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《高考数学第一轮复习课件》第2讲


新课标高中一轮总复习

理数

第一单元
集合与常用逻辑用语

第2讲
命题与充要条件

理解命题的概念,了解“若p,则q” 形式的命题及其逆命题,否命题与逆否 命题,会分析四种命题的相互关系,理 解必要条件、充分条件与充要条件的意 义.

1.判断下列语句是否为命题,若是,判 断其真假,并说明理由. (1)求证:3是无理数. (2)x2+4x+4≥0.

(3)你是高一的学生吗?
(4)一个正数不是质数就是合数.

(1)(3)不是命题,(1)是祈使句, (3)是疑问句.(2)(4)是命题,其 中(4)是假命题,如正数12既不是质数 也不是合数.(2)是真命题, x2+4x+4=(x+2)2≥0恒成立.

2.(2010· 湖北联考)若非空集合A、B、C满足 A∪B=C,且B不是A的子集,则( B ) A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条 件

B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条 件 ? ? 由A∪B=C,则A?C且B?C,故x∈A, C.“x∈C”是“x∈A”的充要条件 则x∈C,但x∈C不一定有x∈A,故“x∈C” D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件,也不是 是“x∈A”的必要不充分条件. “x∈A”的必要条件

3.(2010· 天津汉沽一中模拟)命 题“若x2>y2 ,则x>y”的逆否 命题是( ) C
A.“若x<y,则x2<y2”

B.“若x>y,则x2 >y2”
C.“若x≤y,则x2≤y2”

D.“若x≥y,则x2≥y2”

4.(2010· 山东临沂一模)已知命题 p : x∈R , 2x2+2x+12<0 ; 命 ? 题q:x∈R,sinx-cosx=2,则 ? 下列判断正确的是( D )
A.p是真命题 B.q是假命题 C. ? p是假命题 D. ? q是假命题 2x2+2x+12<0? (2x+1)2<0,p为假, ? ? sinx-cosx= 2 sin(x- )≤2,故q为真. 4 所以? q为假,故选D.

5.(2009· 江苏金陵中学三模)若“x∈[2,5] 或x∈(-∞,1)∪(4,+∞)”是假命题,则x的 取值范围是 [1,2) .

x?[2,5],且x?(-∞,1)∪(4,+∞)是真命题. ? ?

由 x<2或x>5
1≤x≤4 ,得1≤x<2,故填[1,2).

1.命题及四种命题 (1)可以判断真假的陈述句叫做命题,它由 ① 题设和结论 两部分构成.

(2)命题的四种形式:
原命题:若p则q; 逆命题:若② q 则③ p ; 否命题:若④ p 则⑤ q ; 逆否命题:若⑥ q 则⑦ p .

(3)四种命题的关系:

⑧ 互为逆否 们同真同假.

的命题互为等价命题,它

2.充分条件与必要条件

(1)若p? q,则称p为q的 ? ⑨充分条件, 同时q是p的⑩必要条件; ? ? (2)若 11 p?q 且 12 q?p , 则称p是q的充要条件.

典例精讲
题型一 四种命题的相互关系
山东模拟)分别写出下 例1 (2010· 列命题的逆命题、否命题、逆否命 题,并判断它们的真假: (1)若b2-4ac=0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0) 有两个相等的实根; (2)若A∪B=I,则A= IB.

(1)逆命题:若方程ax2+bx+c=0(a≠0) 有两个相等的实根,则b2-4ac=0,为真命题.
否命题:若b2-4ac≠0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)没 有两个相等实根,为真命题. 逆否命题:若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有两个 相等实根,则b2-4ac≠0,为真命题. (2)逆命题:若A= IB,则A∪B=I,为真命题.

否命题:若A∪B≠I,则 A ≠ IB,为真命题.
逆否命题:若A≠ IB,则A∪B≠I,为假命题.

(1)已知原命题,写出它的其他三种 点评 命题,首先把命题改写成“若p,则q”的形 式,然后找出其条件p和结论q,再根据四 种命题的定义写出其他命题.对写出的命题 也可简洁表述;对于含有大前提的命题, 在改写命题形式时,大前提不要动. (2)判断命题的真假,可直接判断,如果 不易判断,可根据互为逆否命题的两个命 题是等价命题来判断;原命题与逆否命题 是等价命题,否命题与逆命题是等价命题.

若命题p的逆命题是q,命题 p的否命题是r,则q是r的( C )
A.逆命题 C.逆否命题 B.否命题 D.以上判断都不对

变式

设p:若a,则b,所以q:若b,则a, ? ? 所以r:若 a,则 b,故q是r是逆 否命题,所以选C.

题型二 充分条件、必要条件的判断
例2 下列各小题中,p是q的充要
条件的是( D ) ①p:m<-2或m>6,q:y=x2+mx+m+3有两个 不同的零点;
f (? x) ②p: =1,q:y=f(x)是偶函数; f ( x)

③p:cos α =cosβ,q:tan α =tanβ;
④p:A∩B=A,q: UB ? UA A.①② B.②③ C.③④

D.①④

① 中 Δ=m2-4m-12>0? (m-2)2>42? ? m>6 或 m<-2 , 即 p? q ; ④ 中 ? A∩B=A?A ?B ?UB ?UA.故选D. ?

点评 充要条件的判断:
(1)分清命题的条件与结论; (2)常用方法有:定义法,集合法,变 换法(命题的等价变换)及链条法等.

题型三 充要条件的证明与探索 例3 设 x,y∈R , 求 证 : |x+y|=|x|+|y|
的充要条件是xy≥0. 充分性即证:xy≥0?|x+y|=|x|+|y|, 必要性即证:|x+y|=|x|+|y|?xy≥0.

(1)充分性:
若xy=0,则有x=0或y=0,或x=0且y=0.

此时显然|x+y|=|x|+|y|.

若xy>0,则x,y同号,
当x>0且y>0时,|x+y|=x+y=|x|+|y|;

当x<0且y<0时,
|x+y|=-x-y=(-x)+(-y)=|x|+|y|.

综上所述,由xy≥0可知|x+y|=|x|+|y|.

(2)必要性:
因为|x+y|=|x|+|y|,且x,y∈R,

所以(x+y)2=(|x|+|y|)2,
即x2+2xy+y2=x2+2|x||y|+y2,

可得xy=|xy|,可得xy≥0.
故|x+y|=|x|+|y|?xy≥0. 综合(1)(2)知命题成立.

点评充要条件的证明问题,要分清哪
个是条件,哪个是结论,由“条件”? “结论”是证明命题的充分性,由“结 论”?“条件”是证明命题的必要性.证 明分为两个环节:一是充分性;二是必 要性,证明时,不要认为它是推理过程 “双向书写”,而应该施行由条件到结 论,由结论到条件的两次证明.

设命题p:|4x-3|≤1;命题q:x2变式 ? (2a+1)x+a(a+1)≤0.若 p是 ? q的必要 而不充分条件,求实数a的取值范 围.

由|4x-3|≤1得-1≤4x-3≤1,故12≤x≤1. 由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,

得(x-a)(x-a-1)≤0,
故a≤x≤a+1.

因为? p是? q的必要而不充分条件,
所以p是q的充分而不必要条件,即 ? [12,1] [a,a+1],

?

所以 a≤12 a+1≥1 ,解得0≤a≤12. 故所求的实数a的取值范围是[0,12].

(2010· 西 模 拟 ) 已 知 抛 物 线 江 C:y=-x2+mx-1和点A(3,0)、B(0, 3),求抛物线C与线段AB有两个 不同交点的充要条件.

由已知得线段AB的方程为 x+y=3(0≤x≤3),因为抛物线C与 线段AB有两个不同的交点,

所以方程组 y=-x2+mx-1
x+y=3(0≤x≤3) 有两个不同

的实数解.
将y=3-x代入y=-x2+mx-1, 得x2-(1+m)x+4=0(0≤x≤3), 即关于x的方程x2-(1+m)x+4=0在[0,3]上 有两个不同的实数解.

反过来,若方程 x2-(1+m)x+4=0在[0,3]上 有两个不同的实数解x1 、x2 ,分别代入 x+y=3可得到y1和y2, 故抛物线C与线段AB有两个不同的交点 (x1,y1)和(x2,y2). 于 是 问 题 转 化 为 求 关 于 x 的 方 程 x 2(1+m)x+4=0在[0,3]上有两个不同的实数 解的充要条件.

令f(x)=x2-(1+m)x+4(如图所示).

则有(1+m)2-4×4>0
f(3)≥0

0<m+12<3
f(0)≥0,即(1+m)2>42

-3m+10≥0
0<m+1<6, 解得3<m≤103. 故所求的充要条件是3<m≤103.

方法提炼
1.充分条件、必要条件是高考中常见的 考查内容,常与其他知识综合在一起. 以下四种说法所表达的意义相同: ①“若p则q”为真; ②p?q; ? ③p是q的充分条件;

④q是p的必要条件.

2.充分条件、必要条件常用的判断方法: (1)定义法:判断B是A的什么条件,实 ? 际上就是判断B?A或A?B是否成立, ? 只要把题目中所给条件按逻辑关系画出 箭头示意图,再利用定义即可判断. (2)集合法:在对命题的条件和结论间 的关系判断有困难时,有时可以从集合 的角度来考虑,记条件p、q对应的集合 分别为A、B,则:

若A?B,则p是q的充分条件;
? 若A?B,则p是q的充分非必要条件; ?

? 若A?B,则p是q的必要条件; ? 若A?B,则p是q的必要非充分条件;

?
?

若A=B,则p是q的充要条件; ? ? ? 若A?B,且A?B,则p是q的既非充分 条件也非必要条件.

?

(3)用命题的等价性判断:判断p是q的 什么条件,其实质是判断“若p,则q” 及其逆命题“若q,则p”是真还是假, 原命题为真而逆命题为假,p是q的充 分不必要条件;原命题为假而逆命题 为真,则p是q的必要不充分条件;原 命题为真,逆命题为真,则p是q的充 要条件;原命题为假,逆命题为假, 则p是q的既不充分也不必要条件.同 时要注意反例法的运用.

注意:确定条件为不充分或不必要的条 件时,常用构造反例的方法来说明. 3.探求充要条件可以先求充分条件,再验 证必要性;或者先求必要条件,再验 证充分性;或者等价转换条件.

走进高考
福建卷)设m,n是平面 学例1 (2009· α内的两条不同直线;l1,l2 是平面β 内的两条相交直线,则α∥β的一个 充分而不必要条件是( ) B A. m∥β且l1∥α B. m∥l1且n∥l2 C. m∥β且n∥β D. m∥β且n∥l2

要得到α∥β,必须是一个平面内的两 条相交直线分别与另外一个平面平行,而两 个平面平行,则一个平面内的任一直线必平 行于另一个平面.对于选项A,不是同一平面 的两直线,显然既不充分也不必要;对于选 项B,由于l1与l2是相交直线,则且由于l1∥m, l2∥n,故可得α∥β,充分性成立.而α∥β不 一定能得到l1∥m,它们也可以异面,故必 要性不成立,所以答案为B.

1 湖北卷)“sinα= ”是 学例2 (2009· 2 1 “cos2α= ”的( A ) 2

A.充分而不必要条件
B.B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 若sinα=
1 ,则cos2α=1-2sin2α=1-2× 2

1 1 但当sinα=- 时,也有cos2α= ,故选A. 2 2

1 1 = , 4 2

本节完,谢谢聆听
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