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人教版高中数学1.2.1 第1课时函数的概念


1.2 1.2.1

函数及其表示 函数的概念
函数的概念

第1课时

一、函数的有关概念 1.定义
非空数集

唯一确 定

从集合A到集合B

2.相关名称 (1)自变量是__. x (2)函数的定义域是______. 集合A (3)函数的值域是集合____________ {f(x)|x∈A}. 3.函数的记法 集合A上的函数可记作:__________或_____________. y=f(x),x∈A f:A→B

思考:任何两个集合之间都可以建立函数关系吗?
提示:不能,只有非空数集之间才能建立函数关系.

二、区间及有关概念 1.区间的定义 条件: ______(a,b为实数). a<b 结论:

区间

闭区间

开区间

左闭右开区间

左开右闭区间

符号

[a,b]

(a,b) ____

[a,b) ______

(a,b] ______

2.特殊区间的表示

定义

R

{x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a}

{x|x<a}

符号 (-∞,+∞) _________

[a,+∞) (a,+∞) ________ ______ (-∞,a]

(-∞,a)

判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)区间表示数集,数集一定能用区间表示. ( )

(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2,+∞]. (
(3)若[a,2a]表示一个区间,则a∈R.( )

)

提示:(1)不一定. 只有当数集是连续的,才能用区间表示.
(2)不正确. 当用≦表示区间端点时,应用开区间表示.

(3)不正确. 若[a,2a]表示一个区间,则必有2a>a,即
a>0.

答案:(1)〓(2)〓(3)〓

【知识点拨】 1.对函数概念的理解 (1)对集合A、B的要求:集合A,B为非空数集. (2)函数三要素:对应关系“f:A→B”表示A到B的一个函数, 它有三要素:定义域、对应关系和值域,三者缺一不可. (3)任意性和唯一性:集合A中的数具有任意性,集合B中对应 的数具有唯一性.

(4)符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示,应理解为:x是 自变量,它是对应关系所施加的对象;f是对应关系,它既可 以是解析式,也可以是图象、表格或文字描述等.y=f(x)仅仅

是函数符号,不能认为“y等于f与x的乘积”.
(5)一个区别:f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数

值.

2.对区间的几点认识
(1)区间是集合,是数集,区间的左端点必须小于右端点.

(2)用数轴表示区间时,用实心点表示包括在区间内的端点,
用空心点表示不包括在区间内的端点.

(3)在用区间表示集合时,开和闭不能混淆.
(4)“≦”是一个符号,不是一个数,它表示数的变化趋势.

3.区间和数集的联系和区别

类型 一

函数的概念

【典型例题】 1.(2013·长沙高一检测)设M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2}, 函数y=f(x)的定义域为M,值域为N,对于下列四个图象,不 可作为函数y=f(x)的图象的是( )

2.下列对应是否是函数. (1)x→ 1 ,x≠0,x∈R.
x

(2)x→y,其中y2=x,x∈R,y∈R. 【解题探究】1.当已知的对应关系用图象表示时,怎样判断 其是否为函数关系? 2.一般依据什么来说明一个对应关系是不是函数关系?

探究提示: 1.可用垂直于x轴的直线与已知图象的交点个数来判断,若交 点多于一个,则不是函数关系. 2.要判断一个对应是函数关系,应根据函数定义来判断.

【解析】1.选C.由函数定义可知,任意作一条直线x=a,则与 函数的图象至多有一个交点,结合选项可知C中图象不表示y 是x的函数. 2.(1)是函数. 因为任取一个非零实数x,都有唯一确定的 1
x

与之对应,符合函数定义. (2)不是函数.当x=1时,y=〒1,即一个非零自然数x,对应两 个y的值,不符合函数的概念.

【互动探究】题2(2)中,若x2=y,其他不变,能否构成函数 关系? 【解析】能构成.对于任意一个x值,都有唯一确定的y值与之 对应,由函数定义可知构成函数.

【拓展提升】判断一个关于x,y的等式是否能表示函数的方法
(1)判断依据是函数的定义,先看定义域和对应关系是否给出,

再根据给出的对应关系,判断定义域中的每一个值是否能在
值域中确定唯一的值.

(2)要记住函数关系式中定义域有时可以省略,这时就约定这
个函数的定义域是使得这个关系式有意义的所有实数构成的 集合,而并不表示这个函数的定义域不存在.

【变式训练】如果函数f:A→B,其中A={-3,-2,-1,1,2,3,4},

对任意a∈A,在B中都有唯一确定的|a|和它对应,则函数的值
域为 .

【解析】由题意知,对a∈A,|a|∈B,故函数的值域为
{1,2,3,4}.

答案:{1,2,3,4}

类型 二

用区间表示数集

【典型例题】 1.用区间表示数集{x|x≤2或x>3}为____________. 2.已知全集U=R,A={x|1<x≤5},则 用区间表示为_____.

【解题探究】1.数集中的“且”“或”转为区间时应怎样表示? 2.用区间表示的数集和用集合表示的数集时在进行运算时相同 吗?

探究提示: 1.用区间表示数集时,“且”转化为“∩”,“或”转化为 “∪”. 2.用区间表示的数集和用集合表示数集时在进行运算时是相 同的,没有本质区别.

【解析】1.{x|x≤2或x>3}用区间表示为(-≦,2]∪(3,+≦). 答案:(-≦,2]∪(3,+≦) 2.由题意知, ={x|x≤1或x>5},用区间表示为

(-≦,1]∪(5,+≦). 答案:(-≦,1]∪(5,+≦)

【拓展提升】用区间表示数集的两个注意点
(1)弄清区间的含义,掌握一般区间形式所对应的数集. (2)注意数集中的符号“≤”“≥”“<”及“>”与区间中 的符号“[”“]”“(”“)”的对应关系. 【变式训练】用区间表示数集{x|-6<x≤-2或2<x≤12}. 【解析】数集{x|-6<x≤-2或2<x≤12}用区间表示为(-6,-2] ∪(2,12].

类型 三

简单的函数定义域及函数求值问题

【典型例题】 1.(2013·揭阳高一检测)函数y= x2 ? 2 的定义域是_______.
x ?4

2.已知矩形的周长为1,它的面积S与矩形的一条边长x之间的函 数关系式为______,其定义域为____________.
1 3.已知函数f(x)= (x∈R且x≠-1),函数g(x)=x2+2 1 x +

(x∈R). (1)求f(2),g(2)的值. (2)求f(g(2))的值.

【解题探究】1.函数的定义域指的是什么? 2.根据题2的实际意义,求函数解析式的关键是什么?自变量 要满足哪些条件? 3.如何求形如f(g(x))的函数值?

探究提示: 1.函数的定义域就是指使函数解析式有意义的自变量的取值 的集合. 2.求该函数解析式的关键是用x表示出矩形的另外一条边长. 可以由矩形的两条边长都大于零列出自变量所满足的条件. 3.求形如f(g(x))的函数值时,可先求g(x)的值,再求f(g(x)) 的值,即由内到外.

【解析】1.要使函数解析式有意义,需满足x2-4≠0, 即x≠〒2, 故定义域为(-≦,-2)∪(-2,2)∪(2,+≦). 答案:(-≦,-2)∪(-2,2)∪(2,+≦) 2.由题意得,矩形的另外一条边长为 1 -x,
1 1 于是S=( -x)x= x-x2, 2 2 1 ? 其中x需满足 ? 2 ? x>0, ? ? x>0, ? 2

所以0<x< 1 ,
2 1 2

所以S与x之间的函数关系中的定义域为(0, ). 答案:S= x-x2
1 2

(0,

1 ) 2

3.(1)≧f(x)= 1

1 x +

,?f(2)=

1 =1 , 1 2 3 + 1 =1 . 1 6 7 +

又≧g(x)=x2+2,?g(2)=22+2=6.

(2)由(1)知g(2)=6,?f(g(2))=f(6)=

【拓展提升】1.已知函数解析式求定义域的类型及求解策略
(1)整式:若y=f(x)为整式,则函数的定义域是实数集R.

(2)分式:若y=f(x)为分式,则函数的定义域为使分母不为0的
实数集. (3)偶次根式:若y=f(x)为偶次根式,则函数的定义域为被开 方数非负的实数集(特别注意0的0次幂没有意义). (4)几部分组成:若y=f(x)是由几部分数学式子的和、差、积、 商组成的形式,定义域是使各部分都有意义的集合的交集.

(5)实际问题:若y=f(x)是由实际问题确定的,其定义域要受
实际问题的约束. 2.函数求值的两个注意事项 (1)求函数值问题,首先要确定函数的对应关系f的具体含义, 再代入求值. (2)求类似f(g(2))的值,要注意f,g作用的对象,按“由内到 外”的顺序求值.

【变式训练】1.函数f(x)= ? x ? 1? 的定义域是_______.
0

x ?x

【解析】由题意知 ? x ? 1 ? 0, 即 ? ?
? x ? x ? 0,

, ?x ? 1 ? x ? x,

所以x<0,即函数的定义域为(-≦,0). 答案:(-≦,0)

2.已知函数f(x)= 6

- x?4. x ?1 (1)求函数的定义域. (2)求f(-1),f(12)的值. 【解析】(1)由题意知,x-1≠0且x+4≥0, 即x≥-4且x≠1.从而函数定义域为[-4,1)∪(1,+≦).
6 - ?1 ? 4 =-3- 3. ?1 ? 1 6 f(12)= 6 - 12 ? 4 = -4= ? 38 . 11 11 12 ? 1

(2)f(-1)=

【规范解答】与函数定义域有关的综合问题
【典例】

【条件分析】

(1)求集合A. (2)若A?B,求a的取值范围. (3)若全集U={x|x≤4},a=-1,求 ?U A 及A∩( ?U B ).

【规范解答】(1)使 3 ? x 有意义的实数x的集合是{x|x≤3},
使
1 有意义的实数x的集合是{x|x>-2}①.????2分 x?2

所以,这个函数的定义域是
{x|x≤3}∩{x|x>-2}={x|-2<x≤3}①,

即A={x|-2<x≤3}.????????????????4分
(2)因为A={x|-2<x≤3},

B={x|x<a}且A?B, 所以a>3.②???????????????????7分 (3)因为U={x|x≤4}, A={x|-2<x≤3}, 所以 =(-≦,-2]∪(3,4].???????????9分

因为a=-1, 所以B={x|x<-1}, 所以 所以A∩ =[-1,4], =[-1,3].??????????????12分

【失分警示】

【防范措施】
1.重视求函数定义域的基本原则

若y=f(x)是由几部分数学式子组成的,则定义域是使各部分都
有意义的集合的交集,如本例(1)中,要注意求 3 ? x 和
1 两 x?2

部分都有意义的集合的交集.
2.重视利用数形结合思想处理集合之间的关系和运算问题 集合之间的关系和运算要注意Venn图和数轴的应用,如本例(2) 中,可借助数轴分析a的取值范围.

【类题试解】(2013·长春高一检测)已知全集U=R,函数y=
x ? 2 ? x ? 1 的定义域为集合A,函数y=

2x ? 4 的定义域为 x ?3

集合B.
(1)求集合A和集合B.

(2)求集合(

)∪(

).

【解析】(1)因为? ?
? x ? 3,

x ? 2 ? 0,

因为 ?2x ? 4 ? 0, 所以x≥-2且x≠3,所以B=[-2,3)∪(3,+≦). ? (2)因为A=[2,+≦),所以 =(-≦,2). =(-≦,-2)∪{3},所以

? x ? 1 ? 0,

所以x≥2,所以A=[2,+≦).

因为B=[-2,3)∪(3,+≦),所以 ( )∪( )=(-≦,2)∪{3}.

1.下列说法正确的是(

)

A.函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应

B.函数的定义域和值域可以是空集
C.函数的定义域和值域一定是数集

D.函数的定义域和值域确定后,函数的对应关系也就确定了

【解析】选C.根据从集合A到集合B函数的定义可知,强调A中 元素的任意性和B中对应元素的唯一性,所以A中的多个元素 可以对应B中的同一个元素,从而选项A错误;同样由函数定 义可知,A,B集合都是非空数集,故选项B错误;选项C正确; 对于选项D,可以举例说明,如定义域、值域均为A={0,1}的 函数,对应关系可以是x→x,x∈A,可以是x→ x ,x∈A, 还可以是x→x2,x∈A.

2.函数f(x)= A.(1,+∞)

x 的定义域为( x ?1

) B.[0,+∞) D.[0,1)∪(1,+∞)

C.(-∞,1)∪(1,+∞)

? x ? 0, 【解析】选D.因为 x -1≠0,所以 ? ? x ? 1 ? 0,

所以x≥0且x≠1. 所以函数f(x)=

x 的定义域为[0,1)∪(1,+≦). x ?1

3.已知全集U=R,A={x|x>1或x≤-2},则

用区间表示为

___.
【解析】由题意知, ={x|-2<x≤1},用区间表示为

(-2,1].
答案:(-2,1]

4.f(x)=x2+x-1,f(a)=5,则a=________.
【解析】由a2+a-1=5,解得a=2或-3.

答案:2或-3

5.若f(x)=|x-1|-|x|,则f(f(1))=_______.

【解析】≧f(1)=|1-1|-|1|=-1,
?f(f(1))=f(-1)=|-1-1|-|-1|=2-1=1.

答案:1
1 ,g(x)=x2+2,求f(2)及f(g(2))的值. 1? x 【解析】由f(x)= 1 ,得f(2)= 1 ? 1 , 1? 2 3 1? x

6.已知函数f(x)=

由g(x)=x2+2,得g(2)=22+2=6, f(g(2))=f(6)=
1 1 ? . 1? 6 7


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