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荆州中学高二下学期数学测试卷3 2015.3.19


荆州中学高二下学期数学测试卷(3)2015.3.19

FQA

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.命题“若函数 f ( x) ? e ? mx 在 [0,??) 上是减函数,则 m ? 1 ”的否命题是(
x

/>
A.若函数 f ( x) ? e ? mx 在 [0,??) 上不是减函数,则 m ? 1
x

B.若函数 f ( x) ? e ? mx 在 [0,??) 上是减函数,则 m ? 1
x

C.若 m ? 1 ,则函数 f ( x) ? e ? mx 在 [0,??) 上是减函数
x

D.若 m ? 1 ,则函数 f ( x) ? e ? mx 在 [0,??) 上不是减函数
x

2. “

p ? q 是假命题”是“ ?p 为真命题”的
B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件

3. 某中学高中一年级有 400 人,高中二年级有 320 人,高中三年级有 280 人,现从中抽取 一个容量为 200 人的样本,则高中二年级被抽取的人数为( A. 28 B. 32 C. 40 ) D. 64

4.若平面 α 、β 的法向量分别为 n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则( ) A.α ∥β B.α ⊥β C.α 、β 相交但不垂直 D.以上均不正确 5.已知 10 件产品中有 3 件次品,不放回地抽取 2 次,在第 1 次抽出的是次品的前提下,则 第 2 次抽出正品的概率是

7 A. 30
6. 与椭圆

7 B. 9

3 C. 10

7 D. 10

x2 y2 ? ? 1 共焦点, 离心率互为倒数的双曲线方程是 16 12
y2 ?1 3
B.

A.

x2 ?

x2 3x 2 3 y 2 ? y 2 ? 1 C. ? ?1 3 4 8

D.

3 y 2 3x 2 ? ?1 4 8

7. 在实验室进行的一项物理实验中,要先后实施 6 个程序,其中程序 A 只能出现在第一或 最后一步,程序 B 和 C 在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有( A. 34 种 B. 48 种 C. 96 种 D. 144 种 )

8.已知点 P 是双曲线

x2 ? y 2 ? 1 上任意一点,过点 P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线, 4

垂足分别为 A、B,则 PA ? PB =

12 A. 25 ?
9.如图, 已知点

12 B. 25

24 C. 25 ?
2

4 D. 5 ?

? y 2 ? 1, M 、 ???? ? ???? N 分别为边 AB 、BC 的中点. 当正方形 ABCD 绕圆心 O 旋转时, PM ? ON
? 2 2? , ?? ? 2 2 ? ? D.

P

?

2, 0

? ,正方形 ABCD 内接于圆 O :x

的取值范围为

A.

??2, 2?

B. ?

? ? 2, 2 ? ?

C.

??1,1?

xy ?
10.已知点 P 为曲线

5 x ? 2y ? 3 ? 0 OP 2 上任意一点,O 为坐标原点,则 的最小值为

5 A. 2

6 B. 2

C. 2

2 3 D. 3

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.执行如图所示的程序框图,如果输入 a=1,b=2,则输出的 a 的值 为____. 12. (1 ? x)(1 ? x)
10
3

展开式中 x 的系数为_________.
2

13. 在某项测量中,测量结果?服从正态分布 N(1,? ) (?>0) ,若? 在 (0, 1) 内取值的概率为 0.4, 则?在 (0, 2) 内取值的概率为 。

14. 一个车间为了规定工作定额, 需要确定加工零件所花费的时 间, 为此进行了 5 次试验, 收集数据如下: 零件数 x (个) 10 20 30 40 50 64 69 75 82 90 加工时间 y (分钟)

? ? 由表中数据, 求得线性回归方程 y ? 0.65x ? a , 根据回归方程, 预测加工 70 个零件所花
费的时间为_________分钟.

,6 15. 已 知 “ a, b, c, d , e, f ” 为 “ 1, 2 , 3 , 4 , 5 ” 的一个全排列.设 x 是实数,若
“ ( x ? a)( x ? b) ? 0 ”可推出“ ( x ? c)( x ? d ) ? 0 或 ( x ? e)( x ? f ) ? 0 ”,则满足条件的 排列“ a, b, c, d , e, f ”共有__________个.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知命题

p: “?x ?[1, 2], x 2 ? a ? 0” ,

命题

2 q: “?x0 ? R, x0 ? 2ax0 ? a ? 2 ? 0” ,

若命题“ p或q ”是真命题, 求实数 a 的取值范围.

17.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,P 为棱 CD 上的一点,且三棱锥 A- CP D1 的体

2 积为 3 。
(1)求 CP 的长; (2)求直线 AD 与平面 APD1 所成的角 ? 的正弦值; (3)请直接写出正方体的棱上满足 C1M∥平面 APD1 的所有点 M 的位置,并任选其中的一点予以证明。

A(4,
18.已知

12 x2 y2 ), B ( x1 , y1 ), C ( x 2 , y 2 ) ? 2 ?1 2 5 b 三点在椭圆 a 上,△ABC 的重心与此椭圆

的右焦点 F(3,0)重合 (1)求椭圆方程 (2)求 BC 的方程

AA ? 2a ,点 A 19.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面 ?ABC 为正三角形且边长为 3a ,侧棱 1
在下底面的射影是 ( Ⅰ)求证:

?A1B1C1 的中心 O.

AA1 ? B1C1 ; B1 ? AA1 ? C1 所成角的余弦值.

( Ⅱ)求二面角

20.某工厂的一个车间有 5 台同一型号机器均在独立运行,一天中每台机器发生故障的概率 为 0.1,若每一天该车间获取利润 y(万元)与“不发生故障”的机器台数 n (n ? N , n ? 5) 之

??6(n ? 2), y?? ?3n ? 3(n ? 3). 间满足关系式:
( Ⅰ)求某一天中有两台机器发生故障的概率; ( Ⅱ)求这个车间一天内可能获取利润的均值(.精确到 0.01).

21.我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧 合成的封闭曲线称为“盾圆”.如图,“盾圆 C ”是由

y
M

A
N

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 2 b 椭圆 a 与抛物线 y ? 4 x 中两段
曲线合成, F1 , F2 为椭圆左、右焦点, F2 (1,0) , A 为椭圆

FO
1

F2
G
H

x

与抛物线的一个公共点, (Ⅰ)求椭圆的方程;

| AF2 |?

5 2.

(Ⅱ) 是否存在过 F2 的一条直线 l , 与 “盾圆 C ” 依次交于 M , N , G, H 四点, 使得 ?F1MH
1 NG 的面积之比为 6 : 5 ,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 与 ?F

荆州中学高二下学期数学测试卷(3)参考答案
一、AADCB 二、11. 32 三、 16.解: p ? a ? ( x 2 ) min ? 1. ……………………………………………………3 分 ACACA 12.

? 75

13.

0.8

14.

102

15.

224

q ? ? ? 4a 2 ? 4(a ? 2) ? 0 ? a ? ?1或a ? 2. ……………………………6 分
∵“p 或 q”为真命题,∴p、q 中至少有一个真命题………………………8 分 即 a ? 1 或 a ? ?1或a ? 2. ………………………………………………………10 分
? a ? 1 或 a ? 2.

? “ p或q ”是真命题时, 实数 a 的取值范围是 (??,1] ? [2,??). ………12 分
17.解:

c?3 ? ?a ? 5 ? 16 144 x2 y2 ? ? ? ?1 18.(1)由题意: ? 2 ? ,故椭圆方程为: ? 1 ? b ? 4 ? 2 25 16 a 25 b ? ?c ? 3 2 2 2 ? ? a ? b ? c ?

12 ? y1 ? y 2 4 ? x1 ? x2 5 (2)设 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) ,由题意有: ? 3, ? 0 ,故 3 3
x1 ? x2 ? 5, y1 ? y 2 ? ? x2 y2 x2 y2 12 , 又 1 ? 1 ? 1, 2 ? 2 ? 1,两式作差可得: 5 25 9 25 9

( x1 ? x 2 )(x1 ? x 2 ) ( y1 ? y1 )( y1 ? y 2 ) ? ? 0. 25 9
即: k BC ?

y1 ? y 2 9 x ? x2 4 ?? ? 1 ? ,故直线 BC 的方程为: x1 ? x2 25 y1 ? y 2 3

y?

y1 ? y 2 4 x ? x2 ? (x ? 1 ) ,即:40x-30y-136= 0 2 3 2

21.

解: (I) 由

y 2 ? 4x 得准线为 x ? ?1 ,所以 | AF2 |? x A ? 1 ?


5 , 2



xA ?

3 3 2 ?6 , y ? 4? 2 2

∴F 1 (?1,0) ,

3 A( , 6 ) ?????????????????2 分 2 7 5 2a ?| AF1 | ? | AF2 |? ? ? 6 ,∴ a ? 3 ,∵ c ? 1 得 b ? 2 2 2 2

∴椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 9 8
x ? my?1

?????????????????5 分

(II) 依题意设直线 l 方程为

?????????????????6 分

?x ? m y ? 1 ? 2 2 联立 ? x 2 得: (8m ? 9) y ? 16my ? 64 ? 0 y2 ?1 ? ? 8 ?9
设 M ( xM , yM ), H ( xH , yH ) ,则

yM ? y H ?

? 16 m ? 64 , yM y H ? ①????7 分 2 8m ? 9 8m 2 ? 9

联立

?x ? m y ? 1 2 得: y ? 4my ? 4 ? 0 ? 2 ? y ? 4x
???????8 分



N ( xN , yN ),G( xG , yG ) ,则 yN ? yG ? 4m, yN yG ? ?4 ②

设F 1 到直线 l 的距离为 d



S ?F1MH S ?F1NG

1 d ? MH | MH | ? 2 ? 1 | NG | d ? NG 2

?????????????????9 分

(16m) 2 ? 4 ? 64(8m 2 ? 9) ? | yM ? yH | ? | y N ? yG |
1 2 ,m ? ? 8 4
,由②可知

8m 2 ? 9 16m 2 ? 16

?

12 6 ? ????11 分 2 8m ? 9 5

解得: m

2

?

?????????????????12 分

若m

?

2 4 ??

1 N (2,2 2 ), G ( ,? 2 ) , N 2

不在“盾圆 C ”上,

同理 m

2 4

也不满足,综上所述:符合题意的直线 l 不存在 ????????14 分

解法二:(II) 当 k 不存在时, 当 k 存在时,设直线 l 方程为

x ? 1 ,此时 NG ? 4 , MH ?

16 ,不合题意舍去?6 分 3

y ? k ( x ? 1)

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 联立 ? x 2 得: (9k ? 8) x ? 18k x ? 9k ? 72 ? 0 y2 ?1 ? ? 8 ?9

设 M ( xM , yM ), H ( xH , yH ) ,则

xM ? xH ?

18k 2 9k 2 ? 72 , x x ? ①????7 分 M H 9k 2 ? 8 9k 2 ? 8

联立

? y ? k ( x ? 1) 2 2 2 2 得: k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0 ? 2 ? y ? 4x
2k 2 ? 4 , x N xG ? 1 ② k2
???????8 分



N ( xN , yN ),G( xG , yG ) ,则 x N ? xG ?

设F 1 到直线 l 的距离为 d



S ?F1MH S ?F1NG

1 d ? MH 1 ? k 2 ( xM ? xH ) 2 ? 4 xM xH | MH | 2 ? ? ? 1 | NG | x N ? xG ? 2 d ? NG 2
1? k 2 (18k 2 ) 2 ? 4 ? 9(k 2 ? 8)(9k 2 ? 8) 9k 2 ? 8 2k 2 ? 4 ?2 k2
?

?????9 分

?

12k 2 6 ? ????11 分 2 9k ? 8 5

解得: k

2

? 8 , k ? ?2 2

?????????????????12 分

后解法同上


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