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江西师范大学附属中学2017届高三上学期期中考试数学(文)试题


江西师大附中高三数学(文)月考试卷
命题人:欧阳晔 审题人:刘婷 2016.11

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.设全集 U 为整数集,集合 A={x ? N |y= 7x-x2-6},B={x ? Z |-1<

x≤3},则图中阴影部分表示 的集合的真子集的个数为( A.3 B.4 ) C.7 D.8 )

2.命题“ ? n ? N*,f(n) ? N*且 f(n)≤n”的否定形式是( A. ? n ? N*,f(n) ? N*且 f(n)>n C. ? n0 ? N*,f(n0) ? N*且 f(n0)>n0

B. ? n ? N*,f(n) ? N*或 f(n)>n D. ? n0 ? N*,f(n0) ? N*或 f(n0)>n0

3.《九章算术》之后,人们学会了用等差数列的知识来解决问题,《张丘建算经》卷上第22题为:“今 有女善织,日益功疾(注:从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布,现一月 (按30天计)共织390尺布”,则从第2天起每天比前一天多织( )尺布. A.

1 2

B.

8 15

C.

16 31

D.

16 29
②若 m ? ? , n / / ? , 且 ? / / ? , 则 m ? n ; ④若 m ? ? , n ? ? , 且 ? ? ? ,则 m ? n .

4.已知两条不同的直线 m, n 和两个不同的平面 ? , ? ,给出以下四个命题: ①若 m / /? , n / / ? , 且 ? / / ? ,则 m / / n ; ③若 m / /? , n ? ? , 且 ? ? ? ,则 m / / n ; 其中正确命题的个数是( A.1 B.2 ) C.3
2

D.4 )

5.已知函数 f ( x) ? sin x cos x ? 3 cos x ,则函数 f ( x ) 图像的一条对称轴是( A. x ?

5? 12

B. x ?

?
3

C. x ?

?
6

D. x ?

? 12

[:]

6.如图是某几何体的三视图,俯视图是边长为 2 的正三角形,则该几何体的体积是(

)

3

1 1 主视图

左视图

俯视图

·1·

A.4

B.6

C. 2 3

D. 3 3

7.在正三棱柱 ABC ? A?B?C ? 中,若 AA? ? 2 AB ,则异面直线 AB? 与 BC ? 所成的角的余弦值为( ) A.0 B.

3 8

C.

3 5

D.

7 10
F G A E D B C

8.如图正六边形 ABCDEF 的边长为 1,点 G 是边 AF 的中点, 则 BD ? BG =( A.1 9.已知 f ( x) ?

??? ? ??? ?

) B.

5 4

C.

3 7 3 D. 4 8

1 2 ? x ? sin( ? x) , f ?( x ) 为 f ( x) 的导函数,则 f ?( x ) 的图象是( 4 2

)

A

B

C

D

10.设 k ? R ,动直线 l1 : kx ? y ? k ? 0 过定点 A,动直线 l2 : x ? ky ? 5 ? 8k ? 0 过定点 B,并且 l1 与 l2 相交于点 P,则 PA ? PB 的最大值为( A. 10 2 B. 5 2 )

C. 10 5 D. 5 5

11. 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的增函数,函数 y ? f ( x ? 1) 的图像关于 (1, 0) 对称,若对任意

x, y ? R , 不等 式 f ( x2 ? 6 x ? 21) ? f ( y 2 ? 8 y) ? 0 恒成 立,则 当 x ? 3 时 , x 2 ? y 2 的取 值范围 是
( ) A. (3, 7) B. ( 13,7) C. (9, 49) D. (13, 49)

12.已知函数 f ( x) ? ln A. 1 ? ln 2 B. ln 2

x 1 ? , g ( x) ? e x?2 ,若 g (m) ? f (n) 成立,则 n ? m 的最小值为 2 2
C. 2 e ? 3 D. e ? 3
2

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知直线 3x ? 4 y ? 17 ? 0 与圆 x ? y ? 4x ? 4 y ?17 ? 0 相交于 A,B,则 AB =_______.
2 2

14.已知一个正倒立的圆锥容器中装有一定的水,现放入一个小球后,水面恰好淹过小球(水面与小
·2·

球相切) ,且圆锥的轴截面是等边三角形,则容器中水的体积与小球的体积之比为_______. 15.已知数列 {an } 的首项为 1,数列 {bn } 为等比数列,且 bn ?

an ?1 , b6 ? b9 ? 2 ,则 a15 ? _______. an

16.某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每台每天能生产 A 类产品 5 件、B 类产 品 10 件,乙种设备每台每天能生产 A 类产品 6 件、B 类产品 20 件.已知设备甲每天的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费 300 元.现在该公司每天至少要生产 A 类产品 50 件,B 类产品 140 件,则每 天所需租赁费至少为_______元.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,本大题 6 小题,共 70 分. 17.(本小题 10 分)已知函数 f ( x) ? x ? a ? 2 x ? 1 . (1)当 a ? 3 时,求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (2)若 f ( x) ? 4 对于任意 x ? R 都恒成立,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题 12 分)已知 a, b, c 分别是 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边,向量

?? ? ?? ? m ? (tan A ? tan B, ? tan B) , n ? (b, 2c) ,且 m ? n .
(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 13, ?ABC 的面积为 3 3 ,求 b, c 的值.

19.(本小题 12 分)已知数列 {an } 满足: a1 ? 4 , an?1 ? an ? 2n ? 3(n ? N*) . (1)求数列 {an } 的通项公式;
·3·

(2)若 bn ?

5 n ?1 (n ? N *) , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项的和,求证: Tn ? . 2 16 n an?1

20.(本小题 12 分)如图 1 所示,在矩形 ABCD 中, AB ? 4 5 , AD ? 2 5 ,BD 是对角线,过 A 点作 AE ? BD ,垂足为 O,交 CD 于 E,以 AE 为折痕将 ?ADE 向上折起,使点 D 到达点 P 的位置 (图 2),且 PB ? 2 17 . (1)求证: PO ? 平面 ABCE; (2)过点 C 作一平面与平面 PAE 平行,作出这个平面,写出作图过程; (3)在(2)的结论下,求出四棱锥 P-ABCE 介于这两平行平面间部分的体积. E C D P E O A O B C

A

图1

B

图2

21.(本小题 12 分)已知抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 与直线 l : x ? y ? 1 ? 0 相切于点 M.
2

[:.]

(1)求抛物线 C 的方程; (2)作直线 l ? 与 OM 平行(O 为原点)且与抛物线 C 交于 A,B 两点,又与直线 l 交于点 P,是否存在常数

? ,使得 PM ? ? PA PB 成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
·4·

2

22.(本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? x2 ? a ln x ? (a ? 2) x(a ? R) . (1)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (2)当 f ( x ) 有极大值与极小值时,求证函数 f ( x ) 在定义域内有唯一的零点.

·5·

答案 1.答案:C 2. 答案:D 3.答案:D 4.答案:B 5.答案:A 6.答案:C 7.答案:D 8.答案:C 9.答案:A 10.答案:A 11.答案:D 12.答案:B 13.答案:8 14.答案:5:4 15.答案:128 16.答案:2300 17.已知函数 (1)当 (2)若 时,求不等式 对于任意 . 的解集; 都恒成立,求实数 的取值范围.

解: (1)当

时,

,

·6·

当 当

时, 时,

满足. ,则 .



时,

,则

.

综上,原不等式的解集为 (2)因为 ,

则 所以实数 的取值范围是 18.已知 分别是 ,且 (1)求角 (2)若 解: (1)因为 的大小; 的面积为 ,则 ,即 ,求 . 的内角 .



,

的对边,向量

,

的值. ,

,又

,所以

.

(2)因为



又 19.已知数列 (1)求数列 满足: 的通项公式; ,

,解得,

或 .



·7·

(2)若 解 (1)因为 则 =



是数列 ,

的前 项的和,求证:

.

(2)因为

,



[:]

= 20.如图 1 所示,在矩形 ABCD 中, 交 CD 于 E,以 AE 为折痕将 (1)求证: 平面 ABCE; ,

,证毕. ,BD 是对角线,过 A 点作 ,垂足为 O, .

向上折起,使点 D 到达点 P 的位置(图 2),且

(2)过点 C 作一平面与平面 PAE 平行,作出这个平面,写出作图过程;

[:]

(3)在(2)的结论下,求出四棱锥 P-ABCE 介于这两平行平面间部分的体积.

·8·

解:(1)在图 1 中, 又 在图 2 中, 则 又因为 所以 , , 平面 ABCE. , ,

,则 .

,

,

(2)过点 C 作 AE 的平行线交 AB 于点 F,过点 F 作 PA 的平行线交 PB 于点 G,连 CG, 则平面 CFG 为所求的平面. (3)在图 1 中, 则 , , ,

设 CF 交 OB 于 H,连 GH,则 所求的几何体的体积:

,

= 21.已知抛物线 C: (1)求抛物线 C 的方程; (2)作直线 与 OM 平行(O 为原点)且与抛物线 C 交于 A,B 两点, 又与直线 交于点 P, 是否存在常数 , 与直线 相切于点 M.

·9·

使得

成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. ,

解:(1)由于直线 与抛物线 C 相切,联立直线 l 与抛物线 C 的方程得: 则有 所以抛物线 C 的方程为: (2)设存在常数 ,使得 , , , 。 , ,得 。 或 2,因为 ,则 ,

由(1)知点 M 的坐标为 则可设直线 的方程为: 求得点 ,

联立

因为

=

=



则 22.已知函数 (1)讨论函数 (2)当

,得

,所以存在。 .

的单调性; 在定义域内有唯一的零点.

有极大值与极小值时,求证函数

解: (1)

=





·10·

当 则

即 在

时,令 上单调递减,在

, 上单调递增.

,

当 则

即 在

时, 上单调递增.

恒成立,





时,令



,令

,







递增,在

递减.





时,令



,令

,







递增,在

递减. 或 .

(2) 因为

存在极大值与极小值,由(1)知



时,





递增,在

递减.



,

,无零点;

若 则当 时,

, 有唯一零点.

,有一个零点,



时, 则





递增,在

递减,



,

·11·

由于 若 则当 ,

,

,则 ,即

,即 在



无零点; 有一个零点,

时, 则

有唯一零点.

综上,原命题正确.

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·12·


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