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2000-2012全国高中数学联赛分类汇编 专题03 导数


1、 (2004 一 试 7)在平面直角坐标系 xOy 中,函数 f(x)=asina x+cosax(a >0)在一个 最小正 周 期 长 的 区 间 上 的 图 像 与 函 数 g(x)= 是 ; 2? 2 【答案】 a +1

a2+1 的 图 像 所 围 成 的 封 闭 图 形 的 面 积

a

[来源:Z§xx§k.Com]

2、 (2004 一试 1 5) 已知?, ?是方程 4x -4tx-1=0(t∈R)的两个不等实根, 函数 f(x)=
2

2x-t x2+1

的定义域为[?,?]. ⑴ 求 g(t)=maxf(x)-minf(x);
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

1 1 ? ⑵ 证 明:对于 ui∈(0, )(i=1, 2, 3), 若 sinu1+sinu2+sinu 3=1, 则 + 2 g(tanu1) g(tanu2) + 1

g(tanu3)

<

3 6 . 4

8secu(2sec u+3) 16+24cos u 16 6 = 2 3 ≥ 2 , 16sec u+9 16cosu+9cos u 16+9cos u 1 1 1 1 1 2 2 2 ∴ + + ≤ [16?3+9(cos u1+cos u2+cos u3)]= [75 - g(tanu1) g(tanu2) g(tanu3) 16 6 16 6 2 2 2 9(sin u1+ sin u2+sin u3)] ⑵ g(tanu)= 1 sinu1+sinu2+sinu3 2 2 2 2 2 2 2 而 (sin u1+sin u2+sin u3)≥( ) ,即 9(sin u1+sin u2+sin u3)≥3. 3 3 ∴ 1 1 1 1 3 6 + + ≤ (75-3)= .由于等号 不能同时成立,故得证. g(tanu1) g(tanu2) g(tanu3) 16 6 4

2

2

3、 (2010 一试 9) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) , 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 1, 试求 a 的最大值.


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