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【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习 第七章 立体几何 计时双基练47 空间向量及其运算 理 北师大版


计时双基练四十七

空间向量及其运算
)

A 组 基础必做 1.点 M(-8,6,1)关于 x 轴的对称点的坐标是( A.(-8,-6,-1) C.(8,-6,1)

B.(8,-6,-1) D.(-8,-6,1)

解析 点 P(a,b,c)关于 x 轴的对称点为 P′(a,-b,-c)。 答案 A 2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,给出以下向量表达式: → → → → → → ①(A1D1-A1A)-AB;②(BC+BB1)-D1C1; → → → → → → ③(AD-AB)-2DD1;④(B1D1+A1A)+DD1。 → 其中与向量BD1相等的是( A.①② C.③④ → → → → → → 解析 ①(A1D1-A1A)-AB=AD1-AB=BD1; → → → → → → ②(BC+BB1)-D1C1=BC1-D1C1=BD1; → → → → → → ③(AD-AB)-2DD1=BD-2DD1≠BD1; → → → → → → → ④(B1D1+A1A)+DD1=B1D+DD1=B1D1≠BD1。 综上,①②符合题意。 答案 A → 3→ 1→ 1→ 3. (2015?济南月考)O 为空间任意一点, 若OP= OA+ OB+ OC, 则 A, B, C, P 四点( 4 8 8 A.一定不共面 C.不一定共面 → 3→ 1→ 1→ 解析 因为OP= OA+ OB+ OC, 4 8 8 3 1 1 且 + + =1。所以 P,A,B,C 四点共面。 4 8 8 答案 B 4. 已知 a=(λ +1,0,2), b=(6,2μ -1,2λ ), 若 a∥b, 则 λ 与 μ 的值可以是( 1 A.2, 2 C.-3,2 1 1 B.- , 3 2 D.2,2 ) B.一定共面 D.无法判断 ) ) B.②③ D.①④

解析 ∵a∥b,∴b=ka,即(6,2μ -1,2λ )=k(λ +1,0,2),
1

6=k?λ +1?, ? ? ∴?2μ -1=0, ? ?2λ =2k, 答案 A

λ =2, ? ? 解得? 1 μ = ? 2 ?

λ =-3, ? ? 或? 1 μ = 。 ? 2 ?

5.(2015?西安质检)已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a,点 E,F → → 分别是 BC,AD 的中点,则AE?AF的值为( A.a
2

) 1 2 B. a 2 D. 3 2 a 4

1 2 C. a 4

1→ 1 → → → → 1 2 1 → → 1 → → 2 解析 AE?AF= (AB+AC)? AD= (AB?AD+AC?AD)= (a cos 60°+a cos 60°)= 2 2 4 4 4

a2。故选 C。
答案 C → → → → → → 6.A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足AB?AC=0,AC?AD=0,AB?AD=0,M 为 BC 中点,则△AMD 是( A.钝角三角形 C.直角三角形 → 1 → → 解析 ∵M 为 BC 中点,∴AM= (AB+AC)。 2 → → 1 → → → ∴AM?AD= (AB+AC)?AD 2 1→ → 1→ → = AB?AD+ AC?AD=0。 2 2 ∴AM⊥AD,△AMD 为直角三角形。 答案 C →2 7.(2016?长春模拟)已知点 B 是点 A(3,7,-4)在 xOz 平面上的射影,则OB 等于 ________。 → →2 解析 点 A 在 xOz 平面上的射影为 B(3,0,-4),则OB=(3,0,-4),OB =25。 答案 25 8.若向量 a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1)满足条件(c-a)?(2b)=-2,则 x =________。 解析 c-a=(0,0,1-x), 2b=(2,4,2), 由(c-a)?(2b)=-2, 得(0,0,1-x)?(2,4,2) =-2,即 2(1-x)=-2,解得 x=2。 ) B.锐角三角形 D.不确定

2

答案 2 9.已知 P 为矩形 ABCD 所在平面外一点,PA⊥平面 ABCD,M 在线段 PC 上,N 在线段 PD → → → → 上,且 PM=2MC,PN=ND,若MN=xAB+yAD+zAP,则 x+y+z=________。 → → → 解析 如图,MN=PN-PM

1→ 2→ = PD- PC 2 3 1 → → 2 → → = (AD-AP)- (PA+AC) 2 3 1→ 1→ 2→ 2 → → = AD- AP+ AP- (AB+AD) 2 2 3 3 2→ 1→ 1→ =- AB- AD+ AP。 3 6 6 2 1 1 2 所以 x+y+z=- - + =- 。 3 6 6 3 2 答案 - 3 → → 10.已知空间中三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a=AB,b=AC。 → (1)若|c|=3,且 c∥BC,求向量 c。 (2)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值。 解 → → (1)∵c∥BC,BC=(-3,0,4)-(-1,1,2)=(-2,-1,2),

→ ∴c=mBC=m(-2,-1,2)=(-2m,-m,2m)。 ∴|c|= ?-2m? +?-m? +?2m? =3|m|=3。 ∴m=±1。 ∴c=(-2,-1,2)或(2,1,-2)。 (2)∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2), ∴a?b=(1,1,0)?(-1,0,2)=-1。 又∵|a|= 1 +1 +0 = 2, |b|= ?-1? +0 +2 = 5,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

3

∴cos 〈a,b〉=

a?b -1 10 = =- , |a|?|b| 10 10
10 。 10

即向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为-

11.(2016?重庆模拟)如图,在三棱柱 ABC-A′B′C′中,A′A⊥平面 ABC,AC=BC =AA′,∠ACB=90°,D,E 分别为 AB,BB′的中点。

(1)求证:CE⊥A′D。 (2)求异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值。 解 → → → 设CA=a,CB=b,CC′=c,

根据题意,|a|=|b|=|c|且 a?b=b?c=c?a=0。 1 1 1 → → (1)CE=b+ c,A′D=-c+ b- a, 2 2 2 1 2 1 2 → → 所以CE?A′D=- c + b =0。 2 2 → → 所以CE⊥A′D,即 CE⊥A′D。 1 → → (2)AC′=-a+c,CE=b+ c, 2 5 → → 所以|AC′|= 2|a|,|CE|= |a|。 2 → → ? ? AC′?CE=(-a+c)??b+ c?= c2= |a|2,

?

1 1 2 ? 2

1 2

→ → 所以 cos 〈AC′,CE〉=

1 2 |a | 2 2?

5 2 |a| 2



10 。 10

即异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值为

10 。 10

B 组 培优演练 1. 若向量 c 垂直于不共线的向量 a 和 b, d=λ a+μ b(λ , μ ∈R, 且 λ μ ≠0), 则( A.c∥d B.c⊥d C.c 不平行于 d,c 也不垂直于 d
4

)

D.以上三种情况均有可能 解析 由题意得,c 垂直于由 a,b 确定的平面。 ∵d=λ a+μ b,∴d 与 a,b 共面。∴c⊥d。 答案 B 2.(2016?武汉模拟)二面角 α -l-β 为 60°,A,B 是棱 l 上的两点,AC,BD 分别 在半平面 α ,β 内,AC⊥l,BD⊥l,且 AB=AC=a,BD=2a,则 CD 的长为( )

A.2a C.a 解析 ∵AC⊥l,BD⊥l, → → ∴〈AC,BD〉=60°, → → → → 且AC?BA=0,AB?BD=0, → → → → ∵CD=CA+AB+BD。 → ∴|CD|=
2 2

B. 5a D. 3a

→ → → 2 ?CA+AB+BD?
2

= a +a +?2a? +2a?2acos 120°=2a。 答案 A 3.已知 a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为________。 解析 ∵b-a=(1+t,2t-1,0), ∴|b-a|= ?1+t? +?2t-1? =
2 2

? 1?2 9 5?t- ? + , ? 5? 5

1 3 5 ∴当 t= 时,|b-a|取得最小值 。 5 5 答案 3 5 5

4.如图,在棱长为 a 的正方体 OABC-O1A1B1C1 中,E,F 分别是棱 AB,BC 上的动点,且

AE=BF=x,其中 0≤x≤a,以 O 为原点建立空间直角坐标系 O-xyz。

5

(1)写出点 E,F 的坐标; (2)求证:A1F⊥C1E; → 1→ → (3)若 A1,E,F,C1 四点共面,求证:A1F= A1C1+A1E。 2 解 (1)E(a,x,0),F(a-x,a,0)。

(2)证明:∵A1(a,0,a)、C1(0,a,a), → → ∴A1F=(-x,a,-a),C1E=(a,x-a,-a)。 → → 2 ∴A1F?C1E=-ax+a(x-a)+a =0, → → ∴A1F⊥C1E, ∴A1F⊥C1E。 (3)证明:∵A1,E,F,C1 四点共面, → → → ∴A1E,A1C1,A1F共面。 → → 选A1E与A1C1为一组基向量,则存在唯一实数对(λ 1,λ 2), → → → 使A1F=λ 1A1C1+λ 2A1E, 即(-x,a,-a)=λ 1(-a,a,0)+λ 2(0,x,-a)=(-aλ 1,aλ 1+xλ 2,-aλ 2), -x=-aλ 1, ? ? ∴?a=aλ 1+xλ 2, ? ?-a=-aλ 2, 1 解得 λ 1= ,λ 2=1。 2 → 1→ → 于是A1F= A1C1+A1E。 2

6


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