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2015-2016学年黑龙江省高二学业水平考试数学试题


2016 年黑龙江省高中数学学业水平考试 (时间 120 分钟共 150 分) 一.选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的。)

1.已知集合 A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合 A∩B 中元素的个数为( A.5 B.4 ) C.3 D.2

2.在 x 轴上的截距为 2 且倾斜角为 135°的直线方程为. A. y ? ? x ? 2 B. y ? ? x ? 2 C. y ? x ? 2 D. y ? x ? 2
主视图 左视图

3.如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方 形,俯视图是一个直径为 1 的圆,那么这个几何体的全面积为 A.


B.

3 π 2

C. 3π

D. 4π

俯视图

4.已知角 ? 的终边经过点 P(-3,4),则下列计算结论中正确的是( A. tan ? ? ?
4 3


3 5

B. sin ? ? ?

4 5

C. cos ? ?

3 5

D. sin ? ?

5.某电视台在娱乐频道节目播放中,每小时播放广告 20 分钟,那么随机打开电 视机观看这个频道看到广告的概率为 A.
1 2
1 2


1 4

) D. (
1 6

B.

1 3

C.

1 1 6.三个数 a ? 3 , b ? ( ) 3 , c ? log3 的大小顺序为 2 2
A. b ? c ? a B. b ? a ? c
*

) D. c ? a ? b

C. c ? b ? a

7 .在等比数列 ?an ? 中, an ? 0(n ? N ) 且 a4 ? 4, a6 ? 16, 则数列 ?an ? 的公比 q 是 ( A.1 ) B.2 C.3 ) C. 2 2 ) D. 2 6 D.4

8.设 a, b ? R 且 a ? b ? 3 ,则 2 a ? 2 b 的最小值是( A. 6 B. 4 2

m、 n 及平面 ? ,下列命题中的假命题是( 9.已知直线 l 、
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A.若 l // m , m // n ,则 l // n . C.若 l // ? , n // ? ,则 l // n .

B.若 l ? ? , n // ? ,则 l ? n . D.若 l ? m , m // n ,则 l ? n .
? 个长度单位,再把所 6

10.把正弦函数 y ? sinx (x ? R) 图象上所有的点向左平移 得函数图象上所有的点的横坐标缩短到原来的
1 ? A.y=sin ( x ? ) 2 6

1 倍,得到的函数是( 2

) D.

1 ? B.y=sin ( x ? ) 2 6

C.y=sin (2 x ?

?
6

)

y=sin (2 x ?

?
3

)

? ? y ? x ?1 11.不等式组 ? 的区域面积是( ? ? y ? ?3 x ? 1

)
3 2

A.

1 2

B.

5 2

C.

D. 1

12.已知圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 内一点 P(2,1) ,则过 P 点最短弦所在的直线方程是 ( ) A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 3 ? 0 D. x ? 2

二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。)

? x( x ? 1), x ? 0 13.已知函数 f ( x) ? ? ,则 f (?3) ? ? x(1 ? x), x ? 0



? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? 14.已知 a ? e1 ? 4e2 , b ? 2e1 ? ke2 ,向量e1、 e2不共线,则当k=
15.在⊿ABC 中,已知 a ? 3, b ? 4, C ?

时,a//b

?
3

, 则c ?



1 1 16 . 一 元 二 次 不 等 式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 的 解 集 是 (? , ) , 则 a ? b 的 值 是 2 3

__________. 三.解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或
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演算步骤。 )

17.(本小题满分 10 分) 某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概 率分别是 0.3、0.2、0.1、0.4, ⑴求他乘火车或乘飞机去的概率; ⑵求他不乘轮船去的概率;

18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? loga ( x ? 1) ? loga (1 ? x), a ? 0且a ? 1 (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的解集.

19.(本小题满分 12 分)如下图所示,圆心 C 的坐标为(2,2) ,圆 C 与 x 轴和 y 轴都相切. (I)求圆 C 的一般方程; (II)求与圆 C 相切,且在 x 轴和 y 轴上的截距相等的直线方程.
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20. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知

a=3,b=5,c=7.
(1)求角 C 的大小; (2)求 sin( B ?

?
3

)的值.

21. (本小题满分 12 分)已知递增等比数列{an}的前三项之积为 8,且这三项分 别加上 1,2,2 后又成等差数列. (1)求等比数列{ a n }的通项公式; (2)记 bn ? an ? 2n ,求数列{ b n }的前 n 项和 Tn .

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22.(本小题满分 12 分) 如图所示,已知 AB ? 平面BCD,M、N 分别是 AC、AD 的 中点,BC ? CD. (I)求证:MN∥平面 BCD; (II)求证:平面 B CD ? 平面 ABC; (III)若 AB=1,BC= 3 ,求直线 AC 与平面 BCD 所成的角.

A

? N
?M

B C

D

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黑龙江省高中数学学业水平考试 答案 一.选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的。 ) 1 D 2 A 3 B 4 A 5 B 6 C 7 B 8 B 9 C 10 C 11 C 12 B

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 13 、-12 14、k=-8 15、 13 16、 -14

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。)

17、(本小题满分 10 分) (1)0.7; (2)0.8; 18、(本小题满分 12 分) ?x+1>0, 解 (1)要使函数 f(x)有意义.则? 解得-1<x<1.故所求函数 f(x)的定 ?1-x>0, 义域为{x|-1<x<1}. (2)由(1)知 f(x)的定义域为{x|-1<x<1},且 f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+

x)
=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x), 故 f(x)为奇函数.

x+1 (3)因为当 a>1 时, f(x)在定义域{x|-1<x<1}内是增函数, 所以 f(x)>0? >1 1-x
(4)解得 0<x<1.所以使 f(x)>0 的 x 的解集是{x|0<x<1}. 19、(本小题满分 12 分) 解 (1) 依题意,半径 r ? 2 ,所以, 圆的标准方程是 ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 4 .
2 2

圆的一般方程为 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 4 ? 0 .
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(2)设直线方程为 x ? y ? a ? 0 ? a ? 0? ,则

2?2?a 12 ? 12

? 2 . 所以 a ? 4 ? 2 2 .

所求直线方程为: x ? y ? 4 ? 2 2 ? 0 或 x ? y ? 4 ? 2 2 ? 0 .

20、(本小题满分 12 分)

a2+b2-c2 32+52-72 1 解 (1)由余弦定理,得 cos C= = =- . 2ab 2×3×5 2
∵0<C<π ,∴C= 2π . 3 5sin 7 2π 3

(2)由正弦定理

b
sin B



c
sin C

,得 sin B=

bsin C = c



5 3 , 14

∵C=

2π ,∴B 为锐角,∴cos B= 1-sin2B= 3

?5 3?2 11 ? = . 1-? 14 ? 14 ?

π? π π 5 3 1 11 3 4 3 ? ∴sin?B+ ?=sin Bcos +cos Bsin = × + × = . 3 3 3 14 2 14 2 7 ? ? 21、(本小题满分 12 分) 解 (1)设等比数列前三项分别为 a1,a2,a3,

则 a1+1,a2+2,a3+2 又成等差数列. ?a1a2a3=8, 依题意得? ?2(a2+2)=(a1+1)+(a3+2),
2 ?a1·a1q·a1q =8, ?a1=1, 即? 解得? 2 ?2(a1q+2)=a1+1+a1·q +2, ?q=2

?a =4, 或? 1 (数列{a }为递增等比数列,舍去). ?q=2
1

n

∴数列{an}的通项公式为 an=2n-1. (2)由 bn=an+2n,得 bn=2n-1+2n, ∴Tn=b1+b2+…+bn
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=(20+2×1)+(21+2×2)+(22+2×3)+…+(2n-1+2n) =(20+21+22+…+2n-1)+2(1+2+3+…+n) 20(1-2n) n(1+n) n 2 = +2× =2 +n +n-1. 1-2 2

22、(本小题满分 12 分) 解 (1)因为 M , N 分别是 AC , AD 的中点, 所以 MN / / CD .
B A

? N
?M

D C

又 MN ? 平面 BCD 且 CD ? 平面 BCD , 所以 MN / / 平面 BCD . (2)因为 AB ? 平面 BCD , CD ? 平面 BCD , 所以 AB ? CD . 又 CD ? BC且AB ? BC ? B ,所以 CD ? 平面 ABC . 又 CD ? 平面 BCD ,所以平面 BCD ? 平面 ABC . (3)因为 AB ? 平面 BCD ,所以 ?ACB 为直线 AC 与平面 BCD 所成的角. 在直角 ?ABC 中, AB=1,BC= 3 ,所以 tan ?ACB ? 故直线 AC 与平面 BCD 所成的角为 30? .
AB 3 ? .所以 ?ACB ? 30? . BC 3

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