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高一升高二数学暑假衔接班讲义第四讲(学)


金牌高二数学(暑期)高频考点复习资料

第4讲
(一)热点透析
考查目标

直线的方程

1.考查直线的有关概念,如直线的倾斜角、斜率、截距等;考查过两点的斜率公式;2.求不同条件

下的直线方程(点斜式、两点式及一般式等);3.在直线与圆锥曲线的关系问题中考查直线. 达成目标 1.理解数形结合的思想,掌握直线方程的几种形式,会根据已知条件求直线方程;2.会根据直线的

特征量画直线,研究直线性质.

(二)知识回顾
1. 直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义:当直线 l 与 x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准,x 轴 与直线 l 向上方向之间所成的角α叫 .

做直线 l 的倾斜角.当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 ②倾斜角的范围为 (2)直线的斜率 ①定义:一条直线的倾斜角α的 =tan_α,倾斜角是 90°的直线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式 经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式为 k= 2. 直线方程的五种形式 名称 点斜式 斜截式 两点式 方程 适用范围 .

叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,即 k

y2-y1 . x2-x1

y-y0=k(x-x0) y=kx+b y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 x y + =1 a b Ax+By+C=0
(A +B ≠0)
2 2

不含垂直于 x 轴的直线 不含垂直于 x 轴的直线 不含直线 x=x1 (x1≠x2) 和直线 y=y1 (y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过 原点的直线 平面直角坐标系内的直 线都适用

截距式

一般式 3. 过 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程

(1)若 x1=x2,且 y1≠y2 时,直线垂直于 x 轴,方程为



(2)若 x1≠x2,且 y1=y2 时,直线垂直于 y 轴,方程为 (3)若 x1=x2=0,且 y1≠y2 时,直线即为 y 轴,方程为 (4)若 x1≠x2,且 y1=y2=0 时,直线即为 x 轴,方程为 4. 线段的中点坐标公式

; ; .

x +x x= ? ? 2 若点 P 、P 的坐标分别为(x ,y )、(x ,y ),且线段 P P 的中点 M 的坐标为(x,y),则? y +y y= ? ? 2
1 1 2 1 1 2 2 1 2 1

2


2

此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式. [难点正本 疑点清源] (1)直线的倾斜角与斜率的关系 斜率 k 是一个实数,当倾斜角α≠90°时,k=tan α.直线都有倾斜角,但并不是每条直线都存在斜率,倾 斜角为 90°的直线无斜率. (2)①求直线方程时,若不能断定直线是否具有斜率时,应对斜率存在与不存在加以讨论.②在用截距式时, 应先判断截距是否为 0,若不确定,则需分类讨论.

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1. 若直线斜率的绝对值等于 1,则直线的倾斜角为___________. 2. 若点 A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则 a 的值为__________. 3. 过点 M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________. 4. 直线 l 经过 A(2,1),B(1,m )(m∈R)两点.则直线 l 的倾斜角的取值范围为____________. 5. 如果 A·C<0,且 B·C<0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过 A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 ( )
2

二、高频考点专题链接
题型一 直线的倾斜角与斜率 例1 (1)若直线 l 与直线 y=1,x=7 分别交于点 P,Q,且线段 PQ 的中点坐标为(1,-1),则直线 l 的斜率为 ( A. 1 3 1 B.- 3 2 D. 3 ( ) )

3 C.- 2

(2)直线 xcos α+ 3y+2=0 的倾斜角的范围是 A.?

?π,π?∪?π,5π? ? ? ? 6 ? ?6 2? ?2

? π? ?5π,π? B.?0, ?∪? ? 6? ? 6 ? ?

? 5π? C.?0, ? 6 ? ?

D.?

?π,5π? ? 6 ? ?6

探究提高 直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的

? π? ?π ? ? π? 范围时,要分?0, ?与? ,π?两种情况讨论.由正切函数图象可以看出当α∈?0, ?时,斜率 k∈[0, 2 2 2? ? ? ? ? ?
π ?π ? +∞);当α= 时,斜率不存在;当α∈? ,π?时,斜率 k∈(-∞,0). 2 ?2 ? 已知线段 PQ 两端点的坐标分别为 P(-1,1)和 Q(2,2),若直线 l:x+my+m=0 与线段 PQ 有交 点,求实数 m 的取值范围.

题型二 求直线的方程 例2 求适合下列条件的直线方程: (1)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等; 1 (2)过点 A(-1,-3),斜率是直线 y=3x 的斜率的- ; 4 (3)过点 A(1,-1)与已知直线 l1:2x+y-6=0 相交于 B 点且|AB|=5.

探究提高 在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点 斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经 过原点的直线.故在解题时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先考 虑斜率不存在的情况. △ABC 的三个顶点为 A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求: (1)BC 所在直线的方程; (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程; (3)BC 边的垂直平分线 DE 的方程.

题型三 直线方程的综合应用

例3

已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R).

(1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,△AOB 的面积为 S(O 为坐标原点),求 S 的最小值并求 此时直线 l 的方程.

探究提高 利用直线方程解决问题,要灵活选用直线方程的形式:一般地,已知一点通常选择点斜式;已知 斜率选择斜截式或点斜式;已知截距选择截距式. 已知直线 l 过点 P(3,2),且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,如 图所示,求△ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程.

反思总结

分类讨论思想在求直线方程中的应用

典例:(12 分)在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD,AB=2,BC=1,AB、AD 边分别在 x 轴、y 轴的正半轴上,A 点与坐标原点重合.将矩形折叠,使 A 点落在线段 DC 上.若折痕所在直线的斜率为 k,试写出折痕所在直 线的方程.

温馨提醒 (1)求直线方程时,要考虑对斜率是否存在、截距相等时是否为零以及相关位置关系进行分类讨

论. (2)本题对斜率 k 为 0 和不为 0 进行分类讨论.易错点是忽略 k=0 的情况.

方法与技巧 1. 要正确理解倾斜角的定义,明确倾斜角的取值范围,熟记斜率公式:k=

y2-y1 ,该公式与两点顺序无关,已 x2-x1

知两点坐标(x1≠x2)时, 根据该公式可求出经过两点的直线的斜率. 当 x1=x2, y1≠y2 时, 直线的斜率不存在, 此时直线的倾斜角为 90°. 2. 求斜率可用 k=tan α(α≠90°),其中α为倾斜角,由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割,牢记: “斜 率变化分两段,90°是分界,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论” . 3. 求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程,再求直线方程中的系数,这种方法叫待定系数法. 失误与防范 1. 求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;每条直线都有倾斜角,但不一定每条直线都存在斜率. 2. 根据斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的范围;二是要考虑正切函数的单调性. 3. 利用一般式方程 Ax+By+C=0 求它的方向向量为(-B,A)不可记错,但同时注意方向向量是不唯一的.

巩固练习(时间:35 分钟,满分:57 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 3 1. 已知直线 l 经过点 P(-2,5),且斜率为- ,则直线 l 的方程为 4 A.3x+4y-14=0 C.4x+3y-14=0 2. B.3x-4y+14=0 D.4x-3y+14=0 ( ) ( )

如图中的直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、k3,则 A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2 C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2

3. 已知直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值是 A.1 B.-1

(

)

C.-2 或-1

D.-2 或 1 ( D.-3 )

4. 过两点(-1,1)和(0,3)的直线在 x 轴上的截距为 3 A.- 2 B. 3 2 C.3

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 过点 M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为________.

6. 直线 l 与两直线 y=1,x-y-7=0 分别交于 P、Q 两点,线段 PQ 中点是(1,-1),则 l 的斜率是________. 7. 已知 A(3,0),B(0,4),直线 AB 上一动点 P(x,y),则 xy 的最大值是________.

三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3,分别求满足下列条件的直线 l 的方程: 1 (1)过定点 A(-3,4);(2)斜率为 . 6

9. (12 分)经过 P(0,-1)作直线 l,若直线 l 与连接 A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点,求直线 l 的倾斜 角α与斜率 k 的范围.

拓展训练(时间:25 分钟,满分:43 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 15 分)

1. 直线 2x-my+1-3m=0,当 m 变动时,所有直线都通过定点

(

)

? 1 ? A.?- ,3? ? 2 ? ?1 ? C.? ,-3? ?2 ?

?1 ? B.? ,3? ?2 ? ? 1 ? D.?- ,-3? ? 2 ?
( )

2. 设直线 l 的方程为 x+ycos θ+3=0 (θ∈R),则直线 l 的倾斜角α的范围是 A.[0,π) C.? B.? D.?

?π,π? ? ?4 2? ?π,π?∪?π,3π? ? ? ? 4 ? ?4 2? ?2

?π,3π? ? 4 ? ?4

3. 经过点 P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,则直线的方程为 ( A.x+2y-6=0 C.x-2y+7=0 B.2x+y-6=0 D.x-2y-7=0 )

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. 已知两点 A(-1,-5),B(3,-2),直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的两倍,则直线 l 的斜率是________.

5. 一条直线经过点 A(-2,2), 并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1, 则此直线的方程为________________.

6. 若 ab>0,且 A(a,0)、B(0,b)、C(-2,-2)三点共线,则 ab 的最小值为________.

三、解答题 7. (13 分)如图,射线 OA、OB 分别与 x 轴正半轴成 45°和 30°角,过 点 P(1,0)作直线 AB 分别交 OA、OB 于 A、B 两点,当 AB 的中点

C 恰好落在直线 y= x 上时,求直线 AB 的方程.

1 2


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