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3.2一元二次不等式及其解法2学案


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3.2.2 一元二次不等式(二) **学习目标** 1.掌握同解不等式之间的转化; 2.熟悉并掌握用数轴标根法解高次不等式; 3.掌握指数不等式与对数不等式的同解变形 **要点精讲** 1 同解不等式:两个不等式如果解集相等,那么这两个不等式就叫做同解不等式 2 同解变形:一个不等式变形为另

一个不等式时,如果这两个不等式是同解不等式,那 么这种变形就叫做同解变形 过去我们学过的一元一次不等式解法,如去分母、去括号、移项、合并同类项等等,都是 同解变形,因此最后得到的解(不等式)就是原不等式的解 解指数不等式与对数不等式的实 质是利用同解变形进行转化。
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3.(1)

f (x) g(x)

>0 ? f(x)g(x)>0;(2)

f (x) g(x)

<0 ? f(x)g(x)<0;

(3)

f (x) g(x)

≥0 ? ?

? f (x)g(x) ? 0 ?g(x) ? 0

;(4)

f (x) g(x)

≤0 ? ?

? f (x)g(x) ? 0 ?g(x) ? 0

4.简单的一元高次不等式:先因式分解,再采用“数轴标根法” 。如: 把不等式化为(x–x1)(x–x2)(x–x3)(x–x4)>0(其中 x1<x2<x3<x4),再从右往左,从上往 下画曲线。

所以不等式的解集为 ? x x ? x1或 x 2 ? x ? x 3 或 x ? x 4 ? . 5. 一元分式不等式:采用“数轴标根法”. 步骤:移项、通分、 (化整式) 、求解。 评注: “数轴标根法”的本质是考虑各因式的符号,对于偶次因式,要单独考虑此因式 (1) 的值能否为零,而奇次因式的符号与一次因式的符号是相同的; (2)如果不等式的一端 非零,那么先移项进行因式分解,再判断符号,因式分解要彻底。 **范例分析** 例 1.解下列不等式 (I) ? x ? x ? 2 ? ? x ? 2 ? ? 0 ;
2

(II) ( x ? 2 ) ( x ? 1) ( x ? 1)( x ? 2 ) ? 0 。
2 3

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例 2.解下列不等式 (1)
x ? 3x ? 2
2

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x ? 2x ? 3
2

<0; (2)

2x ? 5x ? 1
2

x ? 3x ? 2
2

>1。

例 3.解不等式(1) 3

x ?1

? 18 ? 3

?x

? 29 ; (2) log

x?3

( x ? 1) ? 2

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例 4. f ( x ) = 设

x

2

ax + b

( a , b 为实常数)且方程 f ( x ) - x + 12 = 0 有两个实数根为 x1 = 3 , ,

x2 = 4 ,

(1)求函数 f ( x ) 的解析式. (2)设 k > 1 ,解关于 x 的不等式 f ( x ) <

( k + 1) x - k 2- x



**规律总结** 1.一元一次不等式和一元二次不等式的解法是解各类不等式的基础,要予以高度重视 尤其把握好解一元二次不等式的解题步骤:一是将二次项系数变为正的;二是确定不等式对 应方程根的情况(由判别式来确定);三是结合图象(二次函数图象)写出不等式的解集 2.解高次不等式的方法步骤: 方法:序轴标根法. 步骤: ①化一边为零且让最高次数系数为正; ②把根标在数轴上; ③右上方向起画曲线, 让曲线依次穿过标在数轴上的各个根;④根据“大于 0 在上方,小于 0 在下方”写出解集。 注:①重根问题处理方法: “奇过偶不过” .②分式不等式转化为高次不等式求解. 3.一些特殊不等式的求解,转化是一方面,借助于函数的性质和图象也是解决问题的 有效手段。
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**基础训练** 一、选择题

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1.不等式 ( x ? 2 x ? 3 )( x ? 4 x ? 4 ) ? 0 的解集是(
2 2



A. { x | x ? ? 1或 x ? 3} C. { x | ? 1 ? x ? 2 或 2 ? x ? 3}
2

B. { x | ? 1 ? x ? 3} D. { x | ? 2 ? x ? 3} ) C

2.不等式 ( x ? 1) ( x ? 2 )( 3 ? x ) ? 0 的解集是 ( A ?x | x ? ? 2 或 x ? 3? 3.不等式 log
x ?1
2

B

?x | ? 2 ?

x ? 3 但 x ? 1?

?x | ? 2 ?

x ? 3?

D

?x | x

? 3?

≥1 的解集为 ( B. ?? 1, ? ? ?

) C. ?? 1, 0 ? D. ? ? ? , ? 1? ? ?0 , ? ? ?
2 x ?1

x

A. ? ? ? , ? 1?
2

4.已知不等式 x ? 2 x ? a ? 0 对任何实数 x 恒成立,则不等式 a 解集是 ( A (1, 2 ) ) B (?
1 2 ,2 )

? a

x ? 2 x?3

2

? 1的

C (? 2 , 2 )

D ( ? 3, ? 2 )

5.函数 f ( x ) 和 g ( x ) 的定义域是 R ,且 f ( x ) ? 0 的解集为 [1, 2 ] , g ( x ) ? 0 的解集为 ? ,
f (x) g (x)



? 0 的解集是





A. (1, 2 ) 二、填空题

B. ( ?? ,1) ? ( 2 , ?? )

C. ( ? 1,1) ? [ 2 , ?? )

D. [1, 2 ]

6.不等式 ( x ? 4 )( x ? 3 x ? 4 ) ? 0 的解集是
2 2



7.不等式

1 x ?1

?
?2 x

1 x

? 1 的解集是
x ?8
2

8.不等式

? 2?

? 2 ? ?? ? 2 ? ? ? ?

的解集是____

_.

三、解答题 9.解下列不等式: (1)
x x
2

? 3x ? 2 ? 7 x ? 12

2

≥0; (2)x(x-3)(x+1)(x-2)≤0

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2

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?1

10. k 为何值时,下式恒成立:

2 x ? 2 kx ? k 4x ? 6x ? 3
2

**能力提高** 11.已知关于 x 的不等式
x x? a
2

? 3x ? 2

? 0 的解集是 (1 , a ] ? ( 2 , ? ? ) ,则实数 a 的取值范围

是( ) (A)(??,1)

(B)(2,+?)
3x

(C)(1,2)
x

(D)[1,2]

12.解关于 x 的不等式 2

?2

x

? ? (2

?2

?x

) ,? ? R

3.2.2 一元二次不等式(二) 例 1.解: (I)根据实数运算的符号法则,可以化为不等式组求解.原不等式的解集是下面两 个不等式组解集的并集: (1) ?
? x 2 ? 2 x ? 1 ? 0, ? x ? 1 ? 0;

(2) ?

? x 2 ? 2 x ? 1 ? 0, ? x ? 1 ? 0.

解 (1) 得 x ? 1 ?

2 ; 解 (2 ) 得 1 ?

2 ? x ? 1. 2 ? x ?1 或x ? 1? 2} .

所以原不等式的解集是 { x | 1 ?

(II)原不等式等价于 ( x ? 1)( x ? 1)( x ? 2 ) ? 0 且 x ? ? 2 , x ? 1 , ∴原不等式的解为 { x | 1 ? x ? 2 或 ? 2 ? x ? ? 1或 x ? ? 2} 评注:一些较复杂的不等式,通常可转化为不等式组进行求解,但在解的过程中要注意 何时取交集,何时取并集.若将(2)改为 ( x ? 2 ) ( x ? 1) ( x ? 1)( x ? 2 ) ? 0 呢?
2 3

例 2.解: (1)根据积的符号法则,可以将原不等式等价变形为 2 (x -3x+2)(x2-2x-3)<0 即(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)<0 令(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)=0 可得零点 x=-1 或 1,或 2 或 3, 将数轴分成五部分(如图) 由数轴标根法可得所求不等式解集为: {x|-1<x<1 或 2<x<3}
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(2)原不等式等价变形为:

2x ? 5x ? 1
2

x ? 3x ? 2
2

-1>0

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通分整理得:
x ? 2x ? 3
2

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x ? 3x ? 2
2

>0

等价变形为: (x2-2x+3)(x2-3x+2)>0 即 (x+1)(x-1)(x-2)(x-3)>0 由数轴标根法可得所求不等式解集为:{x|x<-1 或 1<x<2 或 x>3} 例 3.解: (1)原不等式可化为: 3 ? 3 即 ( 3 ? 9 )( 3 ? 3 ? 2 ) ? 0
x x
2x

? 29 ? 3 ? 18 ? 0
x

解之

3 ? 9 或3
x

x

?

2
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3

∴x>2 或 x ? log

2
3

∴不等式的解集为{x|x>2 或 x ? log
?x ? 1 ? 0 ?x ? 1 ? 0 ? ? 或 ?0 ? x ? 3 ? 1 ?x ? 3 ? 1 ? x ? 1 ? ( x ? 3) 2 ? x ? 1 ? ( x ? 3) 2 ? ?

2
3

}

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3

3

(2)原不等式等价于

解之得 4<x≤5

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∴原不等式的解集为{x|4<x≤5}

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评注:指数、对数不等式的处理原则,是转化为一般的不等式,如含参数,还要兼顾到 底数的分类,按 a ? 1, 0 ? a ? 1 两种情况进行讨论。
x
2

例 4.解: (1) f ( x ) ?

2? x



(2)原式变为

x

2

2? x

?

( k ? 1) x ? k 2? x

,可化为

x ? ( k ? 1) x ? k
2

2? x

? 0,

即 ( x ? 2 )( x ? 1)( x ? k ) ? 0 , 当 1 ? k ? 2 时,解集为 (1, k ) ? ( 2 , ?? ) ; 当 k ? 2 时,解集为 (1, 2 ) ? ( 2 , ?? ) ; 当 k ? 2 时,解集为 (1, 2 ) ? ( k , ?? ) 。 评注:含有参变量的不等式,要注意分类讨论。 **参考答案** 1~5 BBCDB; 6. ? ? ? , ? 2 ? ? ? ? 1, 2 ? ? ? 4, ? ? ? ;7. ? ? ? , ? 1 ? ? ? 0, ? ? ? ;8. ? ? 2, 4 ? ;
x x
2

9.解: (1)

? 3x ? 2 ? 7 x ? 12

2

≥0 ?

( x ? 1)( x ? 2 ) ( x ? 3 )( x ? 4 )

? 0

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? x ? ( ?? ,1] ? [ 2 , 3 ) ? ( 4 , ?? )

(2)x(x-3)(x+1)(x-2)≤0

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10.解:原不等式可化为:

2 x ? (6 ? 2 k ) x ? (3 ? k )
2

4x ? 6x ? 3
2

? 0 ,而 4 x ? 6 x ? 3 ? 0
2

∴原不等式等价于 2 x ? ( 6 ? 2 k ) x ? ( 3 ? k ) ? 0
2

由 ? ? ( 6 ? 2 k ) ? 4 ? 2 ? ( 3 ? k ) ? 0 得 1<k<3
2

11.C;提示:数形结合可知; 12.解:原不等式可化为 ? 4 ? 1 ? ? 4 ? ? ? ? 0 。
x x

①若 ? ? 0 ,则 4 ? 1 ,不等式的解集为 ? x x ? 0 ? ;
x

②若 ? ? 1 ,则不等式的解集为 ? ; ③若 0 ? ? ? 1 ,则 ? ? 4 ? 1 ,不等式的解集为 ? x lo g 4 ? ? x ? 0 ? ;
x

④若 ? ? 1 ,则 1 ? 4 ? ? ,不等式的解集为 ? x 0 ? x ? lo g 4 ? ? 。
x

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