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【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第10篇 第6节 离散型随机变量的分布列及均值与方差课件 理


第6节

离散型随机变量的分布列 及均值与方差

最新考纲 1.理解取有限个值的离散型随机 变量及其分布列的概念,认识分 布列刻画随机现象的重要性,会 求某些取有限个值的离散型随机 变量的分布列. 2.了解超几何分布,并能进行简 单应用.

3.理解取有限个值的离散 型随机变量的均值、方差 的概念. 4.会求简单离散型

随机变 量的均值、 方差,并能利用 离散型随机变量的均值、 方差概念解决一些简单问 题.

编写意图

离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型,以解

答题为主,也有选择题、填空题,属中档题,常与排列、组合、概率

等知识综合命题.本节围绕高考命题的规律进行设点选题,重点突出
随机变量的含义、分布列的性质,会确定随机变量取各个值的概率, 列出分布列,难点突破利用分布列求随机变量的期望与方差、方程

思想、转化与化归思想及分类讨论思想的应用,规范答题栏目突破
了离散型随机变量的均值与方差的实际应用,凸显了思维的规范性. 课时训练以考查基础知识和基本方法为主,精挑细选,立题新颖,题

题都有可能会是高考命题的生长点.

夯基固本

考点突破 思想方法

夯基固本
1.离散型随机变量

知识梳理

抓主干

固双基

随着试验结果变化而变化的变量称为 随机变量 ,常用字母X,Y,ξ ,η ,? 表示.所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,?,xi,?,xn,X取每 一个值xi(i=1,2,?,n)的概率为P(X=xi)=pi,则表 X x1 x2 … xi … xn

P

p1

p2



pi



pn

称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列,有时为 了简单起见,也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,?,n表示X的分布列.

(2)分布列的性质 ①pi≥0,i=1,2,?,n; ② ? pi =1.
i ?1 n

(3)常见离散型随机变量的分布列 ①两点分布 若随机变量 X 的分布列为
X P 0 1-p 1 p

则称 X 服从两点分布,并称 p=P(X=1)为成功概率.

②超几何分布 一般地,在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次
n?k Ck ? C 品,则 P(X=k)= M n N ? M ,(k=0,1,2,?,m,其中 m=min{M,n},且 n CN

≤N,M≤N,n,M,N∈N ),称分布列为超几何分布列.如果随机变量 X 的分布列具有下表的形式,则称随机变量 X 服从超几何分布.
X P 0
n ?0 C0 C M N ?M Cn N

*

1
n ?1 C1 C M N ?M Cn N

? ?

m
n?m Cm C M N ?M Cn N

3.均值与方差 (1)均值 称 E(X)=x1p1+x2p2+?+xipi+?+xnpn 为随机变量 X 的均值或 数学期望 .它 反映了离散型随机变量取值的 平均水平 . (2)方差
称 D(X) ? ? xi ? E ? X ? ? pi 为随机变量 X 的方差,它刻画了随机变量 X 与
2 i ?1 n

其均值 E(X)的 平均偏离程度 ,称其算术平方根 D ? X ? 为随机变量 X 的标准差. (3)均值与方差的性质

①E(aX+b)= aE(X) +b. ②D(aX+b)= a2D(X) .(a,b 为常数)

质疑探究:随机变量的均值、方差与样本的均值、方差的关系

是怎样的?
(提示:随机变量的均值、方差是一个常数 ,样本的均值、方差 是一个随机变量,随着试验次数的增加或样本容量的增加,样本 的均值、方差趋于随机变量的均值与方差 )

基础自测
1.设某项试验的成功率是失败率的 2 倍,用随机变量 X 去描述 1 次 试验的成功次数,则 P(X=0)等于( C (A)0 (B) )

1 1 2 (C) (D) 2 3 3 解析:设失败率为 p,则成功率为 2p.X 的分布列为
X P 0 p 1 2p

,即“X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验成功,
1 ∴由 p+2p=1 得 p= ,故选 C. 3

2.(2014 海口模拟)已知随机变量 X 的分布列为 P(X=k)=
1 ,k=1,2,?,则 P(2<X≤4)等于( k 2

A
5 16

)

(A)

3 16

(B)

1 4

(C)

1 16

(D)

解析:P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4)=

3 . 16

3.(2013 高考广东卷)已知离散型随机变量 X 的分布列为
X P 1 2 3

3 5

3 10

1 10

则 X 的数学期望 E(X)等于( (A)
3 2

A

)

(B)2 (C)

5 2

(D)3

3 3 1 5 3 解析:E(X)=1× +2× +3× = = . 5 10 10 10 2

故选 A.

4.有一批产品,其中有 12 件正品和 4 件次品,有放回地任取 3 件,若 X 表示取到次品的件数,则 D(X)= .

1 解析:由题意知取到次品的概率为 , 4

∴X~B(3,

1 ), 4

1 1 9 ∴D(X)=3× ×(1- )= . 4 4 16

答案:

9 16

考点突破
考点一 离散型随机变量的分布列
生人数如下表所示:
中学 人数 A 30 B 40

剖典例

找规律

【例 1】 (2014 广州市调研)某市 A,B,C,D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学
C 20 D 10

为了了解参加考试的学生的学习状况,该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的 四所中学的学生当中随机抽取 50 名参加问卷调查. (1)问 A,B,C,D 四所中学各抽取多少名学生? (2)从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取 2 名学生,求这 2 名学生来自同一所中学的 概率; (3)在参加问卷调查的 50 名学生中,从来自 A,C 两所中学的学生当中随机抽取 2 名学生, 用ξ 表示抽得 A 中学的学生人数,求ξ 的分布列.

解:(1)由题意知,四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为 100,抽取的样本容量与总体个数的比值为
50 1 = . 100 2

∴应从 A,B,C,D 四所中学抽取的学生人数分别为 15,20,10,5. (2)设“从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取 2 名学生,这 2 名学生来自同一
所中学”为事件 M,
2 从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取 2 名学生的取法共有 C50 =1225(种), 2 2 2 这 2 名学生来自同一所中学的取法共有 C15 + C2 20 + C10 + C5 =350(种).

∴P(M)=

350 2 = . 1225 7

故从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取 2 名学生,这 2 名学生来自同一所中学 的概率为
2 . 7

(3)由(1)知,在参加问卷调查的 50 名学生中,来自 A,C 两所中学的学生人数 分别为 15,10. 依题意得,ξ的可能取值为 0,1,2,
2 C10 3 P(ξ=0)= 2 = , C 25 20 1 C1 1 15C10 P(ξ=1)= 1 = , 2 C 25 2 C15 7 P(ξ=2)= 2 = . C 25 20

∴ξ的分布列为
ξ P 0 1 2

3 20

1 2

7 20

反思归纳

求解离散型随机变量X的分布列的步骤

(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值;(2)求X取每个值的概率;(3) 写出X的分布列.

提醒:求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应
的概率,在求解时,要注意应用计数原理、古典概型等知识.

【即时训练】 (2015 济南调研)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:
取出一个白球得 2 分,取出一个黑球得 1 分.现从该箱中任取(无放回,且每球 取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出此 3 球所得分数之和.求 X 的分 布列. 解:由题意得 X 取 3,4,5,6,
3 C3 C3 5 10 5 5 ? C5 且 P(X=3)= 3 = ,P(X=4)= = , 3 21 C9 42 C9 1 3 C2 ? C C 5 1 4 P(X=5)= 4 3 5 = ,P(X=6)= 3 = , 14 C9 C9 21

所以 X 的分布列为
X P 3 4 5 6

5 42

10 21

5 14

1 21

法二 4 位同学任选周六、周日的基本事件为 2 ,都选择同一天活动为 2 种,
2 7 则所求事件的概率为 1- 4 = .故选 D. 2 8

4

(2)因为正整数 m,n 满足 m≤7,n≤9, 所以(m,n)所有可能的取值一共有 7×9=63(种), 其中 m,n 都取到奇数的情况有 4×5=20(种), 因此所求概率为 P=
20 63

20 . 63

答案:(1)D (2)

考点二 期望与方差的计算
【例 2】 (2013 高考浙江卷)设袋子中装有 a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定: 取出一个红球得 1 分,取出一个黄球得 2 分,取出一个蓝球得 3 分. (1)当 a=3,b=2,c=1 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个球, 记随机变量ξ 为取出此 2 球所得分数之和,求ξ 的分布列; (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球,记随机变量η 为取出此球所得
5 5 分数.若 E(η )= ,D(η )= ,求 a∶b∶c. 3 9

解:(1)由题意得ξ=2,3,4,5,6.
3? 3 1 故 P(ξ=2)= = , 6?6 4

P(ξ=3)= P(ξ=4)= P(ξ=5)= P(ξ=6)=

2 ? 3? 2 1 = , 6?6 3 2 ? 3 ?1 ? 2 ? 2 5 = , 6?6 18 2 ? 2 ?1 1 = , 6?6 9 1?1 1 = . 6 ? 6 36

所以ξ的分布列为
ξ P 2 3 4 5 6

1 4

1 3

5 18

1 9

1 36

(2)由题意知η的分布列为
η P 1 2 3

a a?b?c

b a?b?c

c a?b?c

所以 E(η)=

a 2b 3c 5 + + = , a?b?c a?b?c a?b?c 3

5 a 5 b 5 c 5 D(η)=(1- )2· +(2- )2· +(3- )2· = , a?b?c a?b?c a?b?c 9 3 3 3

?2a ? b ? 4c ? 0, 化简得 ? ?a ? 4b ? 11 ? 0.
解得 a=3c,b=2c, 故 a∶b∶c=3∶2∶1.

反思归纳

求离散型随机变量ξ的均值与方差的方法

(1)理解ξ的意义,写出ξ可能取的全部值; (2)求ξ取每个值的概率; (3)写出ξ的分布列; (4)由均值的定义求E(ξ); (5)由方差的定义求D(ξ).

【即时训练】 (1)某同学参加科普知识竞赛,需回答 4 个问题,每一道题
能否正确回答是相互独立的,且回答正确的概率是 为ξ ,求 E(ξ ),D(ξ ); (2)若竞赛规定:答对 1 题得 10 分,否则扣 1 分,其他条件不变,求该同学得 分η 的期望与方差.
解:(1)∵回答正确的概率是 ∴回答错误的概率是 13 , 4

3 ,若回答错误的题数 4

3 1 1 = ,故ξ~B(4, ), 4 4 4

1 1 1 3 ∴E(ξ)=4× =1,D(ξ)=4× ×(1- )= . 4 4 4 4

(2)由题意知η=10(4-ξ)-ξ=40-11ξ, 故由均值与方差的性质, 得 E(η)=E(40-11ξ)=40-11E(ξ)=40-11×1=29,
3 363 D(η)=D(40-11ξ)=11 D(ξ)=121× = . 4 4
2

考点三 离散型随机变量的期望与方差的应用 【例 3】 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后
以每枝 10 元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需 求量 n(单位:枝,n∈N)的函数解析式; (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. ①若花店一天购进 16 枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求 X 的分 布列、数学期望及方差; ②若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理由.

解:(1)当日需求量 n<16 时,卖出 n 枝,剩(16-n)枝, 当需求量 n≥16 时,16 枝全卖出.

?10n ? 80, n ? 16 所以 y= ? (n∈N). ?80, n ? 16
(2)由题意知,日需求量 n 与对应概率如表 日需求量 概率 14 0.1 15 0.2 16 0.16 17 0.16 18 0.15 19 0.13 20 0.1

①由题意知 X=60,70,80 且 P(X=60)=P(n=14)=0.1, P(X=70)=P(n=15)=0.2, P(X=80)=P(n≥16)=0.7,

∴X 的分布列为 X P 60 0.1 70 0.2 80 0.7

X 的数学期望 E(X)=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76. X 的方差 D(X)=(76-60)2×0.1+(76-70)2×0.2+(76-80)2×0.7=44.

②答案一:花店一天应购进 16 枝. 当花店一天购进 17 枝玫瑰花时,用 Y 表示当天的利润(单位:元),则 Y=55,65,75,85 P(Y=55)=P(n=14)=0.1 P(Y=65)=P(n=15)=0.2 P(Y=75)=P(n=16)=0.16 P(Y=85)=P(n≥17)=0.54

∴Y 的分布列为 Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54

∴E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4 D(Y)=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=1 12.04 综上知 D(X)<D(Y)且相差较大,虽然 E(X)<E(Y)但相差不大,所以一天购进 16 枝玫 瑰花时利润波动相对较小,且平均获利基本相同,故花店一天应购进 16 枝玫瑰花. 答案二:花店一天应购进 17 枝玫瑰花,理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元)则 Y 的分布列为 Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54

Y 的期望为 E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4 可知 E(Y)>E(X),故购进 17 枝玫瑰花时的平均利润大于购进 16 枝时的平均利润, 故花店一天应购进 17 枝玫瑰花.

反思归纳

求解离散型随机变量的分布列,首先要根据实际情况确

定离散型随机变量的取值,然后利用排列、组合与概率知识求出每 个变量取值所对应事件的概率,最后以表格的形式给出.

【即时训练】 (2014温州市调研)从装有大小相同的2个红球和6个
白球的袋子中,每摸出2个球为一次试验,直到摸出的球中有红球 (不放回),则试验结束. (1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率; (2)记试验次数为X,求X的分布列及数学期望E(X).
解:(1)记“第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球”为事件 A,
1 C1 C 3 2 5 则 P(A)= 2 = . 7 C8

(2)由题知 X 的可能取值为 1,2,3,4.则
1 1 2 1 1 1 C1 C ? C C C C ? C 13 9 2 2 2 P(X=1)= 2 6 2 2 = ,P(X=2)= 6 · = , 2 2 28 28 C8 C8 C6 2 1 2 C6 C2 C1 5 4 2C2 ? C2 P(X=3)= 2 · 2 · = , 2 28 C8 C6 C4 2 2 C6 C2 C 1 2 P(X=4)= 2 · 4 · = . 2 2 C8 C6 C4 28

X 的分布列为
X P 1 2 3 4

13 28

9 28

5 28

1 28

E(X)=1×

13 9 5 1 25 +2× +3× +4× = . 28 28 28 28 14

考点四 超几何分布 【教师备用】 近年空气质量逐步恶化,雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重.大气污染可引 起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关,在某医院随机的对入院的 50 人进行了问卷调查得到了如下的列联表:
患心肺疾病 男 女 合计 10 50 不患心肺疾病 5 合计

已知在全部 50 人中随机抽取 1 人,抽到患心肺疾病的人的概率为 (1)请将上面的列联表补充完整;

3 . 5

(2)是否有 99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关,说明你的理由; (3)已知在患心肺疾病的 10 位女性中,有 3 位又患胃病.现在从患心肺疾病的 10 位女性中,选出 3 名进行其他方面的排查,记选出患胃病的女性人数为ξ ,求ξ 的分布列,数学期望以及方差. 下面的临界值表供参考:
P(K ≥k0) k0
2

0.10 2.706
2

0.05 3.841
2

0.025 5.024

0.10 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

(参考公式 K =

? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?

n ? ad ? bc ?

,其中 n=a+b+c+d)

解:(1)列联表补充如下
患心肺疾病 男 女 合计 20 10 30 不患心肺疾病 5 15 20
2

合计 25 25 50

(2)因为 K2=

? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?

n ? ad ? bc ?

,

所以 K2≈8.333. 又 P(K ≥7.879)=0.005=0.5%. 那么,我们有 99.5%的把握认为是否患心肺疾病与性别有关系.
(3)ξ的所有可能取值:0,1,2,3,ξ服从超几何分布,其中 N=10,M=3,n=3.
k 3? k C3 C7 则 P(ξ=k)= 3 C10
2

(k=0,1,2,3).

2 C3 C1 36 7 63 21 7 3 ? C7 所以 P(ξ=0)= 3 = = ;P(ξ=1)= = = ; 3 120 40 C10 C10 120 24 2 C3 ? C1 C3 21 7 1 7 3 P(ξ=2)= = = ;P( ξ =3)= = . 3 3 120 40 C10 C10 120

分布列如下:
ξ P 0 1 2 3

7 24

21 40

7 40

1 120

则 E(ξ)=0× D(ξ)= (0-

7 21 7 1 9 +1× +2× +3× = , 120 10 24 40 40

9 2 7 9 2 21 9 2 7 9 2 1 49 )× + (1- ) × + (2- ) × + (3- ) × = . 120 100 10 24 10 40 10 40 10

反思归纳

(1)超几何分布的两个特点

①超几何分布是不放回抽样问题. ②随机变量为抽到的某类个体的个数.

(2)超几何分布的应用
超几何分布是一个重要分布,其理论基础是古典概型,主要应用 于抽查产品,摸不同类别的小球等概率模型.

【例4】 某校高一年级共有学生320人.为调查高一年级学生每天晚自习 自主支配学习时间(指除了完成老师布置的作业外学生根据自己的需要进 行学习的时间)情况,学校采用随机抽样的方法从高一学生中抽取了n名学 生进行问卷调查. 根据问卷得到了这n名学生每天晚自习自主支配学习时间的数据(单位:分

钟),按照以下区间分为7组:①[0,10),②[10,20),③[20,30),④[30,40),
⑤[40,50),⑥[50,60),⑦[60,70],得到频率分布直方图如图.已知抽取的 学生中每天晚自习自主支配学习时间低于20分钟的有4人.

(1)求n的值;

(2)若高一全体学生平均每天晚自习自主支配学习时间少于45分钟,则
学校需要减少作业量.根据以上抽样调查数据,学校是否需要减少作业 量?(注:统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表)

(3)问卷调查完成后,学校从第3组和第4组学生中利用分层抽样的方法
抽取7名学生进行座谈,了解各学科的作业布置情况,并从这7人中随机 抽取两名学生聘为学情调查联系人.设第3组中学生被聘的人数是X,求X

的分布列和数学期望.
解: (1)由题图知第1组和第2组的频率分别是0.02和0.06, 则n×(0.02+0.06)=4,解得n=50.

(2)设第 i 组的频率和频数分别是 pi 和 xi, 由题图知 p1=0.02,p2=0.06,p3=0.3,p4=0.4,p5=0.12,p6=0.08,p7=0.02, 则由 xi=50×pi 可得 x1=1,x2=3,x3=15,x4=20,x5=6,x6=4,x7=1. 则高一学生每天平均自主支配时间是
5 x1 ? 15x2 ? 25 x3 ? 35 x4 ? 45 x5 ? 55 x6 ? 65 x7 t= =33.6<45. 50

则学校需要减少作业量.

(3)第 3 组和第 4 组的频数分别是 15 和 20.用分层抽样的方法抽取 7 人, 则第 3 组应抽 7×
15 20 =3(人),第 4 组应抽 7× =4(人). 15 ? 20 15 ? 20

C2 2 由题知 X=0,1,2.P(X=0)= 4 = , 2 C7 7
1 2 C1 C3 4 1 4C3 P(X=1)= 2 = ,P(X=2)= 2 = , 7 C7 7 C7

则 X 的分布列是
X P 0 1 2

2 7 2 4 1 6 +1× +2× = . 7 7 7 7

4 7

1 7

则 E(X)=0×

助学微博
1.求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定ξ 的取值情 况,然后利用排列、组合与概率知识求出ξ 取各个值的概率. 2.已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接按定义 (公式)求解. 3.掌握下列有关均值与方差的常用性质,会给解题带来方便:

E(aξ +b)=aE(ξ )+b;E(ξ +η )=E(ξ )+E(η );D(aξ +b)
=a2D(ξ ).

规范答题

得高分

有依据

离散型随机变量的分布列、期望与方差 【典例】 (12分)(2013高考湖南卷)某人在如图所示的直角边长为4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶 点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作 物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株 数X之间的关系如下表所示: X Y 1 51 2 48 3 45 4 42

这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米. (1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们 恰好“相近”的概率; (2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学 期望.

【满分展示】 解:(1)所种作物总株数 N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数 为 3,边界上的作物株数为 12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取
1 C 一株的不同结果有 C1 3 12 =36 种,………………………………2 分

选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有 3+3+2=8 种.……4 分 故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近” 的概率为
8 2 = .…………………………………………………5 分 36 9

(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量 Y 的分布列. 因为 P(Y=51)=P(X=1), P(Y=48)=P(X=2), P(Y=45)=P(X=3), P(Y=42)=P(X=4), 所以只需求出 P(X=k)(k=1,2,3,4)即可.…………7 分 记 nk 为其“相近”作物恰有 k 株的作物株数(k=1,2,3,4), 则 n1=2,n2=4,n3=6,n4=3. 由 P(X=k)=
nk N

2 得 P(X=1)= , 15

P(X=2)=

4 , 15

6 2 P(X=3)= = , 15 5 3 1 P(X=4)= = .………………………………9 分 15 5

故所求 Y 的分布列为
Y P 51 48 45 42

2 15

4 15

2 5

1 5

……………………………………10 分

所求的数学期望为 E(Y)=51×
2 4 2 1 34 ? 64 ? 90 ? 42 +48× +45× +42× = =46.……12 分 5 15 15 5 5

【答题模板】 第一步:弄清题目意思,找到内部及边界各个点; 第二步:计算出从三角形地块内部及边界各取一株作物结果种数及相近 的种数; 第三步:数出各点相近点的株数,分类; 第四步:求每类的概率; 第五步:列出分布列; 第六步:计算期望.


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