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2.1.1 指数与指数幂的运算 课件2014.9.30


数学 必修1

第二章 基本初等函数(Ⅰ)
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升

第 二 章 基本初等函数(Ⅰ)

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
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2.1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
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自主学习 新知突破

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
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[问题1] 9的平方根是什么?27的立方根是什么? [提示] 9的平方根是±3,27的立方根是3. [问题2] 我们知道x2=a,那么x叫做a的平方根,试想x3=

a,x4=a,x5=a,…,x如何定义?
[提示] x分别叫做a的立方根,四次方根,五次方根…

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[问题3]

因(±3)4=81,则±3都是81的四次方根吗?81的

平方根是多少?正数偶次方根都是两个吗

[提示] 是,±9,是.
[问题4] 一个数的奇次方根有几个? [提示] 一个.

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
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1.正确运用根式的运算性质进行根式运算.(重点、难点)
2.理解分数指数幂的含义.(难点) 3.掌握根式与分数指数幂的互化.(重点、易错点) 4.掌握有理数指数幂的运算性质.(重点)

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n次方根及根式的概念
1.a的n次方根的定义
xn=a ,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*. 如果______

2.a的n次方根的表示

n a ,a∈___ (1)当n是奇数时,a的n次方根表示为_____ R . n ± a (2)当n是偶数时,a的n次方根表示为__________ ,其中 n [0,+∞) - a 表示a的负的n次方根,a∈______________ ________ .

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3.根式 式子 n a
根指数 ,a叫做 叫做根式,这里n叫做__________

被开方数 . ___________

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正确认识根式 (1)n的取值范围是n∈N*且n>1. (2)当n为大于1的奇数时, n a 对任意a∈R都有意义,它表

示a在实数范围内有唯一的一个n次方根.

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(3)当n为大于1的偶数时, n

n

a 只有当a≥0时有意义,当

a<0时无意义. a (a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根,另 一个是- a. n

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根式的性质
a (n∈R+,且n>1); (1)( a)n=____

n

(2)

n

? a ?n为奇数,且n>1?, ___ n ? a =? |a| ?n为偶数,且n>1?. ? ?_____

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对 a 与( a)n的进一步认识 (1)对( a ) 的理解:当n为大于1的奇数时,( a )n对任意a ∈R都有意义,且( a ) =a,当n为大于1的偶数时,( a )n只有 当a≥0时才有意义,且( a)n=a(a≥0). n n
n

n

n

n

n

n

n

n

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(2)对 时, 3 n
n

n

an 的理解:对任意a∈R都有意义,且当n为奇数 n
? ?a n a =|a|= ? ? ?-a

a =a;当n为偶数时,

?a≥0?, 如: ?a<0?,

?-3?3=-3, ?-3?2=|-3|=3.

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分数指数幂的意义及有理指数幂的运算性质 1.分数指数幂的意义
正分数指 数幂 分数 指数 负分数指 幂 数幂 性质
m 规定:a- n m 规定:a n

n m a =_________ (a>0,m,n∈N*,且n>1)
1 n m a (a>0,m,n∈N*,且n>1) = m=______ an

1

0 的负分数指数幂______ 无意义 0的正分数指数幂等于___,0

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2.有理数指数幂的运算性质 ar+s (1)aras=__________ ; (2)(ar)s=______ ars ; (3)(ab)r=__________ . arbr 3.无理数指数幂 无理数 无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个_________ .有理

数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.

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(1)分数指数幂的理解及应用
m ①a n

m 是根式的一种书写形式,不可理解为 个a相乘,一 n

定要与an的意义分开. ②分数指数幂实现了根式与分数指数幂的相互转化,其规 律为: 化为 根指数 ――→ 分数指数的分母 化为 被开方数?式?的指数 ――→ 分数指数的分子

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③在计算与化简中,对于结果,不强调统一用什么形式来 表示,若无特殊要求,就用分数指数幂的形式;若有要求,则 根据要求给出结果,但结果不能同时含有分数指数和根号,也 不能既有负指数又有分母.

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(2)有理数指数幂运算的注意事项 ①有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推 广而来的,整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适 用. ②在运算性质中,特别要注意幂的底数是正数的规定,如 果改变等式成立的条件,则有可能不成立, 如a=-2,b=-4时,(ab) =(-2)
1 2 1 2

=[(-2)× (-4)]

1 2

×(-4)

1 2

则无意义.

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1.下列说法中,正确说法的个数为( n 3

)

① an=a;②若a∈R,则(a2-a+1)0=1; ③
4 x4+y3=x3

+y;④ -5= ?-5?2. B.1 D.3

3

6

A.0 C.2

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解析: ①中,若n为偶数,则不一定成立,故A是错误 的;②中,因为a
2

? 1? ? ?2 3 -a+1=?a-2? + ≠0,所以(a2-a+1)0=1 4 ? ?

是正确的;③是错误的;④左边为负数,而右边为正数,是错 误的.故选B.
答案: B

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4 2. x-2· 3-x有意义,则x的取值范围是( A.x≥2 C.2≤x≤3
6

6

)

B.x≤3 D.x∈R

? 4 ?x-2≥0, 解析: 要使 x-2· 3-x有意义,只须使? ? ?3-x≥0,

∴2≤x≤3.
答案: C

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3.当1<x<3时,化简 ________.
解析:

?x-3?2 +

?1-x?2 的结果是

?x-3?2+ ?1-x?2=|x-3|+|1-x|,

又因为1<x<3, 所以原式=3-x+x-1=2.
答案: 2

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4.计算下列各式: (1)(0.027) 3
9
1 3

? 1?1 -?64?2 ? ?

+(2 2) 3

-3

2

-3-1+π0;

3
-3

(2)

a2 a ÷

a

-7

a13.

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合作探究 课堂互动

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根式的性质
(1)设-3<x<3,则 ________. (2)化简( a-1) + ?1-a? + ?1-a?3=________.
[ 思路探究] 1. an的值是什么? 2.化简 a的关键点是什么? n
2 2

x2-6x+9 +

x2+6x+9 =

3

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[ 边听边记] ∵-3<x<3,

(1)原式= x- 2+ x+ 2=|x-3|+|x+3|.

∴原式=3-x+x+3=6. (2)由题意知 a-1有意义,则a≥1, 原式=(a-1)+|1-a|+1-a =a-1+a-1+1-a=a-1.
答案: (1)6 (2)a-1

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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
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(1) 解决根式的化简问题,首先要分清根式 为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式性质进行化简. (2)开偶次方时,先用绝对值表示开方的结果,再去掉绝对 值符号化简,化简时要结合条件或分类讨论.

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1.(1)a是实数,则下列式子中可能没有意义的是( A. a 5 4
2

)

B. a D. a 4

5

C. -a (2)有下列说法: ① -27=3; ②16的4次方根是± 2; 3

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③ 81=± 3; ④ ?x+y?2=|x+y|. 其中,正确的有________.(填上正确说法的序号) (3)化简: ?π+π-1?2-4+ ?π-π-1?2+4.

4

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解析: (1)当a<0时,a的偶次方根无意义. (2)负数的n次方根是一个负数,故 3 -27 =-3,故①错 4

误;16的4次方根有两个,为± 2,故②正确; 81 =3,故③错 误; ?x+y? 是正数,故 ?x+y?2=|x+y|,故④正确.
2

2

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(3)原式=

? 1? ? ?2 π - ? ? + π ? ?

? 1? ? ?2 π + ? π? ? ?

? ? ? ? 1? 1? 1? 1? ? ? ? ? ? ? ? =?π-π?+?π+π?=?π-π?+?π+π? ?=2π. ? ? ? ? ? ? ? ?

答案: (1)D (2)②④

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根式与分数指数幂的互化
(1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( A.- C .x


)

1 x=(-x)2

(x>0)

B. y D.x


6

2

1 =y3

(y<0)

3 4

4 ?1? ? ?3 = ?x ? (x>0) ? ?

1 3

=- x(x≠0)

3

(2)用分数指数幂的形式表示下列各式.

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[思路探究]

1.分数指数幂的底数a≤0时成立吗?如何处理?
2.根式中的根指数和被开方数(式)的指数与分数指数幂有 怎样的对应关系?

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答案: (1)C

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根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数 分数指数的分母, 分数指数的分子.

被开方数(式)的指数

(2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形 式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题.

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2.将下列根式化为分数指数幂的形式: (1)m2· m(m>0); (2) m· m(m>0); (3) ab3 ab5(a>0,b>0); (4) y2 x x3 3 y 6 (x>0,y>0). y x3

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利用分数指数幂的运算性质化简求值
计算下列各式:

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[思路探究] 1.对于指数幂中指数、底数是负数,或是小数的应如何

化简?
2.对于根式中含有多重根号的题目应如何处理?

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1.幂的运算的常用方法 (1)化负指数幂为正指数幂;

(2)化根式为分数指数幂;
(3)化小数为分数进行运算. 2.分数指数幂及根式化简结果的具体要求 利用分数指数幂进行根式计算时,结果可化为根式形式或 保留分数指数幂的形式,不强求统一用什么形式,但结果不能 既有根式又有分数指数幂,也不能同时含有分母和负指数.

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3.计算下列各式的值:

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◎化简(1-a)[(a-1) (-a)
-2

-2

1 2

1 ]2

.
1 2 1 ]2

【错解】 (1-a)[(a-1) (-a) =(1-a)(a-1) (-a)
-1 -1

1 4 1 4 1 4

=-(a-1)(a-1) (-a)

=-(-a)

.

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【错因】 (am)n=amn 只有在 a>0 时一定成立,若 a<0,且 m 为偶数,则需转化为(am)n=[(-a)m] n=(-a)mn. 未对 a-1 的正负进行判断,忽略了题中(-a) 件,若(-a) -a)-1.
1 2 1 2

成立的条
-2

成立,则-a≥0,故 a≤0,故[(a-1) ]

1 2

=(1

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【正解】 由式子(-a) 所以 (1-a)[(a-1) (-a)
-1 -2

1 2

知, -a≥0, 即 a≤0, 所以 a-1<0,

1 2

1 ]2 1 4

=(1-a)(1-a) (-a)

=(-a)

1 4

.

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