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家庭作业6答案


14.12 博弈论 穆罕默德·伊尔蒂兹 2005年秋季

家庭作业6答案
问题1答案 (a) 假定参与者j报价 报价 时,用 。当参与者j选择这个策略而参与者i估价 表示参与者i的收益。于是: 和

因此,当参与者 i 估价 其中,

和报价

时,其预期收益等于 的累积分布函数。由于

。 均匀分布于[0,1],所以

是参与者j估价

。于是,预期收益就可写为:

令对

求导的一阶条件等于 0,我们得到:

因此,如果参与者 j 报价

,那么参与者 i 的最佳反应就是报价

1

。在一个对称的贝叶斯纳什均衡中,

因此,两个参与者1和2选择

就是一个对称、线性的贝叶斯纳什均衡。

(b)假定参与者j报价

,其中 和报价

是一个严格递增、可微分的函数。当参与者j选 时,用 表示参与者i的收益。那

择这个策略而参与者i估价 么,

与(a)同理,参与者i的预期收益等于

其中, 令对

满足

。 表示最佳反应,我们得到:

求导的一阶条件等于 0,并用

对一个对称的均衡,必须有

。因此,

(c) 为了表述简单,在(1)中用

代替

。(1)两边全部乘以

,可得:

2

要使



是严格递增的,我们必须要求

。因此,

问题 2 答案 (a)为了计算一个对称的贝叶斯纳什均衡,我们需要计算当其它所有个人 时参与者 i 的最佳反应函数。 如果参与者 i 估价 时报价 ,那么她的预期收益就等于 选择策略

注意,我们可以忽略

的情形,因为它发生的概率为 0。现在,

于是,参与者 i 报价为

时的预期收益可以写为

它在

时达到最大值。

所以,在一个对称的均衡里,我们一定有

因此,策略架构
3

是一个对称、线性的贝叶斯纳什均衡。

(b)估价为

的参与者的均衡收益等于

(c) 如果 为

,那么估价为

的参与者的的预期收益就是

。这就是估价 递增。 因此, 估价越高,

的参与者为了参与博弈而愿意承受的代价。 该表达式随

参与者就“越幸运”。而最幸运者和最不幸运者之间的预期收益差距等于:

问题3答案 在这个问题中,我们把XC的策略定义为(X,Y),其中X表示在 采取的行动,Y表示在 (好)时XC

(坏) 时XC采取的行动,而且X,Y=A(广告),NA (不做广告) 。

同样,我们定义消费者的策略为(x,y),其中x表示消费者看到A后的行动,y表示消费者在 如果他看到NA后的行动,而且x,y=B(买),D(不买)。 a) 见附图 b)分散的均衡:假定XC采取的策略是(A,NA)。在这种情况下,(B,D)就是典型消费者的 最佳反应,他的看法是 我们来验证XC对(B,D)的最佳反应。显然,如果 c。如果 ,XC选择D,因为 。 ,他仍选择A,因为R>

。因此,均衡就是 。

c)共享的均衡:假定参与者XC的两种类型都选择NA。典型消费者无法从这个信号中得 知任何信息,而他对类型的看法仍保持不变: 。于是,当

典型消费者观察到没有广告时,它购买的预期收益就大于它不购买的预期收益: 。因此,典型消费者会购买。 如果消费者观察到信号A,我们仍需要确定它的看法。注意,应用贝叶斯法则是不可能

4

获得的,因为在均衡中两种类型都不会发出这个信号。如果 如果

,他会选择购买;

,他就不想购买。在这种情况下,不论消费者的看法是什么,XC将不愿 大于 和 , 。 或 。

意背离。好类型在不背离条件下将得到R,这就大于他背离时获得的收益R-c或-c(取决于消 费者观察到A时的决策)。坏类型也不愿意背离,因为他得到的收益 因此,均衡就是

d) 在这种情况下b)中的分散均衡不再是一个均衡,因为坏类型宁愿背离并通过广告伪 装成好类型,从而获得 而不是0。 c)中的共享均衡仍是一个均衡。但是还存在另一个共享均衡,即两种类型都决定做广 告(A,A)。在这种情形下,消费者无法从他观察到的广告中得知任何信息,而他对类型的看 法仍保持不变: 的预期收益: 。 因此,他选择B的预期收益大于选择D 。于是,如果他看到广告,就会决定购买。

如果消费者观察到信号NA, 我们不能把贝叶斯法则应用于消费者的看法, 因为在均衡时没有 哪种类型会发出这个信号。如果 ,他就购买;如果 ,他就不愿

购买。我们可以找出看法的范围,使两种类型都不会背离选择A。为了使XC不背离,我们需 要消费者在得到信号 {(A,A),(B,D)}, 时不购买。于是,我们需要 。 。因此,均衡就是

问题4答案(Gibbons, 习题4.10) 参与者2的策略是:如果 对参与者1: 就买,如果 就卖。

或等价地:

于是,从一阶条件可得:

此外,很明显,参与者2的策略是最优的。

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