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数学必修一 第二章 基本初等函数(Ⅰ)教案


第二章

基本初等函数(Ⅰ)

一、课标要求: 教材把指数函数, 对数函数, 幂函数当作三种重要的函数模型来学习, 强调通过实例和图象的直观, 揭示这三种函数模型增长的差异及其关系, 体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法, 学会运用 具体函数模型解决一些实际问题. 1. 了解指数函数模型的实际背景. 2. 理解有理数指数幂的意义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 3. 理解指数函数的概念和意义,掌握 f(x)=ax 的符号、意义,能借助计算器或计算机画出具体指 数函数的图象,探索并理解指数函数的有关性质(单调性、值域、特别点). 4. 通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型. 5. 理解对数的概念及其运算性质, 了解对数换底公式及其简单应用, 能将一般对数转化为常用对 数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用. 6. 通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握 f(x)=logax 符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型,能借助计算器或计算机画出具体对数函 数的图象,探索并了解对数函数的有关性质(单调性、值域、特殊点). 7. 知道指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数(a>0, a≠1) ,初步了解反函数的概念和 f-1 (x)的意义.
1

8. 通过实例,了解幂函数的概念,结合五种具体函数 y ? x , y ? x , y ? x , y ? x 2 的图象,了解
3

?1

它们的变化情况 . 二、编写意图与教学建议: 1. 教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想 素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望. 教学中要充分发挥课本的这些材料的作用, 并尽可能联系一些 熟悉的事例,以丰富教学的情景创设. 2. 在学习对数函数的图象和性质时, 教材将它与指数函数的有关内容做了比较, 让学生体会两种 函数模型的增长区别与关联,渗透了类比思想. 建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用. 3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念,目的在于强化指数函数与对数函数这两种函 数模型的学习,教学中不宜对其定义做更多的拓展 . 4. 教材对幂函数的内容做了削减, 仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数, 并且安排的顺序向后 调整,教学中应防止增加这部分内容,以免增加学生学习的负担. 5. 通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用, 教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能 .(条件有限). 6. 教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读. 三、教学内容与课时安排的建议 本章教学时间约为 20 课时. 2.1 指数函数: 8 课时 2.2 对数函数: 8 课时 2.3 幂函数: 2 课时 小结: 2 课时

1

§2.1.1

指数

一.教学目标: 1.知识与技能: (1)理解分数指数幂和根式的概念; (2)掌握分数指数幂和根式之间的互化; (3)掌握分数指数幂的运算性质; (4)培养学生观察分析、抽象等的能力. 2.过程与方法: 通过与初中所学的知识进行类比,分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质. 3.情态与价值 (1)培养学生观察分析,抽象的能力,渗透“转化”的数学思想; (2)通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯; (3)让学生体验数学的简洁美和统一美. 二.重点、难点 1.教学重点: (1)分数指数幂和根式概念的理解; (2)掌握并运用分数指数幂的运算性质; 2.教学难点:分数指数幂及根式概念的理解 三.学法:讲授法、讨论法、类比分析法及发现法 四、教学过程:

第一课时
一、复习提问: 什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢? 归纳:在初中的时候我们已经知道:若 x ? a ,则 x 叫做 a 的平方根.同理,若 x ? a ,则 x 叫做
2 3

a 的立方根. 根据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如 4 的平方根为 ? 2 ,负 数没有平方根,一个数的立方根只有一个,如―8 的立方根为―2;零的平方根、立方根均为零. 二、新课讲解 类比平方根、立方根的概念,归纳出 n 次方根的概念. n 次方根:一般地,若 x ? a ,则 x 叫做 a 的 n 次方根(throot) ,其中 n >1,且 n∈N ,当 n 为
n


偶数时,a 的 n 次方根中,正数用 n a 表示,如果是负数,用 ? n a 表示, n a 叫做根式.n 为奇数时,a 的 n 次方根用符号 n a 表示,其中 n 称为根指数,a 为被开方数. 类比平方根、立方根,猜想:当 n 为偶数时,一个数的 n 次方根有多少个?当 n 为奇数时呢?
? n 为 奇 数 , a的 n 次 方 根 有 一 个 , 为 n a ? a为 正 数 : ? n ? n 为 偶 数 , a的 n 次 方 根 有 两 个 , 为 ? a ?

? n 为 奇 数 , a的 n 次 方 根 只 有 一 个 , 为 n a ? a为 负 数 : ? ? n 为 偶 数 , a的 n 次 方 根 不 存 在 . ?

零的 n 次方根为零,记为 n 0 ? 0 举例:16 的次方根为 ? 2 , ? 2 7的 5 次 方 根 为 5 ? 2 7 等等,而 ? 27 的 4 次方根不存在.
2

小结:一个数到底有没有 n 次方根,我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数,还要分清 n 为奇数和偶数两种情况. 根据 n 次方根的意义,可得:
(n a) (n a)
n n n

? a ? a 肯定成立, a 表示 a 的 n 次方根,等式
n n

n

n

n

a

n

? a 一定成立吗?如果不一定成立,那

么 a 等于什么? 让学生注意讨论,n 为奇偶数和 a 的符号,充分让学生分组讨论. 通过探究得到:n 为奇数, a ? a
n n

n 为偶数,

n

a

n

?a, a ? 0 ? | a |? ? ??a, a ? 0
4

如 3 ( ? 3) ?
3

3

? 2 7 ? ? 3,
n

4

( ? 8) ? | ? 8 |? 8
n

小结:当 n 为偶数时, a 化简得到结果先取绝对值,再在绝对值算具体的值,这样就避免出现 错误: 例题:求下列各式的值 (1) (1)
3

( ? 8)

3

(2)
n

(?10)
n

2

(3)

4

(? ? 3

4

)

(4)

a( ? b

2

)

分析:当 n 为偶数时,应先写 a ? | a | ,然后再去绝对值. 思考: a ? ( n a ) 是否成立,举例说明.
n n
n

课堂练习:1. 求出下列各式的值
(1)
7

(?2)

7

(2)

3

(3 a ? 3) ( a ? 1)
3

(3)

4

(3 a ? 3)

4

2.若 a ? 2 a ? 1 ? a ? 1, 求 a的 取 值 范 围 .
2

3.计算 3 ( ? 8) ?
3

4

(3 ? 2 ) ?
4

3

(2 ?

3)

3

三.归纳小结: 1.根式的概念:若 n>1 且 n ? N ,则 x 是 a的 n 次 方 根 , n 为 奇 数 时 , x = n a ,
*

n n 为偶数时, x ? ? a ;

2.掌握两个公式: n 为 奇 数 时 , ( n a ) , n 为 偶 数 时 , a ? | a |? ?
n n n

?a

(a ? 0)

?? a (a ? 0)

3.作业:P59 习题 2.1

A组 第1题

3

第二课时
提问: 1.初中时的整数指数幂,运算性质?
a ? a ? a ? a ??? a, a ? 1
n 0

( a ? 0)

,0 无意义

0

a

?n

?
n

1 a
n

(a ? 0)
m?n

a ?a ? a
m

;

(a ) ? a
m n

mn

(a )

n

m

?a

mn

,

(ab) ? a b
n n

n

什么叫实数? 有理数,无理数统称实数. 2.观察以下式子,并总结出规律: a >0
10 8

① ③

5

a a

10

? ?

5

(a ) ? a ? a
2 5 2

5

② ④ a
5

a ?
8 10

(a ) ? a ? a 2
4 2 4 10
5

12 4 12 4

(a ) ? a ? a
3 4 3

4

?

(a ) ? a ? a
2 5 2

5

小结:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式, (分数指 数幂形式). 根式的被开方数不能被根指数整除时,根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如:
2 3

a

2

? a 3 ? (a ? 0)
1

b ? b 2 ? (b ? 0 )
5 4

c ? c 4 ? (c ? 0 )
5 m n m

即: a

? a n ( a ? 0, n ? N , n ? 1)
*

为此,我们规定正数的分数指数幂的意义为:
m

a

n

?

n

a ( a ? 0, m , n ? N )
m *

正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同. 即: a
? m n

?

1
m

( a ? 0, m , n ? N )
*

a

n

规定:0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义. 说明:规定好分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互换的,分数指数幂只是根式的一种新的写
n 1 1 1

法,而不是 a

m

? a

m

?a

m

? ? ? a (a ? 0)
m

由于整数指数幂, 分数指数幂都有意义, 因此, 有理数指数幂是有意义的, 整数指数幂的运算性质, 可以推广到有理数指数幂,即: (1) a ? a ? a
r s r S r?s

( a ? 0, r , s ? Q )

(2) ( a ) ? a ( a ? 0, r , s ? Q )
rs

4

(3) ( a ? b ) ? a b ( Q ? 0, b ? 0, r ? Q )
r r r

若 a >0,P 是一个无理数,则 P 该如何理解?为了解决这个问题,引导学生先阅读课本 P62——P62. 即: 2 的不足近似值,从由小于 2 的方向逼近 2 , 2 的过剩近似值从大于 2 的方向逼近
2 .

所以,当 2 不足近似值从小于 2 的方向逼近时, 5 当 2 的过剩似值从大于 2 的方向逼近 2 时,5 图所示) 所以, 5
2 2

2

的近似值从小于 5
2

2

的方向逼近 5
2

2

.

的近似值从大于 5

的方向逼近 5

,(如课本

是一个确定的实数.
p

一般来说,无理数指数幂 a ( a ? 0, p 是 一 个 无 理 数 ) 是一个确定的实数,有理数指数幂的性质同 样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义,是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以 确定大小. 思考: 2
3

的含义是什么?

由以上分析,可知道,有理数指数幂,无理数指数幂有意义,且它们运算性质相同,实数指数幂有 意义,也有相同的运算性质,即:
a ?a ? a
r s r s r?s

( a ? 0, r ? R , s ? R )

( a ) ? a ( a ? 0, r ? R , s ? R )
rs

( a ? b ) ? a b ( a ? 0, r ? R )
r r r

3.例题 (1)(P51,例 2)求值 .
2 3 3 2 3

解:① 8 ? ( 2 ) ? 2 ② 25
1
? 1 2

3?

2 3

? 2 ? 4
2
2? ( ? 1 2 )

? (5 )
2

?

1 2

?5

?5

?1

?

1 5

③ ( )
2

?5

? (2 )

?1

?5

? 2
3

? 1? ( ? 5 )

? 32

④(

16 81

?

3 4

)

2 4? ( ? 4 ) 2 ?3 27 ?( ) ?( ) ? 3 3 8

(2)(P52,例 3)用分数指数幂的形式表或下列各式( a >0) .
1

解: a . a ? a ? a ? a
3 3 2 2

3?

1 2

7

? a2
2 8

a ?
2

3

a ? a ? 3 a
2 2

? a3

2?

? 3 a

5

1 a
3

4

41

2 3

a ?

a ?a3 ?

a

3

? (a 3 2 ? a )

分析:先把根式化为分数指数幂,再由运算性质来运算. 课堂练习:P54 练习 第 1,2,3,4 题 补充练习:
(2
n ?1

1. 计算:

1 2 n ?1 2 ) ?( ) 2 的结果 n ?2 4 8
a1 0 a3
1

2. 若 a 3 ? 3,

a 1 0 ? 3 8 4, 求 a 3 ? [(

)7 ]

n?3

的值

小结: 1.分数指数是根式的另一种写法. 2.无理数指数幂表示一个确定的实数. 3.掌握好分数指数幂的运算性质,其与整数指数幂的运算性质是一致的. 作业:P59 习题 2.1 第 2 题

第三课时
一.教学目标 1.知识与技能: (1)掌握根式与分数指数幂互化; (2)能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简,求值. 2.过程与方法: 通过训练点评,让学生更能熟练指数幂运算性质. 3.情感、态度、价值观 (1)培养学生观察、分析问题的能力; (2)培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力. 二.重点、难点: 1.重点:运用有理指数幂性质进行化简,求值. 2.难点:有理指数幂性质的灵活应用. 三.学法:讲授法、讨论法. 四.教学过程: 1.复习分数指数幂的概念与其性质 2.例题讲解 例 1. 52,例 4)计算下列各式(式中字母都是正数) (P
2 1 1 1 1 5

(1) ( 2 a 3 b 2 )( ? 6 a 2 b 3 ) ? ( ? 3 a 6 b 6 )
1

(2) ( m n
4

?

3 8

)

8

(先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析、提问、解答) 分析:四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号的. 整数幂的运算 性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序. 我们看到(1)小题是单项式的乘除运算; (2)小题是乘方形式的运算,它们应让如何计算呢? 其实,第(1)小题是单项式的乘除法,可以用单项式的运算顺序进行. 第(2)小题是乘方运算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方进行计算.
6

2

解: (1)原式= [ 2 ? ( ? 6 ) ? ( ? 3)]a
1

?

1 2

?

1 6

1

3

b

2

1 5 ? ? 3 6

= 4 ab

0

=4 a

(2)原式= ( m 4 ) ( n

8

?

3 8

) =m n

8

2

?3

例 2. 52 例 5)计算下列各式 (P (1) ( 3 25 ? 125 ) ?
a
2
4

25

(2)

( a >0)
3 2

a. a

分析:在第(1)小题中,只含有根式,且不是同类根式,比较难计算,但把根式先化为分数指数 幂再计算,这样就简便多了,同样,第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算.
1 1 1
2 3 1

2

解: (1)原式= ( 2 5 3 ? 1 2 5 2 ) ? 2 5 4 = (5 3 ? 5 2 ) ? 5 2 = 5 3
1

?

1 2

3

? 52

?

1 2

= 56 ? 5 = (2)原式=
a
1 2 2

6

5 ?5
5

? a

2?

1 2

?

2 3

? a6 ?

6

a

5

a2 ?a3

小结:运算的结果不强求统一用哪一种形式表示,但不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分 母,又含有负指数. 课堂练习: 化简: (1) ( 9 )
? 2 3 3 2 9

( 10 ) 2 ?

5

100

2

(2) 3 ? 2 2 ? (3)
a a

3?2 2

a

a

归纳小结: 1. 熟练掌握有理指数幂的运算法则,化简的基础. 2.含有根式的式子化简,一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算. 作业:P59 习题 2.1 A组 第4题 B组 第2题

2.1.2 指数函数及其性质
一. 教学目标: 1.知识与技能 ①通过实际问题了解指数函数的实际背景; ②理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质. ③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想; 2.情感、态度、价值观 ①让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.
7

②培养学生观察问题,分析问题的能力. 3.过程与方法 展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质. 二.重、难点 重点:指数函数的概念和性质及其应用. 难点:指数函数性质的归纳,概括及其应用. 三、学法:观察法、讲授法及讨论法.

第一课时
一.教学过程: 1. 情境设置 ①在本章的开头,问题(1)中时间 x 与 GDP 值中的 y ? 1.073 ( x ? x ? 20) 与 问 题 (2)
x

中 时 间 t和 C-14含 量 P的 对 应 关 系 P=[(

1 2

1

)

5

30

] ,请问这两个函数有什么共同特征.

t

②这两个函数有什么共同特征
把 P=[( 1 2
t

)

5730

]变 成 P ? [( ) 2
x

1

1 5730

] ,从而得出这两个关系式中的底数是一个正数,自变量为指数,即

t

都可以用 y ? a ( a >0 且 a ≠1 来表示). 二.讲授新课 指数函数的定义 一般地,函数 y ? a ( a >0 且 a ≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R.
x

提问:在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么? (1) y ? 2 (4) y ? ? (7) y ? x
x?2

(2) y ? ( ? 2 ) (5) y ? x
2

x

(3) y ? ? 2 (6) y ? 4 x
x

x

x

2

x

(8) y ? ( a ? 1)

( a >1,且 a ? 2 )
x

小结:根据指数函数的定义来判断说明:因为 a >0, x 是任意一个实数时,a 是一个确定的实数, 所以函数的定义域为实数集 R.
? 当 x ? 0时 , a x 等 于 0 ? 若 a ? 0, ? x ? 当 x ? 0时 , a 无 意 义 ?

若 a <0,如 y ? ( ? 2 ) , 先 时 , 对 于 x =
x

1 6

,x ?

1 8

等 等 , 在实数范围内的函数值不存在.
x

若 a =1, y ? 1 ? 1, 是一个常量,没有研究的意义,只有满足 y ? a ( a ? 0, 且 a ? 1) 的形式才能称为指
x
1

数函数, a 为 常 数 ,象 y = 2 - 3 x ,y = 2 x ,

y? x ,y?3
x

x?5

x , y ? 3 ? 1等 等 ,不符合 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1) .的形式,所以不是

x

8

指数函数。 我们在学习函数的单调性的时候,主要是根据函数的图象,即用数形结合的方法来研究. 下面我们 通过 先来研究 a >1 的情况 画出函数 y ? 2 的图象
x

x
y ? 2
x

? 3.00
1 ?8

? 2.50

? 2.00
1 4

? 1.50

? 1.00
1 2

0 .0 0

0 .5 0

1 .0 0

1 .5 0

2 .0 0

1 y=2x

2

4

y

x
1 x y ?( ) 2

再研究,0< a <1 的情况,画出函数 y ? ( ) 的图象.
x

-

? 2.50 ? 2.00 ? 1.50 ? 1.00 0 .0 0 1 .0 0 1 .5 0
1 4 1 2

?1? y ?? ? ?2?

x

-

0 1 2

1

-

-

2

-

2 .0 0

x
2 .5 0

4

y

x

从图中我们看出 y ? 2 与 y ? ( ) 的 图 象 有 什 么 关 系 ?
x

0 1 2

-

9

-

-

x

x 通过图象看出 y ? 2 与 y ? ( ) 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 , 实质是 y ? 2 上的 点 ( - x, y )
x x

1

2 与 y =( 1 2 ) 上 点 ( - x, y ) 关 于 y 轴 对 称 .
x x

讨论: y ? 2 与 y ? ( ) 的图象关于 y 轴对称,所以这两个函数是偶函数,对吗?
x

1

2


?1? y ?? ? ?5?
x




8

y ?5

x

1 x 1 x x x y ?5 , y ?3 ,y ?( ) ,y ?( ) 3 5
8











.

6

?1? y ?? ? ?3?
-5

x
4

y ?3

x
6

4

2
2

y 0 a (0 ? a ? 1) ?
x
-1 0

5
-5

y ? a ( a ? 1)
x
-2

10
5 10

-2

-4
-4

-6

-6

0
-8
-8

问题:1:从画出的图象中,你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律. 从图上看 y ? a ( a >1)与 y ? a (0< a <1)两函数图象的特征.
x x

问题 2:根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. 问题 3:指数函数 y ? a ( a >0 且 a ≠1) ,当底数越大时,函数图象间有什么样的关系.
x

图象特征
a >1

函数性质 0< a <1
a >1

0< a <1 非奇非偶函数 函数的值域为 R+
a =1
0

向 x 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方 函数图象都过定点(0,1) 自左向右, 图象逐渐上升 在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 自左向右, 图象逐渐下降 在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1

函数的定义域为 R

增函数
x >0, a >1
x <0, a <1
x x

减函数
x >0, a <1
x <0, a >1
x x

5.利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在 [ a , b ]上 , f ( x )= a ( a >0 且 a ≠1)值域是 [ f ( a ), f ( b )]或 [ f ( b ), f ( a )]; (2)若 x ? 0, 则 f ( x ) ? 1; f ( x ) 取 遍 所 有 正 数 当 且 仅 当 x ? R; (3)对于指数函数 f ( x ) ? a ( a >0 且 a ≠1) ,总有 f (1) ? a ;
x x

(4)当 a >1 时,若 x1 < x 2 ,则 f ( x1 ) < f ( x 2 ) ;
10

例题: 例 1: 56 例 6)已知指数函数 f ( x ) ? a ( a >0 且 a ≠1)的图象过点(3,π ) (P ,求
x

f (0), f (1), f ( ? 3)的 值 .
1

分析:要求 f (0 ), f (1), f ( ? 3)的 值 ,只 需 求 出 a , 得 出 f ( x ) = ( ? 3 ) , 再把 0,1,3 分别代入 x ,即
x

可求得 f (0 ), f (1), f ( ? 3) . 提问:要求出指数函数,需要几个条件? 课堂练习:P58 练习:第 1,2,3 题 补充练习:1、函数 f ( x ) ? ( ) 的 定 义 域 和 值 域 分 别 是 多 少 ?
x

1

2

2、当 x ? [ ? 1,1]时 , 函 数 f ( x ) ? 3 ? 2 的 值 域 是 多 少 ?
x

解(1) x ? R , y ? 0

(2) (-

5 3

,1)

例 2:求下列函数的定义域:
4

(1) y ? 2

x?4

(2) y ? ( )
3

2

|x|

分析:因为 y ? a ( a ? 1, a ? 0 ) 的定义域是 R,所以,要使(1)(2)题的定义域,只要使其指数 ,
x

部分有意义就得 . 3.归纳小结 作业:P59 习题 2.1 A 组第 5、6 题 1、理解指数函数 y ? a ( a ? 0), 注 意 a ? 1与 0 ? a ? 1两 种 情 况 。
x

2、解题利用指数函数的图象,可有利于清晰地分析题目,培养数型结合与分类讨论的数学思想 .

第二课时
教学过程: 1、复习指数函数的图象和性质 2、例题 例 1: 57 例 7)比较下列各题中的个值的大小 (P (1)1.72.5 与 1.73 ( 2 ) 0 .8
? 0 .1

与 0 .8

? 0 .2

( 3 ) 1.70.3 与

0.93.1
x

解法 1:用数形结合的方法,如第(1)小题,画出 y ? 1 .7 的图象,在图象上找出横坐标分别为

8

6

4

y ? 1 .7
5 10

x

2

-10

-5

11 0

-2

-4

-6

-8

2.5, 3 的点,显然,图象上横坐标就为 3 的点在横坐标为 2.5 的点的上方,所以 解法 2:用计算器直接计算: 1 .7 所以, 1 .7
2 .5 2 .5

1.7 ?
2 . 5

1 . .7

3

? 3 .7 7

1.7?
3

4.91

? 1 .7

3

解法 3:由函数的单调性考虑 因为指数函数 y ? 1 .7 在 R 上是增函数,且 2.5<3,所以, 1 .7
x
2 .5

? 1 .7

3

仿照以上方法可以解决第(2)小题 . 注:在第(3)小题中,可以用解法 1,解法 2 解决,但解法 3 不适合 . 由于 1.70.3=0.93.1 不能直接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值间找到 1,把这两数 值分别与 1 比较大小,进而比较 1.70.3 与 0.93.1 的大小 . 思考: 1、已知 a ? 0.8
1 1

0.7

, b ? 0.8

0.9

, c ? 1.2

0.8

, 按大小顺序排列 a , b , c .

2. 比较 a 3 与 a 2 的 大 小 ( a >0 且 a ≠0). 指数函数不仅能比较与它有关的值的大小,在现实生活中,也有很多实际的应用. 例 2(P57 例 8)截止到 1999 年底,我们人口哟 13 亿,如果今后,能将人口年平均均增长率控制 在 1%,那么经过 20 年后,我国人口数最多为多少(精确到亿)? 分析:可以先考试一年一年增长的情况,再从中发现规律,最后解决问题: 1999 年底 人口约为 13 亿 经过 1 年 人口约为 13(1+1%)亿 经过 2 年 人口约为 13(1+1%) (1+1%)=13(1+1%)2 亿 经过 3 年 人口约为 13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3 亿 经过 x 年 人口约为 13(1+1%) x 亿 经过 20 年 人口约为 13(1+1%)20 亿 解:设今后人口年平均增长率为 1%,经过 x 年后,我国人口数为 y 亿,则
y ? 1 3(1 ? 1 % )
x

当 x =20 时, y ? 1 3(1 ? 1 % )

20

? 1 6 (亿 )

答:经过 20 年后,我国人口数最多为 16 亿. 小结:类似上面此题,设原值为 N,平均增长率为 P,则对于经过时间 x 后总量
y ? N ( 1 ? p ) 像 y ? N ( 1 p等 形 如 , ? )
x x

y?

k a ( K , a >0 且 a ≠1)的函数称为指数型函数 . ? R
x

思考:P58 探究: (1)如果人口年均增长率提高 1 个平分点,利用计算器分别计算 20 年后,33 年后的我国人口数 . (2)如果年平均增长率保持在 2%,利用计算器计算 2020~2100 年,每隔 5 年相应的人口数 . (3)你看到我国人口数的增长呈现什么趋势? (4)如何看待计划生育政策? 3.课堂练习 (1)下图是指数函数① y ? a
x

②y ?b

x

③y ? c

x

④ y ? d 的图象,判断 a , b , c , d 与 1 的
x

12

8

6

4

2

-10

-5

5

10

-2

-4

-6

大小关系; (2)设 y1 ? a ① y1 ? y 2
3 x ?1

, y2 ? a

?2 x

, 其中 a >0, a ≠1,确定 x 为何值时,有:

② y1 > y 2
3 4

(3)用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的

,写出存留污垢 y 与漂洗次数 x 的函数关系式,若

要使存留的污垢,不超过原有的 1%,则少要漂洗几次. 归纳小结:本节课研究了指数函数性质的应用,关键是要记住 a >1 或 0< a <时 y ? a 的图象,
x

在此基础上研究其性质 .本节课还涉及到指数型函数的应用,形如 y ? ka (a>0 且 a ≠1).
x

作业:P59A 组第 7 ,8 题

P60 B 组

第 1,4 题

对数
一.教学目标: 1.知识技能: ①理解对数的概念,了解对数与指数的关系; ②理解和掌握对数的性质; ③掌握对数式与指数式的关系 . 2. 过程与方法: 通过与指数式的比较,引出对数定义与性质 . 3.情感、态度、价值观 (1)学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力. (2)通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质 . (3)在学习过程中培养学生探究的意识. (4)让学生理解平均之间的内在联系,培养分析、解决问题的能力. 二.重点与难点: (1)重点:对数式与指数式的互化及对数的性质 (2)难点:推导对数性质 三.学法:讲授法、讨论法、类比分析与发现 四.教学过程: 1.提出问题

13

思考: 62 思考题) y ? 1 3 ? 1 .0 1 中,哪一年的人口数要达到 10 亿、20 亿、30 亿??,该如何 (P
x

解决?即:

18 13

? 1 .0 1 ,
x

20 13

? 1 .0 1 ,
x

30 13

? 1 .0 1 , 在个式子中, x 分别等于多少?象上面的式子,已知底
x

数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数(引出对数的概念). 1、对数的概念 一般地,若 a ? N ( a ? 0, 且 a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x ? lo g a N
x

a 叫做对数的底数,N 叫做真数.

举例:如: 4 ? 16, 则 2 ? log 4 16 ,读作 2 是以 4 为底,16 的对数.
2

1

4 2 ? 2 ,则

1 2

? lo g 4 2 ,读作

1 2

是以 4 为底 2 的对数.

提问:你们还能找到那些对数的例子 2、对数式与指数式的互化 在对数的概念中,要注意: (1)底数的限制 a >0,且 a ≠1 (2) a ? N ? lo g a N ? x
x

指数式 ? 对数式 幂底数← a →对数底数 指 数← x →对数 幂 ←N→真数 说明: 对数式 lo g a N 可看作一记号, 表示底为 a( a >0, a ≠1) 幂为 N 的指数表示方程 a ? N 且 ,
x

( a >0,且 a ≠1)的解. 也可以看作一种运算,即已知底为 a ( a >0,且 a ≠1)幂为 N,求幂指数 的运算. 因此,对数式 lo g a N 又可看幂运算的逆运算. 例题: 例 1(P63 例 1) 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式. (1)54=645 (4) lo g 1 1 6 ? ? 4
2

(2) 2

?6

?

1 64

(3) ( ) ? 5 .7 3
m

1

3

(5) lo g 1 0 0 .0 1 ? ? 2

(6) lo g e 1 0 ? 2 .3 0 3

注: 、 (5)(6)写法不规范,等到讲到常用对数和自然对数后,再向学生说明. (让学生自己完成,教师巡视指导) 巩固练习:P64 练习 1、2 3.对数的性质: 提问:因为 a >0, a ≠1 时, a ? N ? x ? log a
x N

则 由 a 0=1 2、 a 1= a ②负数和零有没有对数? ③根据对数的定义, a
lo g a N

如何转化为对数式

=?
14

(以上三题由学生先独立思考,再个别提问解答) 由以上的问题得到 ① ? a ? 1, a ? a
0 1

( a >0,且 a ≠1)

② ∵ a >0,且 a ≠1 对任意的力, lo g 1 0 N 常记为 lg N . 恒等式: a 4、两类对数 ① 以 10 为底的对数称为常用对数, lo g 1 0 N 常记为 lg N . ② 以无理数 e=2.71828?为底的对数称为自然对数, log e N 常记为 ln N .
l 0 以后解题时, 在没有指出对数的底的情况下, 都是指常用对数, 100 的对数等于 2, g 2 如 即1 ?
lo g a N

=N

.

说明:在例 1 中, lo g 1 0 0 .0 1应 改 为 l g 0 .0 1, lo g e 1 0 应 改 为 ln 1 0 . 例 2:求下列各式中 x 的值 (1) lo g 6 4 x ? ?
2 3

(2) lo g x 8 ? 6

(3) lg 1 0 0 ? x

(4) ? ln e ? x
2

分析:将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出 x. 解: (1) x ? (6 4 )
? 2 3

? (4 )
3

?

2 3

? 4

3 ?( ?

2 3

)

? 4

?2

?

1 16

1 6 6

1 3

1

1

(2) x ? 8, 所 以 ( x ) 6 ? (8) 6 ? ( 2 ) 6 ? 2 2 ? (3) 10 ? 100 ? 10 , 于 是 x ? 2
x 2

2

(4)由 ? ln e ? x , 得 ? x ? ln e , 即 e
2 2

-x

?e

2

所以 x ? ? 2 课堂练习:P64 练习 3、4 补充练习:1. 将下列指数式与对数式互化,有 x 的求出 x 的值 . (1) 5
? 1 2

?

1 5

(2) lo g

4 2

? x

(3) 3 ?
x

1 27

(4) ( ) ? 6 4
x

1

(5) lg 0 .0 0 0 1 ? x
+

(6) ln e ? x
5

4

2.求 a

lo g a b ? lo g b c ? lo g c N

的 值 ( a , b , c ? R , 且不等于 1,N>0).
lo g 3 1 5

3.计算 3

lo g 3

5

?

3

的值.

4.归纳小结:对数的定义
a ? N ? b ? lo g a
b N

( a >0 且 a ≠1)

15

1 的对数是零,负数和零没有对数 对数的性质
l o ag ? a
a
lo g a N

1 a >0 且 a ≠1

? N

作业:P74 P75

习题

2.2

A组 B组

1、2 1

对数(2)
一.教学目标: 1.知识与技能 ①通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数运算性质进行运算,求值、化简,并掌握化简 求值的技能. ②运用对数运算性质解决有关问题. ③培养学生分析、综合解决问题的能力. 2. 过程与方法 ①让学生经历并推理出对数的运算性质. ②让学生归纳整理本节所学的知识. 3. 情感、态度、和价值观 让学生感觉对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性. 二.教学重点、难点 重点:对数运算的性质与对数知识的应用 难点:正确使用对数的运算性质 三.学法:学生自主推理、讨论和概括,从而更好地完成本节课的教学目标. 四.教学过程 1.设置情境 复习:对数的定义及对数恒等式
lo g a N ? b ? a ? N
b

( a >0,且 a ≠1,N>0) ,

指数的运算性质.
a ?a ? a
m n m?n

;
m

a

m

?a ? a
n

m?n

n

(a ) ? a
m n

mn

;

a

n

? am

2.讲授新课 探究:在上课中,我们知道,对数式可看作指数运算的逆运算,你能从指数与对数的关系以及指 数运算性质,得出相应的对数运算性质吗?如我们知道 a ? a ? a
m n m?n

,那 m ? n 如何表示,能用对数式

运算吗? 如: a ? a ? a
m n m?n

,

设M ? a , N ? a 。 于是 M N ? a
m n
n

m?n

, 由对数的定义得到

M ?a

m

? m ? lo g a M , N ? a ? n ? lo g a N

16

MN ? a

m?n

? m ? n ? log a M N

即:同底对数相加,底数不变,真数相乘 提问:你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗? (让学生探究,讨论) 如果 a >0 且 a ≠1,M>0,N>0,那么: (1) lo g a M N ? lo g a M ? lo g a N (2) lo g a
M N
n

? lo g a M ? lo g a N
? n lo g a M (n ? R )

(3) lo g a M 证明:

(1)令 M ? a , N ? a
m

n

则:

M N

? a

m

?a ? a
n

m?n

?m?n?log a

M N
n

又由 M ? a ,
m

N ?a

? m ? log a M , n ? log a N

即: lo g a M ? lo g a N ? m ? n ? lo g a
n

M N
N n

(3) n ? 0时 , 令 N ? lo g a M , 则 M ? a
b

b ? nl o g M 则 , a
N b

M?

n

a

?a

n

? an

?N ?b

即 lo g a

M N

? lo g a M ? lo g a N

当 n =0 时,显然成立.
?lo gM a
n

? n

log M a

提问:1. 在上面的式子中,为什么要规定 a >0,且 a ≠1,M>0,N>0? 2. 你能用自己的语言分别表述出以上三个等式吗? 例题:1. 判断下列式子是否正确, a >0 且 a ≠1, x >0 且 a ≠1, x >0, x > y ,则有 (1) log a x ? log a y ? log a ( x ? y )
x y ? lo g a x ? lo g a y

(2) log a x ? log a y ? log a ( x ? y ) (4) lo g a xy ? lo g a x ? lo g a y
17

(3) lo g a

(5) (lo g a x ) ? n lo g a x
n

(6) lo g a x ? ? lo g a

1 x

(7) n lo g a x ?

1 n

lo g a x

例 2:用 lo g a x , lo g a y , lo g a z 表示出(1) (2)小题,并求出(3)(4)小题的值. 、
xy z

(1) lo g a

(2) lo g a

x

2 3

y 8

(3) lo g z ( 4 ? 2 )
7 5

(4) lg 5 1 0 0

分析:利用对数运算性质直接计算: (1) lo g a (2) lo g a
xy z ? lo g a xy ? lo g a z ? lo g a x ? lo g a y ? lo g a z

x

2 3

y z

? lo g a x

2

y ? lo g a

3

z ? lo g a x ? lo g a
2

y ? lo g a

3

z

= 2 lo g a x ?
7 5

1 2

lo g a y ?
7

1 3
5

lo g a z

(3) lo g 2 (4 ? 2 ) ? lo g 2 4 ? lo g 2 2 ? 1 4 ? 5 ? 1 9
2

(4) lg 1 0 0 ? lg 1 0 ?
5 5

2 5

点评:此题关键是要记住对数运算性质的形式,要求学生不要记住公式. 让学生完成 P68 练习的第 1,2,3 题 提出问题: 你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗? a >0,且 a ≠1, c >0,且 e ≠1, b >0
lo g a b ? lo g c b lo g c a

先让学生自己探究讨论,教师巡视,最后给出证明过程. 设 M ? log c a , N ? log c b , 则 a ? c , b ? c
M N

1 N

1 N

N

且 a M ? c, 所 以 c ? (a M ) 即:
N M ? lo g a b , 又 因 为

? aM ? b
? lo g c b lo g c a

N M

所以:

lo g c b lo g c a

? lo g a b

小结:以上这个式子换底公式,换的底 C 只要满足 C>0 且 C≠1 就行了,除此之外,对 C 再也没 有什么特定的要求. 提问:你能用自己的话概括出换底公式吗? 说明:我们使用的计算器中, lo g ”通常是常用对数. 因此,要使用计算器对数,一定要先用换 “
18

底公式转化为常用对数. 如:
lo g 2 3 ? lg 3 lg 2
3

即计算 lo g 2 的值的按键顺序为: lo g ”→“3”→“÷”→“ lo g ”→“2” →“=” “ 再如:在前面要求我国人口达到 18 亿的年份,就是要计算
x ? lo g 1 .0 1 18 13

所以
18

x ? lo g 1 .0 1

18 13

?

1 3 ? lg 1 8 ? lg 1 3 ? 1 .2 5 5 3 ? 1 .1 3 9 lg 1 .0 1 lg 1 .0 1 0 .0 4 3

lg

= 3 2 .8 8 3 7 ? 3 3( 年 ) 练习:P68 练习 4 让学生自己阅读思考 P66~P67 的例 5,例的题目,教师点拨. 3、归纳小结 (1)学习归纳本节 (2)你认为学习对数有什么意义?大家议论. 4、作业 (1)书面作业:P74 习题2.2 第 3、4 题 P75 第 11、12 题 2、思考: (1)证明和应用对数运算性质时,应注意哪些问题? (2) log 2 ( ? 3)( ? 5) 等 于 log 2 ( ? 3) ? log 2 ( ? 5)吗 ?

§2.2.2 对数函数及其性质
一.教学目标 1.知识技能 ①对数函数的概念,熟悉对数函数的图象与性质规律. ②掌握对数函数的性质,能初步运用性质解决问题. 2.过程与方法 让学生通过观察对数函数的图象,发现并归纳对数函数的性质. 3.情感、态度与价值观 ①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力; ②培养学生严谨的科学态度. 二.教学重点、难点 1、重点:理解对数函数的定义,掌握对数函数的图象和性质. 2、难点:底数 a 对图象的影响及对数函数性质的作用. 三.教学过程 1.设置情境 在 2.2.1 的例 6 中,考古学家利用 lo g
5730 1 2

P 估算出土文物或古遗址的年代,对于每一个 C14

含量 P,通过关系式,都有唯一确定的年代 t 与之对应.同理,对于每一个对数式 y ? lo g a 中的 x ,任
x

取一个正的实数值, y 均有唯一的值与之对应,所以 y ? lo g a 关 于 x 的函数.
x

19

2.探索新知 一般地,我们把函数 y ? log a x ( a >0 且 a ≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域 是(0,+∞) . 提问: .在函数的定义中,为什么要限定 a >0 且 a ≠1. (1) (2) .为什么对数函数 y ? log a x ( a >0 且 a ≠1)的定义域是(0,+∞) .组织学生充分讨论、 交流,使学生更加理解对数函数的含义,从而加深对对数函数的理解. 答:①根据对数与指数式的关系,知 y ? log a x 可化为 a ? x ,由指数的概念,要使 a ? x 有意
y y

义,必须规定 a >0 且 a ≠1. ②因为 y ? log a x 可化为 x ? a , 不管 y 取什么值, 由指数函数的性质,a >0, 所以 x ? (0, ? ? ) .
y y

例题 1:求下列函数的定义域 (1) y ? lo g a x
2

(2) y ? lo g a ( 4 ? x )
2

( a >0 且 a ≠1)

分析:由对数函数的定义知: x >0; 4 ? x >0,解出不等式就可求出定义域. 解: (1)因为 x >0,即 x ≠0,所以函数 y ? log a
2

x

2

的定义域为 ? x | x ? 0 ? . 的定义域为 ? x | x < 4 ? .

(2)因为 4 ? x >0,即 x <4,所以函数 y ? lo g a

(4? x)

下面我们来研究函数的图象,并通过图象来研究函数的性质: 先完成 P70 表 2-3,并根据此表用描点法画出函数 y ? lo g 2 的 图 象 , 再画出 y ? lo g 0 .5 的 图 象 .
x x

x
y

1 2

1 0

2 1

4 2

6 2.58

8 3

12 3.58

16 4

-1

y
y ? lo g 0 .5 x



x

y ? log 2 x

注意到: y ? lo g 1 x ? ? lo g 2 x ,若点 ( x , y ) 在 y ? lo g 2 x 的图象上,则点 ( x , ? y ) 在 y ? lo g 1 x 的图
2
2

20

象上. 由于( x , ? y )与( x , ? y )关于 x 轴对称,因此, y ? lo g 1 x 的图象与 y ? log 2 x 的图象关于 x
2

轴对称 . 所以,由此我们可以画出 y ? lo g 1 x 的图象 .
2

先由学生自己画出 y ? lo g 1 x 的图象,再由教师画出 y ? log 2 x 与 y ? lo g 1 x 的图象.
2 2

探究:选取底数 a ( a >0,且 a ≠1)的若干不同的值,在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的 图象.观察图象,你能发现它们有哪些特征吗?
4 .作法:再画出 y ? log 4 x , y ? lo g 3 x , y ? lo g 1 x 和 y ? lo g 1 x

3

4

y ? lo g 3 x
2

y ? log 4 x

-5

0

5

y ? lo g 1 x
-2

y ? lo g 1 x
3

4

提问:通过函数的图象,你能说出底数与函数图象的关系吗?函数的图象有何特征,性质又如何? -4 先由学生讨论、交流,教师引导总结出函数的性质. 图象的特征 (1)图象都在 y 轴的右边 (2)函数图象都经过(1,0)点 (3)从左往右看,当 a >1 时,图象逐渐 上升,当 0< a <1 时,图象逐渐下降 . 函数的性质 (1)定义域是(0,+∞) (2)1 的对数是 0 (3)当 a >1 时, y ? lo g a 是增函数,当
x

0< a <1 时, y ? log a x 是减函数. (4)当 a >1 时

(4)当 a >1 时,函数图象在(1,0)点 右边的纵坐标都大于 0,在(1,0)点左 边的纵坐标都小于 0. 当 0< a <1 时,图 象正好相反,在(1,0)点右边的纵坐标 都小于 0,在(1,0)点左边的纵坐标都 大于 0 .

x >1,则 lo g a x >0
0< x <1, lo g a x <0 当 0< a <1 时

x >1,则 lo g a x <0
0< x <1, lo g a x <0

由上述表格可知,对数函数的性质如下(先由学生仿造指数函数性质完成,教师适当启发、引导) :
a >1

0< a <1

图 象
21

性 质

(1)定义域(0,+∞) ; (2)值域 R; (3)过点(1,0) ,即当 x =1, y =0; (4)在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)是上减函数

例题训练: 1. 比较下列各组数中的两个值大小 (1) lo g 2 3 .4 , (2) lo g 0.3 1 .8 , (3) lo g a 5 .1 ,
lo g 2 8 .5

lo g 0.3 2 .7 lo g a 5 .9

( a >0,且 a ≠1)

分析:由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成: (1)解法 1:画出对数函数 y ? log 2 x 的图象.在图象上,横坐标为 3、4 的点在横坐标为 8.5 的点 的下方: 所以, log 2 3.4 ? log 2 8.5 解法 2:由函数 y ? lo g 2 x 在 R +上是单调增函数,且 3.4<8.5,所以 log 2 3.4 ? log 2 8.5 . 解法 3:直接用计算器计算得: lo g 2 3 .4 ? 1 .8 , lo g 2 8 .5 ? 3 .1 (2)第(2)小题类似 (3)注:底数是常数,但要分类讨论 a 的范围,再由函数单调性判断大小. 解法 1:当 a >1 时, y ? log a x 在(0,+∞)上是增函数,且 5.1<5.9. 所以, lo g a 5 .1 ? lo g a 5 .9 当 a ? 1 时, y ? log a x 在(0,+∞)上是减函数,且 5.1<5.9. 所以, lo g a 5 .1 ? lo g a 5 .9 解法 2:转化为指数函数,再由指数函数的单调判断大小不一, 令 b1 ? lo g a 5 .1, 则 a
x
b1

? 5 .1,

令 b 2 ? lo g a 5 .9, 则 a

b2

? 5 .9, 则 则 a

b2

? 5 .9

当 a >1 时, y ? a 在 R 上是增函数,且 5.1<5.9 所以, b1 < b 2 ,即 lo g a 5 .1 < lo g a 5 .9 当 0< a <1 时, y ? a 在 R 上是减函数,且 5.1>5.9
x

所以, b1 < b 2 ,即 lo g a 5 .1 > lo g a 5 .9 说明:先画图象,由数形结合方法解答
22

课堂练习:P73 补充练习

练习

第2,3题

1.已知函数 y ? f (2 ) 的定义域为[-1,1],则函数 y ? f (log 2 x ) 的定义域为
x

2.求函数 y ? 2 ? lo g 2 x ( x ? 1) 的值域. 3.已知 lo g m 7 < lo g n 7 <0,按大小顺序排列 m, n, 0, 1 4.已知 0< a <1, b>1, ab>1. 比较 lo g a
1 b , lo g a b , lo g b 1 b 的大小

归纳小结: ② 对数函数的概念必要性与重要性; ②对数函数的性质,列表展现.

对数函数(第三课时)
一.教学目标: 1.知识与技能 (1)知识与技能 (2)了解反函数的概念,加深对函数思想的理解. 2.过程与方法 学生通过观察和类比函数图象,体会两种函数的单调性差异. 3. 情感、态度、价值观 (1)体会指数函数与指数; (2)进一步领悟数形结合的思想. 二.重点、难点: 重点:指数函数与对数函数内在联系 难点:反函数概念的理解 三.教学过程: 1.复习 (1)函数的概念 (2)用列表描点法在同一个直角坐标点中画出 y ? 2 与 y ? lo g 2 x 的函数图象.`
x

2.讲授新知
y ? 2
x

x
y

? ?
y ? log 2 x

-3
1 8

-2
1 4

-1
1 2

0 1

1 2

2 4

3 8

? ?

x
y

? ?

-3
1 8

-2
1 8

-1
1 2

0 1
23

1 2

2 4

3 8

? ?

图象如下: y
y ? 2
x

y ? log 2 x

0

x

探究:在指数函数 y ? 2 中, x 为自变量, y 为因变量,如果把 y 当成自变量, x 当成因变量,
x

那么 x 是 y 的函数吗?如果是,那么对应关系是什么?如果不是,请说明理由. 引导学生通过观察、类比、思考与交流,得出结论. 在指数函数 y ? 2 中, x 是自变量, y 是 x 的函数( x ? R , y ? R ) ,而且其在 R 上是单调递增
x ?

函数. 过 y 轴正半轴上任意一点作 x 轴的平行线,与 y ? 2 的图象有且只有一个交点.由指数式与对数
x

式关系, y ? 2 得 x ? lo g 2 y ,即对于每一个 y ,在关系式 x ? log 2 y 的作用之下,都有唯一的确定的
x

值 x 和 它 对 应 , 所 以 , 可 以 把 y 作 为 自 变 量 , x 作 为 y 的 函 数 , 我 们 说
x ? lo g 2 y 是 y ? 2 ( x ? R )的 反 函 数 .
x

从我们的列表中知道, y ? 2 与 x ? lo g 2 y 是同一个函数图象.
x

3.引出反函数的概念(只让学生理解,加宽学生视野) 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新的函数自变量, 而把这个函数的自 变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数为反函数. 由反函数的概念可知,同底的指数函数和对数函数互为反函数. 如 x ? lo g 3 y 是 y ? 3 的反函数,但习惯上,通常以 x 表示自变量, y 表示函数,对调 x ? lo g 3 y 中
x

的 x , y 写 成 y ? lo g 3 x ,这样 y ? lo g 3 x

x ? (0, ? ? ) 是指数函数 y ? 3 ( x ? R ) 的反函数.
x x

以 后 , 我 们 所 说 的 反 函 数 是 x , y 对 调 后 的 函 数 , 如 y ? 2 (x ? R) 的 反 函 数 是
y ? log 2 x x ? (0, ? ? ) .
x

同理, y ? a ( a ? 1且 a >1)的反函数是 y ? lo g a x ( a >0 且 a ? 1) . 课堂练习:求下列函数的反函数 (1) y ? 5
x

(2) y ? lo g 0 .5 x

归纳小结: 1. 今天我们主要学习了什么?
24

2.你怎样理解反函数? 课后思考: (供学有余力的学生练习) 我们知道 y ? a ( a >0 且 a ? 1) 与对数函数 y =log a x ( a >0 且 a ? 1) 互为反函数,探索下列问题.
x

1.在同一平面直角坐标系中,画出 y =2 与 y ? log 2 x 的图象,你能发现这两个函数有什么样的对
x

称性吗? 2.取 y ? 2 图象上的几个点,写出它们关于直线 y ? x 的对称点坐标,并判断它们
x

是否在 y ? log 2 x 的图象上吗?为什么? 3.由上述探究你能得出什么结论,此结论对于 y ? a 与 y ? lo g a x
x

( a >0 且 a ? 1) 成立吗?

幂函数
一.教学目标: 1.知识技能 (1)理解幂函数的概念; (2)通过具体实例了解幂函数的图象和性质,并能进行初步的应用. 2.过程与方法 类比研究一般函数,指数函数、对数函数的过程与方法,后研幂函数的图象和性质. 3.情感、态度、价值观 (1)进一步渗透数形结合与类比的思想方法; (2)体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性. 二.重点、难点 重点:从五个具体的幂函数中认识的概念和性质 难点:从幂函数的图象中概括其性质 三.学法:通过类比、思考、交流、讨论,理解幂函数的定义和性质 ; 四、教学过程: 引入新知 阅读教材 P77 的具体实例(1)~(5) ,思考下列问题. (1)它们的对应法则分别是什么? (2)以上问题中的函数有什么共同特征? 让学生独立思考后交流,引导学生概括出结论 答:1、 (1)乘以 1 (2)求平方 (3)求立方 (4)求算术平方根 (5)求-1 次方 2、上述的问题涉及到的函数,都是形如: y ? x ,其中 x 是自变量, ? 是常数. 探究新知 1.幂函数的定义 一般地,形如 y ? x ( x ? R)的函数称为幂孙函数,其中 x 是自变量, ? 是常数.
? ?

25

1

如y ? x ,y ? x ,y ? x
2 3

?

1 4

等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数.

2.研究函数的图像
1

(1) y ? x

(2) y ? x 2

(3) y ? x

2

(4) y ? x

?1

(5) y ? x

3

一.提问:如何画出以上五个函数图像 引导学生用列表描点法,应用函数的性质,如奇偶性,定义域等,画出函数图像.
y ? x
2

y ? x
4

1

y ? x2
2

-5

5

y=x3 y=x-1
10

15

0
-2

-4

-6

让学生通过观察图像,分组讨论,探究幂函数的性质和图像的变化规律,教师注意引导学生用类 比研究指数函数,对函数的方法研究幂函数的性质. 通过观察图像,填 P91 探究中的表格
-10

-8

y ? x

y ? x

2

y ? x

3

1

y ? x2

y ? x

?1

定义域 奇偶性 在第Ⅰ象限 单调增减性 定点 3.幂函数性质

R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1)

R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1)

R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1)

? x | x ? 0?
非奇非偶 在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1)

?x | x

? 0?

奇 在第Ⅰ象限 单调递减 (1,1)

(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) (原因:1 ? 1 ) ;
x

(2) x >0 时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数(从左往右看,函数图象 逐渐上升). 特别地,当 x >1, x >1 时, x ∈(0,1) y ? x 的图象都在 y ? x 图象的下方,形状向下凸越 ,
2

大,下凸的程度越大(你能找出原因吗?) 当∠α <1 时, x ∈(0,1) y ? x 的图象都在 y ? x 的图象上方,形状向上凸,α 越小,上凸 ,
2

的程度越大(你能说出原因吗?) (3)α <0 时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. 在第一家限内,当 x 向原点靠近时,图象在 y 轴的右方无限逼近 y 轴正半轴,当 x 慢慢地变大时, 图象在 x 轴上方并无限逼近 x 轴的正半轴. 例题: 1.证明幂函数 f ( x ) ?
x 在 [0, ? ? ] 上是增函数
26

证:任取 x1 , x 2 ? [0, ? ? ), 且 x 1 < x 2 则
f ( x )? 1 f ( x )? 2 x?
( x1 ? x 2 )( x1 ? x1 ? x2 x2 )

1

2

x=

=

x 1 ? x2 x1 ? x2
x 在 [0, ? ? ] 上是增函数.

因 x1 ? x 2 <0, x 1 ? 思考:

x 2 >0,所以 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,即 f ( x ) ?

我们知道,若 y ? f ( x ) ? 0, 若

f ( x1 ) f ( x2 )

? 1 得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,你能否用这种作比的方法来证明

f ( x) ?

x在 [ 0 ,? ? ] 上是增函数,利用这种方法需要注意些什么?

2.利用函数的性质 ,判断下列两个值的大小
1 1 3 3

(1) 2 6 ,

36

(2) ( x ? 1) 2 ,

x2

( x ? 0)

(3) ( a ? 4 )
2

?

2 4

?

2 4

, 4

分析:利用幂函数的单调性来比较大小. 5.课堂练习
2

画出 y ? x 3 的大致图象,并求出其定义域、奇偶性,并判断和证明其单调性. 6.归纳小结:提问方式 (1)我们今天学习了哪一类基本函数,它们定义是怎样描述的? (2)你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗? 作业:P79 习题 2.3 第 2、3 题

小结与复习 一.教学目标 1.知识与技能 (1)理解指数与对数,指数函数与对数函数的联系. (2)能更加熟练地解决与指数函数,对数函数有关的问题. 2.过程与方法:通过提问,分析点评,让学生更能熟悉指数函数,对数函数的性质. 3.情感、态度、价值观 (1)提高学生的认知水平,为学生塑造良好的数学认识结构. (2)培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力. 二.重点、难点 重点:指数函数与对数函数的性质。 难点:灵活运用函数性质解决有关问题。 三、学法:讲授法、讨论法。 四、教学过程 1、回顾本章的知识结构 整数指数幂 有理数指数幂 指数 对数
27

定义

运算性质

无理数指数幂 定义 定义 指数函数 图象与性质 2、指数与对数 指数式与对数式的互化 幂值 真数 对数函数 图象与性质

a = N ? lo g a N = b
b

底数 指数←→对数值 提问:在对数式中,a,N,b 的取值范围是什么? 例 1:已知 lo g 5 4 2 7 = a ,54b=3,用 a , b表 示 log 108 81 的值 解法 1:由 5 4 =3 得 lo g 5 4 3 =b ∴ lo g 1 0 8 8 1 =
lo g 5 4 8 1 lo g 5 4 1 0 8
b



lo g 5 4 2 7 ? lo g 5 4 3 lo g 5 4 2 ? 1

?

a?b 2 ? lo g 5 4 2 7

?

a?b 2?a

解法 2:由 log 54 27 ? a 得 54 ? 27 设 x ? log 1 0 8 81, 则 108 ? 81
x

所以 (5 4 ? 2 7 ) ? 3 ? 2 7
2 x

?1

即: (5 4 ? 5 4
2

?a

) ? 54 ? 54
x b a?b

a

所以 54

2 x ? ax

? 54

, 即 2 x ? ax ? a ? b

因此得: x ?

a?b 2?a

(1)法 1 是通过指数化成对数,再由对数的运算性质和换底公式计算结果. 法 2 是通过对数化成指数,再由指数的运算性质计算出结果,但法 2 运算的技巧性较大。 2.指数函数与对数函数 问题 1:函数 y ? a 与 y ? lo g a 中 , a 与 x 分别必须满足什么条件.
x x

问题 2:在同一直角坐标系中画出函数 y ? a 与 lo g a 的图象,并说明两者之间的关系.
x x

问题 3:根据图象说出指数函数与对数函数的性质.

28

例 2:已知函数 y ( x ) 的图象沿 x 轴方向向左平移 1 个单位后与 f ( x ) ? 3 的图象关于直线 y ? x 对
x

称,且 g (1 9 ) ? a ? 2 ,则函数 y ? 3 (0 ? x ? 1) 的值域为
ax

.

分析:函数 y ? 3 关于直线 y ? x 对称的函数为 y ? lo g 3 ( x ? 1)
x

∴ g (1 9 ) ? lo g 3 1 8 ? 2 ? lo g 3 2 ∴ a ? lo g 3 2, ? y ? 3
ax

? (3

lo g 3 2

) ? 2x
x

∵ x ? (0,1], 则 y ? (1, 2] 小结:底数相同的指数函数与对数函数关于 y ? x 对称,它们之间还有一个关系式子:
a
log N a

? N( a ? 1, a ? 0 , N ? 0 )
1? x 1? x ( a ? 0 且 a ? 1)

例 3:已知 f ( x ) ? lo g a (1)求 f ( x ) 的定义域

(2)求使 f ( x ) ? 0 的 x 的取值范围 分析: (1)要求 f ( x ) ? lo g a 则应有
1? x
1? x 1? x

的定义域,

?1 ? x ? 0 ?1 ? x ? 0 ?0? ? 或? 1? x ?1 ? x ? 0 ?1 ? x ? 0
1? x 1? x ? lo g a 1, 再 分 a > 1 和 0 < a < 1

(2) 注意考虑不等号右边的 0 化为 lo g a 1 , (2) 则 小题变为 lo g a 两种情况分别求出
1? x 1? x ? 1和 0 ? 1? x 1? x ? 1.

建议:通过提问由学生作答 课堂小结: 1.指数与对数实质上只是同一数量关系的两种不同的形式,它们之间可以互化,这种等价互化也 是指数运算和对数运算的常用方法. 2.底数相同的指数函数和对数函数互为反函数,它们的图象关于 y ? x 对称,它们在各自的定义 域内增减性是一致的,通过函数图象,利用数形结合,记作指数函数与对数函数的性质. 作业:P82 A 组 3 7 P83 B组 3 4

29


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