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高中数学必修4(人教A版)第三章三角恒等变换3.1知识点总结含同步练习及答案


高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

一、学习任务 1.
了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程;能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦、两角和与差的正弦、 两角和与差的正切公式,体会化归思想的应用;掌握上述两角和与差的三角函数公式,能运用它们进行简

单的三角函数式 的化简、求值及恒等式证明.

2.

能从两角和公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,体会化归思想的应用,掌握二倍角公式(正弦、余弦、正切), 能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.

二、知识清单
和差角公式 倍(半)角公式

三、知识讲解
1.和差角公式 描述: 两角差的余弦公式 对于任意角α,β 有cos(α ? β) = cos α cos β + sin α sin β,称为差角的余弦公式,简记C(α?β) . 两角和的余弦公式 对于任意角α,β 有cos(α + β) = cos α cos β ? sin α sin β,称为和角的余弦公式,简记C(α+β) . 两角和的正弦公式 对于任意角α,β 有sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β,称为和角的正弦公式,简记S (α+β) . 两角差的正弦公式 对于任意角α,β 有sin(α ? β) = sin α cos β ? cos α sin β,称为差角的正弦公式,简记S (α?β) . 两角和的正切公式 对于任意角α,β 有tan(α + β) = 两角差的正切公式 对于任意角α,β 有tan(α ? β) =

tan α + tan β ,称为和角的正切公式,简记T(α+β) . 1 ? tan α tan β tan α ? tan β ,称为差角的正切公式,简记T(α?β) . 1 + tan α tan β

为了方便起见,我们把S (α+β) ,C(α+β) ,T(α+β) 这三个公式都叫做和角公式.类似地,S (α?β) , C(α?β) ,T(α?β) 这三个公式都叫做差角公式. 例题: (1)已知 cos α = ? 4 (α 为第一象限角),求 cos( π + α) 的值;

5 6 π π 3 ,且 cos(α + ) = ,求 α; 2 3 5 (3)求 cos 263 ? cos 203 ? + sin 83? sin 23? 的值. 4
(2)已知 0 < α <

4 ,且 α 为第一象限的角,所以 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 4 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 sin α = √1 ? cos α = √1 ? ( ) = .所以, 5 5
解:(1)因为 cos α =

cos(

π π π 5π π 3 ,所以 .又因为 cos(α + ) = ,所以 < α+ < 2 3 3 6 3 5 π 4 sin(α + ) = .所以 3 5
(2)因为 0 <

π π α + α) = cos cos α ? sin sin α 6 6 6 4 1 3 √3 = × ? × 2 5 2 5 4√3 ? 3 = . 10

cos α = cos[(α +

π π )? ] 3 3 π π π π = cos(α + ) cos + sin(α + ) sin 3 3 3 3 3 1 4 √3 = × + × 5 2 5 2 3 + 4√3 = . 10

(3) 原式 = cos(180 ? + 83? ) cos(180 ? + 23? ) + sin 83? sin 23?

3 π π (α 为第一象限的角),求 sin( + α),sin( ? α) 的值; 5 3 3 (2)求 sin 155 ? cos 35? ? cos 25? cos 235 ? 的值. 3 解:(1)因为 sin α = ,且 α 为第一象限的角,所以 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 4 3 ? ? ? ? ? ? ? ? cos α = √1 ? cos2 α = √1 ? ( ) = .所以 5 5
(1)已知 sin α =

= (? cos 83? )(? cos 23? ) + sin 83? sin 23? = cos(83? ? 23? ) 1 = cos 60? = . 2

sin(

π π π + α) = sin cos α + cos sin α 3 3 3 4 1 3 √3 = × + × 2 5 2 5 4√3 + 3 = 10 π π π ? α) = sin cos α ? cos cos α 3 3 3 4 1 3 √3 = × ? × 2 5 2 5 3 ? 4√3 = 10

sin(

(2) 原式 = sin(180 ? ? 25? ) ? cos 35? ? cos 25? cos(270 ? ? 35? )

= sin 25? cos 35? + cos 25? sin 35? = sin 60? √3 = . 2

求下列各式的值: (1)

√3 ? tan 15? ; 1 ? √3 tan 165 ? (2)tan 55? + tan 65? ? √3 tan 55? tan 65? ;
解:(1) 原式 =

tan 60? ? tan 15? 1 + tan 60? ? tan 15? = tan(60? ? 15? ) = tan 45? = 1.

(2)根据tan α + tan β = tan(α + β)(1 ? tan α tan β) ,则有 原式 = tan 120 ? (1 ? tan 55? tan 65? ) ? √3 tan 55? tan 65?

= ?√3 (1 ? tan 55? tan 65? ) ? √3 tan 65? tan 55? = ?√3 .

2.倍(半)角公式 描述: 二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α = 2 sin α cos α,简称S 2α .

cos 2α = cos2 α ? sin 2 α = 1 ? 2 sin 2 α = 2 cos2 α ? 1,简称C2α . 2 tan α ,简称T2α . tan 2α = 1 ? tan2 α
半角的正弦、余弦、正切公式

α 1 ? cos α = 2 2 α 1 + cos α = cos2 2 2 α 1 ? cos α = tan2 2 1 + cos α α sin α 1 ? cos α tan = = 2 1 + cos α sin α sin 2 12 3 例题: 已知 ,α ∈ (π, π) ,求sin 2α ,cos 2α,tan 2α的值. cos α = ? 13 2 12 3 解:因为cos α = ? ,α ∈ (π, π) .所以 13 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 12 2 ? ? ? ? ? ? ? ? . sin α = ?√1 ? cos2 α = ?√1 ? (? ) =? 13 13 5 12 120

13 13 5 12 120 所以sin 2α = 2 sin α cos α = 2 × (? ; ) × (? )= 13 13 169 12 2 119 ; cos 2α = 2 cos2 α ? 1 = 2 × (? ) ?1 = 13 169 sin 2α 120 . tan 2α = = cos 2α 119 sin 6 ? sin 42? sin 66? sin 78? =______. 1 解: 16
原式 = sin 6 ? cos 12? cos 24? cos 48?



= = = = =

sin 6 ? cos 6 ? cos 12? cos 24? cos 48? cos 6 ? 1 sin 12? cos 12? cos 24? cos 48? 2
1 4 1 8

cos 6 ? sin 24? cos 24? cos 48? cos 6 ? sin 48 cos 48?
?

1 16

cos 6 ? sin 96? = cos 6 ?

1 16

cos 6

cos 6 ?
?

=

1 . 16

π )= 4 π 解:因为 ≤ α < 2 π 因为cos(α + ) = 4
已知cos(α +

3 π 3π π , ≤α< ,求cos(2α + )的值. 5 2 2 4 3π 3π π 7π ,所以 . ≤ α+ < 2 4 4 4 3 3π π 7π ,所以 > 0,所以 < α+ < 5 2 4 4 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? π 4 π? 3 sin(α + ) = ?√1 ? cos2 (α + ) = ?√1 ? ( )2 = ? . 4 5 4 5

所以

cos 2α = sin(2α +

π ) 2 π π = 2 sin(α + ) cos(α + ) 4 4 4 3 = 2 × (? ) × 5 5 24 =? , 25

又sin 2α = ? cos(2α +

π π 3 7 .所以 ) = 1 ? 2 cos2 (α + ) = 1 ? 2 × ( )2 = 2 4 5 25 cos(2α + π √2 √2 )= cos 2α ? sin 2α 4 2 2 24 7 √2 = × (? ? ) 2 25 25 31√2 =? . 50

四、课后作业

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1. 下列命题中的假命题是 (

)

A.存在实数 α 和 β ,使 cos (α + β) = cos α cos β + sin α sin β C.对任意 α 和 β ,使 cos (α + β) = cos α cos β ? sin α sin β
答案: B

B.不存在无穷多个 α 和 β ,使 cos (α + β) = cos α cos β + sin α sin β D.不存在这样的 α 和 β ,使 cos (α + β) ≠ cos α cos β ? sin α sin β

2. 已知 sin α = A.?
解析:

√5 3

2 ,则 cos (π ? 2α) = ( 3 1 B.? 9

)
C.

1 9

D.

√5 3

答案: B

因为 sin α =

2 1 ,所以 cos (π ? 2α) = ? cos 2α = ? (1 ? 2sin 2 α) = ? . 3 9 )
B.?

3. 化简 A.

sin 2 35? ? sin 20?

1 2 = (

答案: B

1 2

1 2

C.?1

D.1

4. 如图,正方形 ABCD 的边长为 1 ,延长 BA 至 E,使 AE = 1 ,连接 EC , ED,则 sin ∠CED =

(

)

A.

? 3√? 10 10

B.

? √? 10 10

C.

√5 10

D.

√5 15

答案: B

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