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3.2.2复数代数形式的乘除运算导学案


3.2.2 复数代数形式的乘除运算导学案
【学习目标】 掌握复数代数形式的乘法和除法运算法则及其运算律,并能应用它们熟练地进行复数的四则运算. 【学习重点】 复数的乘法和除法法则以及有关运算律. 【学习难点】 复数中有关 i,(1 ? i)2 ,(1 ? i)2 的运算以及除法运算. 【学习过程】 一.知识链接: 复习 1: (a ? b)2 = 二.问题探究: 引导 1:实数中,多项式相乘 (a ? b)(c ? d ) ? 探究一:类比多项式相乘,求下面两个复数相乘的结果.
(3a ? 2b)(3a ? 2b) =

(5) i(2 ? i)(1 ? 2i)

设复数 z ? a ? bi(a.b ? R) ,其共轭复数 z ? a ? bi ,则 z ? z ? 即:两个互为共轭复数的乘积是一个

=

= .

数,等于这个复数(或其共轭复数)的

引导 3:实数中,化简

2 2? 3

?

分母有理化

探究二:类比初中时我们学习的无理分式的化简,试写出下面两复数相除的结果,其中 c ? di ? 0

复习 2: 复数 z ? a ? bi(a, b ? R) 共轭复数 z ?

(a ? bi ) ? (c ? di ) ?

a ? bi ? c ? di

分母



规定复数代数形式的除法运算: 两个复数相除(除数不为 0) ,通常先把 (a ? bi) ? (c ? di) 写成 乘以分 的 例 3.计算: 换成 ,并且

a ? bi 的形式,再把分子和分母都 c ? di
数.

?a ? bi??c ? di? ?
规定复数代数形式的乘法运算: 两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把 把 与 分别合并.两个复数的积仍然是一个 数.

复数,化简后就得到上面的结果.两个复数的商仍然是一个

(1) (1 ? 2i) ? (3 ? 4i)

(2) (3 ? 2i) ? (2 ? 3i)

(3)

5(4 ? i ) 2 i(2 ? i)

(4)

1? i 1? i

(5)

1? i 1? i

引导 2:复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律? (1) z1 ? z2 ? z2 ? z1 (2) ?z1 ? z2 ?? z3 ? z1 ? ?z2 ? z3 ? (3) z1 ? ?z2 ? z3 ? ? z1 ? z2 ? z1 ? z3 知识拓展: 探究三:认识快乐的 i : 1.试求 i ?
1

注:根据乘法的运算律,实数范围内正整指数幂的运算律在复数范围内仍然成立. 对于任意 z, z1 , z 2 ? C , m n ?N,有

z ?z ?
m n



?z ?

m n

?



?z1 ? z 2 ?

,i ?
2

,i ?
3

,i ?
4

,i ?
5

,i ?
6



n

?

例 1.计算: (1) (3 ? 2i) ? (2 ? 3i) (2) (4 ? 3i)(?5 ? 4i)

i7 ?
n

,i ?
8

,……

( ? (3) 3 ? 2i) (1 ? 2i)2

2.由 1 推测 i n ? N 的值有什么规律?并把这个规律用式子表示出来.
*

?

?

练习: 例 2.计算: (1) (1 ? i)2 (2) (1 ? i)2 (3) (3 ? 4i)(3 ? 4i) (4) ( 3 ? 2i)(? 3 ? 2i) (1) i ? i ? i ? … ? i
2 3 2005

? i 2006 =
(3) (1 ? i) ?
7

(2) (

1 ? i 195 ) ? 1? i

小结:今天的学习收获有哪些?


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