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8.切线长


复习:
切线的判定:过半径外端且和半径垂 直的直线是圆的切线; 切线的性质:圆的切线垂直于经过切 点的半径。

探究 : 1 、切线长的概念. 经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之 经过平面上的已知点作已知圆的切线,会有怎 间的线段的长叫做这点到圆的切线长. 样的情形呢?

如 图 , 线 段 PA , PB的长就是点P到 ⊙

O的切线长.
O P

A

O
O B

P

A
P

比一比
O

A

P

B
切线和切线长是两个不同的概念: 1、切线是一条与圆相切的直线,不能度量; 2、切线长是线段的长,这条线段的两个端点 分别是圆外一点和切点,可以度量。

已知⊙o及⊙o外的一点P,PA与⊙o相切于A点, 连接OA、OP,如果将⊙o沿直线OP翻折,存在 一点与A点重合吗?

A

O

P

B

根据圆的轴对称性,存在与 A点重合 PA 、PB所在的直线分别 你能发现 OA与PA,OB 的一点 ,且落在圆,连接 OB,则它 与B PB 之间的关系吗? 是⊙ o 两条切线。 也是⊙o的一条半径。

证一证
请证明你所发现的结论。 PA = PB
∠OPA=∠OPB
O B P

A 证明:∵PA,PB与⊙O相切,点A,B是切点 ∴OA⊥PA,OB⊥PB ∵ OA=OB,OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB 即∠OAP=∠OBP=90°
试用文字语言 叙述你所发现 的结论

2.切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这 一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. A

∵ PA、PB分别切

⊙O于A、B.


O

P

PA = PB ∠OPA=∠OPB

B

切线长定理为证明线段相等,角相等, 弧相等,垂直关系提供了理论依据。必须掌 握并能灵活应用。

如图:PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为 切点。 B
C 。 O A P

思考:由切线长定 理可以得出哪些结 论?

(1)写出图中所有的垂直关系; (2)写出图中所有的全等三角形; (3)写出图中所有的等腰三角形.

练习 1、如图,已知⊙O的半径为3cm, PO=6cm,PA,PB分别切⊙O于A,B, (1)PA= . (2)若PO交⊙O于点Q,直线CD切⊙O 于点Q,交PA、PB于点C、D,则 △PCD的周长是______ A
C
O Q D B

P

问题:如图为一张三角形铁皮,如何在它 上面截一个面积最大的圆形铁皮? 与三角形各边都相切的圆叫 做三角形的内切圆. 三角形的内切圆的圆心叫做 这个三角形的内心. 三角形的内心是三角形三条内 角平分线的交点.这个三角形 叫做这个圆的外切三角形.
B A

I


C

2 、已知:在△ ABC 中, BC = 14 厘米, AC=9厘米,AB=13厘米,它的内切圆I 分别和 BC , AC , AB 相切于点 D , E , F , 求AF,BD和CE的长
A F B D I E C



想一想
A

反思:在解决有关圆的 切线长问题时,往往需 要我们构建基本图形。

O



P B

(1)分别连结圆心和切点
(2)连结两切点 (3)连结圆心和圆外一点

A

b
C

c r

a

B

1.直角三角形的两直角边 分别是5cm,12cm 则其内 切圆的半径为______。

2.如图:从⊙O外的定点P作⊙O的两 条切线,分别切⊙O于点A和B,在 弧AB上任取一点C,过点C作⊙O的 切线,分别交PA、PB于点D、E.且 ∠P=40°, PA=6.
D

求:⑴ 求△PDE的周长.
(2)求∠DOE的度数.

C
E

O

3.已知:△ABC的内切圆分别和BC、 AC、AB相切于点D、E、F, ∠DIE=120°,∠EIF=130°.求 △ABC的三个内角的度数.
A F B D I E C



4、已知:如图, P为⊙ O外一点, PA, PB为⊙O的切线,A和B是切点,BC是直 径.求证:AC∥OP.
C A

O

P
B

4、已知:如图, P为⊙ O外一点, PA, PB为⊙O的切线,A和B是切点,BC是直 径.求证:AC∥OP.
C A

O

P
B

如图:从⊙O外的定点P作⊙O的两 条切线,分别切⊙O于点A和B,在 弧AB上任取一点C,过点C作⊙O的 切线,分别交PA、PB于点D、E.且 ∠P=40°, PA=6.
D

求:⑴ 求△PDE的周长. (2)求∠DOE的度数.

C
E

O

通过这节课的复习,你有什么收获或体会?

关于切线长定理,你还有什么不明白的问题?

下课了!

结束寄语 先相信你自己,然后别人才会相信你!


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