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3.2.1-3.2.2 两角和与差的正弦、余弦函数


必修四 第三章

编写 蒋兴安

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课题 :§3.2.1-3.2.2

两角和与差的正弦、余弦函数

学习目标: 1、 通过探索、猜想、发现并推导“两角和与差的正、余弦公式” , 理解其推导过程; 2、 会运用两角和与差的正、余弦公式进行简单的求值、化简、证明. 学习重点:探索两角和与差的正、余弦公式,理解其推导过程. 学习难点:会运用两角和与差的正、余弦公式进行简单的求值、化简、证明.

【自主学习】预习教材第 118~120 页,完成下列问题.
1.两角和与差的余弦公式 Cα-β:cos(α-β)= . Cα+β:cos(α+β)= . 2.两角和与差的正弦公式 Sα+β:sin(α+β)= . Sα-β:sin(α-β)= . 3.两角互余或互补 (1)若 α+β= ,其 α、β 为任意角,我们就称 α、β 互余. π 例如: -α 与 4 (2)若 α+β= π 例如: +α 与 4 π 互余, +α 与 6 互余.

,其 α,β 为任意角,我们就称 α、β 互补. 互补, 2 与 π-α 互补. 3

【预习自测】首先完成课本第 120 页练习第 1、2、3、4、5 题,再完成下面的问题.
求值或化简: π ? ?π ? (1)cos ? ?3+α?+sin?6+α?; (2)sin 80° · cos 35° -sin 10° · cos 55° ;

【合作探究】
1.给角求值 探究 1 化简下列各式: (1)sin 14° cos 16° +sin 76° cos 74° ; π π (2)sin - 3cos . 12 12

2.给值(式 )求值 3π ? π 12 π 3 ,π ,sin(α+β)=- ,sin?β- ?= ,求 sin?α+ ?的值; (1)已知 α,β∈? ?4 ? ? 4? 13 ? 4? 5 π 4 3 π ? (2)已知 sin? ?α+3?+sin α=- 5 ,-2<α<0,求 cos α 的值. 探究 2

3.利用辅助角公式 asin x+bcos x= a2+b2 sin(x+θ)(a,b 不同时为零)研究三角函数的性质 探究 3 已知 a=( 3,-1),b=(sin x,cos x),x∈R,f(x)=a· b. (1)求 f(x)的表达式;(2)求函数 f(x)的周期、值域、单调区间.

应用 (1)函数 f(x)=sin x+cos x 的最小正周期是______; (2)函数 f(x)=sin x-cos x 的最小值是_______. 辅助角公式化简的步骤及应用 ? a sin x+ b cos x?. (1)“提”常数提取 a2+b2,使 asin x+bcos x 变成 a2+b2? 2 ? a2+b2 ? a +b2 ? a b (2)“定”θ 值 令 c os θ= 2 ,sin θ= 2 2确定辅助角 θ 的值. a +b2 a +b

【基础检测】
1.对等式 sin(α+β)=sin α+sin β 的认识正确的是( ). A.对任意的角 α,β 都成立 B.只对 α,β 取几个特殊值时成立 C.对于任何角 α,β 都不成立 D.有无限个 α,β 的值使等式成立 2.计算 sin 59° · cos 29° -cos 59° sin 29° 的结果等于( ). 3 3 1 2 A. B. C. D. 3 2 2 2 3.在△ABC 中,已知 sin(A-B)cos B+cos(A-B)sin B≥1,则△ABC 是( ). A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰非直角三角形 4.要使 sin α- 3cos α=4m-6 有意义,则 m 的范围是__________. cos2x-sin2x 4 5.已知函数 f(x)= .(1)求函数 f(x)的定义域;(2)若 f(x)= ,求 sin x· cos x 的值. π? 3 ? x + sin? 4?


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