 a2 2 = a1a3, 所以 λ = 1,an + 1 = an + 2n. (1 - 2n - 1 ) = 2n. 所以当 n ≥ 2 时,an = 2 + 2 1-2 又 n = 1,a1 = 2 符合条件, 所以 an = 2n,n∈N*,bn = log2a = n.
n

1 1 a a 姨 姨 姨 姨a + a 姨 姨a 姨a 1 1 < 2姨 , 姨 a a 姨 姨 1 1 所以 c + c + … + c < 2 姨 < 姨2 . 姨 a a 姨 姨 =
n n n+1 n+1 n+1 n n+1 1 2 n 1 n+1

所以 0 < c1 + c2 + … + cn < 姨 2 . !!!!!!!! 18 分 ) 问利用递推关系式,纸笔运算, 非图形计算器环境:第 (1 依次求出 a3,a4,a5,a6,a7;第 (2 ) 问,利用估算,将 n 的值依 (n + 1 ) > 1 直接尝试求出. 次代入 n 2n - 1 12

(n + 1 ), Sn = 2n + 1 - 2,Tn = n 2 (n + 1 ). R n = 8T n = n Sn + 2 2n - 1

47

考场一

考场二

考场三

考场四


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