当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

竞赛学案12


本溪县高级中学数学竞赛辅导学案 12:竞赛中的平面向量和向量方法 学案 12:竞赛中的平面向量和向量方法
空间向量(二维或三维)作为线性代数的重要组成部分,在高等代数研究中多被用做印证定理的实际 例子,有着广泛的应用.2001 年高中课改后,这个更接近现代数学的数学工具,被引入到高中的数学 学习中来.由于向量同时具有数与形两方面的特征,能把形的问题转化为代数问题,又能将

代数式转 变为具体的图形,近几年来,在数学竞赛中的运用越来越灵活.这里,就全国高中数学联赛试题中涉 及的一些向量问题作一些探究. 一、有关知识: (1) 共线向量定理: a ?? b(b ? 0 ) ? 存在唯一的实数 ? 使得 a = ?b . (2) 平面向量基本定理:设向量 e1 , e2 为平面内两个不共线的向量,则对于平面内任意一个向量 a , 有且仅有唯一的有序实数对 ?1 , ?2 使得 a ? ?1e1 ? ?2 e2 . (3) 若 OP ? ? OA ? ? OB(? , ? ? R) ,则 P, A, B 三点共线的充要条件是 ? ? ? ? 1 .定比分点公式: §1几何中的运用

例 1.(2004 年全国高中联赛)设 O 点在 ? ABC 的内部,且有 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,则 ? ABC 的面 积与 ? AOC 的面积之比为( ) A. 2 B.

??? ?

??? ?

??? ?

?

3 2

C. 3

D.

5 3

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA ? ? OB 若点 P 在直线 AB 上,且 AP ? ? PB , O 为任意一点,则 OP ? . 1? ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . (4) 对于向量 a = ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) , a ? b ? a ?
b ? a ?b . (5) 设 a, b 为两个向量,则 a ? b ? a ? b ? a ? b , a ?

【拓展】

命题:设 P 点在 ? ABC 的内部,则 ?1 PA ? ?2 PB ? ?3 PC ? 0(?i ? 0, i ? 1, 2,3) 成立的充要条件是

??? ?

??? ?

??? ?

?

(6) 空间向量基本定理: 设向量 e1 , e2 , e3 为空间中三个不共面的向量, 则对于空间中任意一个向量 a ,

?1 : ?2 : ?3 ? S ?BPC : S ?CPA: S ?APB .
????

??? ? ??? ? ??? ? ???? 若 OP ? ? OA ? ? OB ? ? OC (? , ? ,? ? R) , 则 P, A, B, C 四点共面的充要条件是 ? ? ? ? ? ? 1 . a ?b a ;点 A 到平面 ? 的距离 (7) 两向量的夹角公式: cos ? a, b ?? ;向量模长公式: a ? a ? a ?b
公式: d ?

有且仅有唯一的有序实数组 ?1 , ?2 , ?3 使得 a ? ?1e1 ? ?2 e2 ? ?3e3 .

命题证明与思路 2 类似,设 PA? ? ?1 PA, PB? ? ?2 PB, PC ? ? ?3 PC , 则 PA? ? PB? ? PC? ? 0 ,故 P 为 ? A?B?C? 的重心,? S ?B?PC ? ? S ?C ?PA? ? S ?A?PB? , 由 S ?B?PC ? ? ?2?3 S ?BPC , S ?C ?PA? ? ?3?1S ?CPA , S ?A?PB? ? ?1?2 S ?APB , 得 S ?BPC : S ?CPA : S ?APB ? ?1 : ?2 : ?3 . 推论1:设 P 点在 ? ABC 的内部,则 S ?BPC ?PA ? S ?CPA ?PB ? S ?APB ?PC ? 0 (*) . 对(*)可以有以下的理解:

??? ?

????

??? ?

???? ?

??? ?

???? ???? ???? ?

?

a ?n n

(其中 a 是以点 A 为起点,以平面 ? 内任意一点为终点的一个向量, n 是平面

??? ?

??? ?

??? ?

?

. ? 的一个法向量) (8) 三角形中“四心”的向量形式:

??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? 垂心:若 H 为 ? ABC 的垂心,则(1) HA?HB ? HB?HC ? HC ?HA ; ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? 2 ???? 2 ??? ?2 (2) HA ? BC ? HB ? CA ? HC ? AB ; ???? ??? ? 1 ??? ? 2 ???? ???? 1 ???? 2 外心:若 O 为 ? ABC 的外心,则 AO?AB ? AB , AO?AC ? AC ; 2 ???? ??? ? ??? ? ??? ? 2 结合垂心有: OH ? OA ? OB ? OC ; ?? ? ?? ? ??? ? 内心:若 I 为 ? ABC 的内心,则 BC ?IA ? CA ?IB ? AB ?IC ? 0 .
重心:若 G 为 ? ABC 的重心,则 GA ? GB ? GC ? 0 ;

二、赛题分析:

? ? 1 ? ? 1? ? b ? c ? b ?c sin ? b, c ?, 2 2 ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? 1 1? ? 由 S ?CPA ? c ? a ? c ?a sin ? c, a ?, (其中PA ? a, PB ? b, PC ? c ) 2 2 ? ? ? ? 1 1 ? ? S ?APB ? a ? b ? a ?b sin ? a, b ? . 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b ? a ? b ?c ? 0 得 b ? c ?a ? c ? a ? ?????? (1) ? ? ? ? ? a ? ? b ? ? c ? ?? (2) sin ? b, c ?? ? ? sin ? c, a ?? ? ? sin ? a, b ?? ? ? 0 a b c S ?BPC ?

本溪县高级中学数学竞赛辅导学案 12:竞赛中的平面向量和向量方法
? ? ? ?? ?? ? ?? ?? a ?? ? b ?? c 若设 e1 ? ? , e2 ? ? , e3 ? ? , 即 e1 , e2 , e3 为平面内不共线的三个单位向量. a b c ?? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ? e1 ? sin ? e3 , e1 ?? e2 ? sin ? e1 , e2 ?? e3 ? 0 (2)化为 sin ? e2 , e3 ?? ?? (3)
注: (3)式亦可用构造首尾相接的三个向量来证明. 推论2:设 P 点在 ? ABC 的内部,若 ?1 PA ? ?2 PB ? ?3 PC ? 0(?i ? 0, i ? 1, 2,3) ,若 (1) ?1 : ?2 : ?3 ? 1:1:1 ,则 P 为 ? ABC 的重心,反之也成立; (2) ?1 : ?2 : ?3 ? sin ?BPC : sin ?CPA : sin ?APB ,则 P 为 ? ABC 的外心,反之也成立; (3) ?1 : ?2 : ?3 ? BC : CA : AB ,则 P 为 ? ABC 的内心,反之也成立; (4) ?1 : ?2 : ?3 ? tan A : tan B : tan C ,则 P 为 ? ABC 的垂心,反之也成立. 注 : 由 平 面 向 量 基 本 定 理 知 , 对 于 给 定 的 ? ABC 内 部 的 任 意 一 点 P , 例 4.(2007 年全国高中联赛)在 ? AEF 中, B 是 EF 的中点, AB ? EF ? 1 , BC ? 6 ,CA ? 33 , 若 AB?AE ? AC ?AF ? 2 ,则 EF 与 BC 的夹角的余弦值等于 §2代数中的运用 例 5. ( 2005 年 全国高中联 赛)使关 于 x 的不等式 是 .

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?



x ? 3 ? 6 ? x ? k 有 解的实数 k 的 最大值

??? ?

??? ?

??? ?

?

例 6.(2009 年全国高中联赛)求函数 y ?

x ? 27 ? 13 ? x ? x 的最大和最小值.

?1 PA ? ?2 PB ? ?3 PC ? 0(?i ? 0, i ? 1, 2,3) 中的 ?1 : ?2 : ?3 的比值是唯一的,而推论2即是给出了三
角形内的特殊点相应的唯一比值.

??? ?

??? ?

??? ?

?

例 7.(2005 年全国高中联赛)过抛物线 y ? x 上的一点 A(1,1) 作抛物线的切线,分别交 x 轴于 D ,
2

交 y 轴于 B ,点 C 在抛物线上,点 E 在线段 AC 上,满足

BD 的取 例 2.(2005 年全国高中联赛)空间四点,满足 AB ? 3, BC ? 7, CD ? 11, DA ? 9 ,则 AC ?
值( ) A.只有一个 B.有二个 C.有四个 D.有无穷多个

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

AE ? ?1 ;点 F 在线段 BC 上,满足 EC

BF ? ?2 ,且 ?1 ? ?2 ? 1 ,线段 CD 与 EF 交于点 P .当点 C 在抛物线上移动时,求点 P 的轨迹方 FC
程.

y
例 3.(2006 年全国高中联赛)已知 ? ABC ,若对任意 t ? R , BA ? t BC ? AC ,则 ? ABC 的形状 是( ) A.必为锐角三角形 C.必为直角三角形 B.必为钝角三角形 D.不确定

??? ?

??? ?

????

C

F

P

E A
OD

x

B
图 5


相关文章:
数学竞赛学案 第12章 学案66
数学竞赛学案12章 学案66_数学_初中教育_教育专区。第 12 章 算法初步、复数 学案 66 算法与流程图导学目标: 1.了解算法的含义,了解算法的思想.2.理解三种...
竞赛学案10
? ___ 本溪县高级中学数学竞赛辅导学案 10:三角函数(二) 【2、自主招生习题】 1、(2011“华约”9) 3、(2011“卓越”12)12.在 ?ABC 中, AB ? 2 AC, ...
竞赛学案13
x ? 2ax ? (1 ? 2a) x , x 本溪县高级中学数学竞赛辅导学案 13:用洛必达定理来解决高考压轴题 规律总结:对恒成立问题中的求参数取值范围,参数与变量分离...
竞赛学案2
本溪县高级中学数学竞赛辅导学案 2:集合的划分与覆盖 学案 2:集合的划分与覆盖...有 12 人语文得满分,并且有 4 人语、数都是满分,那么这 个班至少有一门得...
竞赛学案11
本溪县高级中学数学竞赛辅导学案 11:平面向量 学案 11:平面向量一、基础知识 ...·|b|,化简即为柯西不等式:( x1 ? x2 ? ? ? xn )( y12 ? y2 ? ...
数学竞赛学案 第13章 学案72
数学竞赛学案 第13章 学案72_数学_初中教育_教育专区。学案 72 矩阵与变换 (...?0 1? 10.(12 分)设 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2 倍,纵...
竞赛学案9
竞赛学案2 竞赛学案3 竞赛学案4 竞赛学案5 竞赛学案6 竞赛学案7 竞赛学案8 竞赛学案10 竞赛学案11 竞赛学案12 竞赛学案13 竞赛学案141...
竞赛学案8
本溪县高级中学数学竞赛辅导学案 8:数列求和的方法 学案 8:数列求和的方法 1....12 的和。 7.倒序相加法: 8.其它求和法:如归纳猜想法,奇偶法等 例 3、...
《知识竞赛2》学案及答案
《知识竞赛2》学案及答案_高二语文_语文_高中教育_教育专区。2013——2014 高二...《世说新语》 12、我国最早的神话小说是: ( 13、下列哪位唐朝诗人是边塞诗...
竞赛学案6
本溪县高级中学数学竞赛辅导学案 6:函数的图像与变换 学案 6:函数的图像与变换基础知识 1、 平移变换: 例 2、已知函数 f1 ( x) ? 1 ? x , f 2 ( x)...
更多相关标签:
amc12数学竞赛试题 | amc12数学竞赛难吗 | 法律知识竞赛题库12.4 | 12.9运动知识竞赛 | 广东省第12届天文竞赛 | 12.9知识竞赛策划书 | 12.9廉洁知识竞赛 | 英语竞赛12月18日 |