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1.2解一元二次方程算法(2)


解一元二次方程的算法( 1.2 解一元二次方程的算法(2) 第 2 课时 教学内容 给出配方法的概念,然后运用配方法解一元二次方程. 教学目标 了解配方法的概念,掌握运用配方法解一元二次方程的步骤. 通过复习上一节课的解题方法, 给出配方法的概念, 然后运用配方法解决一些具体题目. 重难点关键 1.重点:讲清配方法的解题步骤. 2. 难点与关键: 把常数项移到方程右边后, 两边加上的常数是一次项系数一半的平方. 教具、 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、复习引入 (学生活动)解下列方程: (1)x2-8x+7=0 (2)x2+4x+1=0 老师点评:我们前一节课,已经学习了如何解左边含有 x 的完全平方形式, 右边是非 负数, 不可以直接开方降次解方程的转化问题, 那么这两道题也可以用上面的方法进行解题. 2 2 2 解: (1)x -8x+(-4) +7-(-4) =0 (x-4)2=9 x-4=±3 即 x1=7,x2=1 (2)x2+4x=-1 x2+4x+22=-1+22 (x+2)2=3 即 x+2=± 3 x1= 3 -2,x2=- 3 -2 二、探索新知 像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法. 可以看出,配方法是为了降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解. 例 1.解下列方程 (1)x2+6x+5=0 (2)2x2+6x-2=0 (3) (1+x)2+2(1+x)-4=0 分析:我们已经介绍了配方法,因此,我们解这些方程就可以用配方法来完成,即配一 个含有 x 的完全平方. 解: (1)移项,得:x2+6x=-5 配方:x2+6x+32=-5+32(x+3)2=4 由此可得:x+3=±2,即 x1=-1,x2=-5 (2)移项,得:2x2+6x=-2 二次项系数化为 1,得:x2+3x=-1 配方 x2+3x+(

3 2 3 3 5 ) =-1+( )2(x+ )2= 2 2 2 4

由此可得 x+

3 5 5 3 5 3 =± ,即 x1= - ,x2=2 2 2 2 2 2

(3)去括号,整理得:x2+4x-1=0 移项,得 x2+4x=1

1

配方,得(x+2)2=5 x+2=± 5 ,即 x1= 5 -2,x2=- 5 -2 三、巩固练习 教材 P39 练习 2. 、 、 、 . (3)(4)(5)(6) 四、应用拓展 (x+1)=6 例 2.用配方法解方程(6x+7)2(3x+4) . 2 分析:因为如果展开(6x+7) ,那么方程就变得很复杂,如果把(6x+7)看为一个数 y,那么(6x+7)2=y2,其它的 3x+4=

1 1 1 1 (6x+7)+ ,x+1= (6x+7)- ,因此,方程就 2 2 6 6

转化为 y 的方程,像这样的转化,我们把它称为换元法. 解:设 6x+7=y

1 1 1 1 y+ ,x+1= y2 2 6 6 1 1 1 1 依题意,得:y2( y+ ) ( y- )=6 2 2 6 6
则 3x+4= 去分母,得:y2(y+1) (y-1)=72 2 2 4 2 y (y -1)=72, y -y =72

1 2 289 )= 2 4 1 17 y2- =± 2 2
(y2y2=9 或 y2=-8(舍) ∴y=±3 当 y=3 时,6x+7=3 6x=-4 当 y=-3 时,6x+7=-3 x=-

2 3

5 3 2 5 所以,原方程的根为 x1=- ,x2=3 3
6x=-10 x=-

五、归纳小结 本节课应掌握: 配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤. 六、布置作业 1.教材 P45 复习巩固 3. 2.作业设计 作业设计 一、选择题 1.配方法解方程 2x2A. (x-

1 2 8 )= 3 9 1 2 8 C. (x- ) = 3 9

4 x-2=0 应把它先变形为( ) . 3 2 B. (x- )2=0 3 1 2 10 D. (x- ) = 3 9

2.下列方程中,一定有实数解的是( ) .

2

A.x2+1=0 C. (2x+1)2+3=0

B. (2x+1)2=0 D. (

1 x-a)2=a 2

3.已知 x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,则 x+y+z 的值是( ) . A.1 B.2 C.-1 D.-2 二、填空题 1.如果 x2+4x-5=0,则 x=_______. 2.无论 x、y 取任何实数,多项式 x2+y2-2x-4y+16 的值总是_______数. 3.如果 16(x-y)2+40(x-y)+25=0,那么 x 与 y 的关系是________. 三、综合提高题 1.用配方法解方程. (1)9y2-18y-4=0 (2)x2+3=2 3 x

2.已知:x2+4x+y2-6y+13=0,求

x ? 2y 的值. x2 + y 2

3. 某商场销售一批名牌衬衫, 平均每天可售出 20 件, 每件赢利 40 元, 为了扩大销售, 增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施,经调查发现, 如果每件衬衫每降 价一元,商场平均每天可多售出 2 件. ①若商场平均每天赢利 1200 元,每件衬衫应降价多少元? ②每件衬衫降价多少元时,商场平均每天赢利最多?请你设计销售方案.

3

答案: 答案 一、1.D

2.B 3.B 2.正 3.x-y=

5 4 4 4 13 三、1. (1)y2-2y- =0,y2-2y= , (y-1)2= , 9 9 9
二、1.1,-5 y-1=±

13 13 13 ,y1= +1,y2=13 3 3
(x- 3 )2= 0,x1=x2= 3

(2)x2-2 3 x=-3

2. (x+2)2+(y-3)2=0,x1=-2,y2=3, ∴原式=

?2 ? 6 8 =? 13 13

3. (1)设每件衬衫应降价 x 元,则(40-x) (20+2x)=1200, 2 x -30x+200=0,x1=10,x2=20 (2)设每件衬衫降价 x 元时,商场平均每天赢利最多为 y, 则 y=-2x2+60x+800=-2(x2-30x)+800=-2[(x-15)2-225]+800=-2(x-15)2+1250 ∵-2(x-15)2≤0, ∴x=15 时,赢利最多,y=1250 元. 答:略

4


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