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第六章《二次函数》导学案


第一学期初三数学电子备课 第 六 章 导 学 案

(总计 14 课时)

6.1 二次函数
学习目标: 1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程,体会二次函数意义; 2.了解二次函数关系式,会确定二次函数关系式中各项的系数。 学习难点:确定实际问题中二次函数的关系式。 学习过程: 一、知识准备: 1.设在一个变化过程中有两个变量 x 和 y,如果对于 x 的每一个值, y 都有唯一的值与它对应,那 么就说 y 是 x 的 ,x 叫做 。 2.我们已经学过的函数有:一次函数、反比例函数,其中 的图像是直线, 的图像是双曲线。我们得到它们图像的方法和步骤是: ① ; ② ;③ 。 3. 形如 y ? ___________ , ( 数,图像是经过 的直线;形如 y ? ) 的函数是一次函数, ______ ? 0 时, 当 它是 函

k , ( x

)的函数是

函数,它

的表达式还可以写成:① 、② 二、提出问题(展示交流) : 1.一粒石子投入水中,激起的波纹不断向外扩展,扩大的圆的面积S与半径r之间的函数关系式 是 。 2.用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔,圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式 为 。 3.要给一个边长为x (m)的正方形实验室铺设地板,已知某种地板的价格为每平方米240元,踢 脚线价格为每米30元,如果其它费用为1000元,那么总费用y(元)与x(m)之间的函数关系式 是 。 三、归纳提高(讨论归纳) : 观察上述函数函数关系有哪些共同之处?它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同? 。 一般地,形如 , ( ,且 )的函数为二次函数。 其中 x 是自变量, 函数。 注意: 1、定义中只要求二次项系数 a 不为零(必须存在二次项) ,一次项系数 b、常数项 c 可以为零。最 简单形式的二次函数: y ? ax (a ? 0) 例如,y=-5x +100x+60000 和 y=100x +200x+100 都是二次
2
2 2

函数.我们以前学过的正方形面积 A 与边长 a 的关系 A ? a 2 ,圆面积 s 与半径 r 的关系 s ? ? r 2 等 也都是二次函数的例子. 2、二次函数 y ? ax ? bx ? c 中自变量 x 的取值范围是
2

,你能说出上述三个问题

中自变量的取值范围吗? 四、例题精讲(小组讨论交流) : 例 1 函数 y=(m+2)x
m2 ?2

+2x-1 是二次函数,则 m=



点拨:从二次函数的定义出发:看二次项的系数和次数确定 m 的取值

例 2.下列函数中是二次函数的有( ①y=x+ A.1 个



1 1 2 2 2 ;②y=3(x-1) +2;③y=(x+3) -2x ;④y= 2 +x. x x
B.2 个 C.3 个 D.4 个

例3、写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数. 2 ⑴圆的面积y(cm )与它的周长x(cm)之间的函数关系; ⑵某种储蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金,若不计利息税,求本息和y(元)与所存年数x 之间的函数关系; 2 ⑶菱形的两条对角线的和为 26cm,求菱形的面积 S(cm )与一对角线长 x(cm)之间的函数关系

五、课堂训练 1.下列函数中,二次函数是( A.y=6x +1
2

) C.y=

B.y=6x+1

6 +1 x
2

D.y=

6 +1 x2

2

2.半径为 3 的圆,如果半径增加 2x,则面积 S 与 x 之间的函数表达式为( A.S=2π(x+3)
2

B.S=9π+x C.S=4πx +12x+9 D.S=4πx +12πx+9π
2

3.若一个边长为 x cm的无盖正方体形纸盒的表面积为 y cm ,则 y ? ___________ 。 .. 4.一矩形的长是宽的1.6倍,则该矩形的面积 S 与宽 x 之间函数关系式: S ? 。 5.如图在长200米, 宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路, 请写出绿地面积 y (㎡)与路宽 x (m) 之间的函数关系式: y ? 。

9.如图,用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园,写出长方形花园的面积 y (㎡)与它 与墙平行的边的长 x (m)之间的函数关系式: y ? 。 10.已知函数 y ? (m ? 3) x
m2 ? 7

是二次函数,求m的值.

二次函数的图象与性质(1) 一、学习目标
会用描点法画出二次函数 y ? ax 的图象,概括出图象的特点及函数的性质.
2

二、知识准备
我 们 已 经 知 道 , 一 次 函 数 y ? 2x ? 1 , 反 比 例 函 数 y ? 是 、 ,那么二次函数 y ? x 的图象是什么呢?
2

3 3 y? 的图象分别 x x

1.你能描述图象的形状吗?与同伴交流。 2.图象与 x 轴有交点吗?如果有,交点的坐标是什么? 3.当 x<0 时,y 随着 x 的增大,y 的值如何变化?当 x>0 时呢? 4.当 x 取什么值时,y 的值最小? 5.图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流。

三、学习内容
在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并指出它们有何共同点?有何不同点? 2 2 (1) y ? 2x (2) y ? ?2x

共同点: 不同点: 注意点: 在列表、描点时,要注意合理灵活地取值以及图形的对称性,因为图象是抛物线, 因此,要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接. 四、知识梳理
(1)二次函数 y=ax 的图象的性质: ①、图象——“抛物线”是轴对称图形;②、与 x、y 轴交点——(0,0)即原点; ③、a 的绝对值越大抛物线开口越大, a﹥0,开口向上, 当 x﹤0 时,(对称轴左侧),y 随 x 的增大而减小(y 随 x 的减小而增大); 当 x﹥0 时,(对称轴右侧),y 随 x 的增大而增大(y 随 x 的减小而减小). a﹤0,开口向下,
2

当 x﹤0 时,(对称轴左侧),y 随 x 的增大而增大(y 随 x 的减小而减小) 当 x﹥0 时,(对称轴右侧),y 随 x 的增大而减小(y 随 x 的减小而增大) (2)今天我们通过观察收获不小,其实只要我们在日常生活中勤与观察,勤与思考,你会发现知 识无处不在,美无处不在。 五、课堂训练 1.若二次函数 y=ax (a≠0) ,图象过点 P(2,-8) ,则函数表达式为 2.函数 y=x 的图象的对称轴为 3.点 A(
2 2



,与对称轴的交点为

,是函数的顶点. ,

1 2 ,b)是抛物线 y=x 上的一点,则 b= 2
上;点 A 关于原点的对称点 C 是
2

;点 A 关于 y 轴的对称点 B 是 ,它在函数 上.

它在函数

4.如图,A、B 分别为 y=x 上两点,且线段 AB⊥y 轴,若 AB=6,则直线 AB 的表达式为( A.y=3 B.y=6 C.y=9 D.y=36



5.求直线 y=x 与抛物线 y=x 的交点坐标.

2

6.若 a>1,点(a-1,y1)(a,y2)(a+1,y3)都在函数 y=x 的图象上,判断 y1、y2、y3 的大小 、 、 关系?

2

二次函数的图象与性质(2)
一、学习目标:
会画出 y ? ax ? k 这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质.
2

经历探索二次函数 y=ax 和 y=ax +c 的图象的作法和性质的过程, 进一步获得将表格、 表达式、 图象三者联系起来的经验.

2

2

二、知识准备:
同学们还记得一次函数 y ? 2 x 与 y ? 2 x ? 1 的图象的关系吗? 你能由此推测二次函数 y ? x 与 y ? x ? 1 的图象之间的关系吗?
2 2

,那么 y ? x

2

与 y ? x ? 2 的图象之间又有何关系?
2

动手操作、探究:
在同一平面内画出函数 y=x2 与 y=x2-2 的图象。 比较它们的性质,你可以得到什么结论?

三、学习内容: 动手画:在同一直角坐标系中,画出函数 y ? ? x 2 ? 1 与 y ? ? x 2 ? 1 的图象,并说明,通
过怎样的平移,可以由抛物线 y ? ? x ? 1 得到抛物线 y ? ? x ? 1 .
2 2

回顾与反思 探索

抛物线 y ? ? x ? 1 和抛物线 y ? ? x ? 1 分别是由抛物线 y ? ? x 向上、 向下平
2 2 2

移一个单位得到的. 如果要得到抛物线 y ? ? x ? 4 ,应将抛物线 y ? ? x ? 1 作怎样的平移?
2 2

四、知识梳理
1、函数 y ? ax ? k 与 y ? ax 图像的关系。
2
2

2

2、能说出 y=ax +c 与 y=ax 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标、增减性。

2

五、课堂训练
1.抛物线 y=-4x -4 的开口向 2.当 m= 时,y=(m-1)x
2 2

,当 x=
m2 ?m

时,y 有最

值,y=



-3m 是关于 x 的二次函数.

3.抛物线 y=-3x 上两点 A(x,-27) ,B(2,y) ,则 x= ,y= . 2 4.抛物线 y=3x 与直线 y=kx+3 的交点为(2,b) ,则 k= ,b= . 5.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 y 轴,且经过点(-1,-2) ,则抛物线的表达式为 2 6.在同一坐标系中,图象与 y=2x 的图象关于 x 轴对称的是( ) A.y= x



1 2

2

B.y=-
2 2

1 2 2x
2

C.y=-2x

2

D.y=-x ) D.无法确定

2

7.抛物线,y=4x ,y=-2x 的图象,开口最大的是( A.y=

1 2 x 4

B.y=4x

C.y=-2x

2

8.对于抛物线 y=

1 2 1 2 x 和 y=- x 在同一坐标系里的位置,下列说法错误的是( 3 3



A.两条抛物线关于 x 轴对称 B.两条抛物线关于原点对称 C.两条抛物线关于 y 轴对称 D.两条抛物线的交点为原点 2 9.二次函数 y=ax 与一次函数 y=ax+a 在同一坐标系中的图象大致为(



10.已知函数 y=ax 的图象与直线 y=-x+4 在第一象限内的交点和它与直线 y=x 在第一象限内的交 点相同,则 a 的值为( ) A.4 B.2 C.

2

1 2
2

D.

1 4

11.已知直线 y=-2x+3 与抛物线 y=ax 相交于 A、B 两点,且 A 点坐标为(-3,m) . (1)求 a、m 的值; (2)求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标; 2 (3)x 取何值时,二次函数 y=ax 中的 y 随 x 的增大而减小; 2 (4)求 A、B 两点及二次函数 y=ax 的图象顶点构成的三角形的面积.

二次函数的图象与性质(3)
一、学习目标 1、经历探索二次函数 y=ax +k(a≠0)及 y=a(x+m) (a≠0)的图象作法和性质的过程。 2、能够理解函数 y=ax +k(a≠0)及 y=a(x+m) (a≠0)与 y=ax 的图象的关系,了解 a,m,k 对二 次函数图象的影响。 3、能正确说出函数 y=ax +k, y=a(x+m) 的图象的开口方向,顶点坐标和对称轴。 4.通过比较抛物线 总结的能力; 二、知识准备 1.什么是二次函数? 与 同 的相互关系,培养学生观察、分析、
2 2 2 2 2 2 2

2.我们已研究过了什么样的二次函数? 3.形如 三、学习内容 1、在平面直角坐标系中,并画出函数 y ? ( x ? 1) 的图象。
2

的二次函数的开口方向,对称轴,顶点坐标各是什么?

2、比较它与函数 y ? x 的图象之间的关系。
2

结论: (1)抛物线 y=a(x+m) (a≠0)与抛物线 y=ax (a≠0)的形状一样,只是位置不同,因此抛物线 y=a(x+m) 可通过平移抛物线 y=ax (a≠0)得到。当 m>0 时,把抛物线 y=ax (a≠0)向左平移|m| 个单位得到抛物线 y=a(x+m) ,当 m<0 时,把抛物线 y=ax (a≠0)向右平移|m|个单位得到抛物线 y=a(x+m)
2 2 2 2 2 2 2 2

(2)抛物线 y=a(x+m) (a≠0)的顶点坐标是(-m,0),对称轴是直线 x=-m,当 a>0 时,若 x= -m,当 a>0 时,若 x=-m,y 有最小值 0,当 a<0 时,若 a=-m,y 有最大值 0 四、知识梳理 本节课教学了二次函数 与 的图象的画法,主要内容如下。填写下表:

2

表一: 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标

表二: 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标

五、课堂训练 1.画草图填空:抛物线 y ? ( x ? 1) 的开口 2 它可以看作是由抛物线 y ? x 向 平移
2

,对称轴是 个单位得到的.

,顶点坐标是



2.对于抛物线 y ?

1 ( x ? 2) 2 ,当 x 2
2

时,函数值 y 随 x 的增大而减小;当 x 时,函数取得最 值,最 值 y= .

时,函数

值 y 随 x 的增大而增大;当 x
2

3.函数 y=x +1 是由 y=x -2 向_____平移_____单位得到的。 1 2 1 2 4.函数 y= x -4 是由 y= x +5 向_____平移_____单位得到的。 3 3 5.(1)二次函数 y=2(x+5) 的图像是 ,开口 ,对称轴是 , 当 x= 时,y 有最 值,是 . 2 2 (2)二次函数 y=-3(x-4) 的图像是由抛物线 y= -3x 向 平移 个单位得到 的;开口 ,对称轴是 ,当 x= 时,y 有最 值,是 2 (3)将 y=2x 的图像向右平移 3 个单位后得到函数 的图像,其对称轴是 ,顶 点是 ,当 x 时,y 随 x 的增大而增大;当 x 时,y 随 x 的增大而减小。 2 6.已知抛物线 y=x 上有一点 A,A 的横坐标为-1,过 A 点作 AB∥x 轴,交抛物线于另一点 B,求 △AOB 的面积。
2

二次函数的图象与性质(4)
一、学习目标 1.掌握把抛物线 y ? ax 平移至 y ? a( x ? h) +k 的规律;
2 2

2.会画出 y ? a( x ? h) +k 这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质.
2

二、知识准备 1、请你在同一直角坐标系内,画出函数 它们的开口方向,对称轴及顶点坐标 的图像,并指出

2、你能否在上面的直角坐标系中,再画出函数

的图像?

3、你能否指出抛物线 抛物线的性质填入所列的有中,如下表: 抛物线

的开口方向,对称轴,顶点坐标?将在上面练习中三条

开口方向

对称轴

顶点坐标

三、学习内容 二次函数图象的变化规律:左加右减,上加下减 例 1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.

y?

1 2 1 1 x , y ? ( x ? 1) 2 , y ? ( x ? 1) 2 ? 2 ,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标. 2 2 2

观察: 它们的开口方向都向 ,对称轴分别为 分别为 、 、 . 请同学们完成填空,并观察三个图象之间的关系. 探索
2





,顶点坐标

你能说出函数 y ? a( x ? h) +k(a、h、k 是常数,a≠0)的图象的开口方向、对称轴和顶

点坐标吗?

四、知识梳理 1、二次函数的图象的变化规律: 二次函数的图象的上下平移,只影响二次函数 y ? a( x ? h) +k 中 k 的值;左右平移,只影响 h
2

的值,抛物线的形状不变,所以平移时,可根据顶点坐标的改变,确定平移前、后的函数关系式及 平移的路径.此外,图象的平移与平移的顺序无关. 2、二次函数 y ? a( x ? h) +k 的开口方向,对称轴,顶点坐标
2

五、课堂训练 1、抛物线 y ? 2 ? x ? 4 ? ? 1 的开口
2

,顶点坐标是 .

,对称轴是 时,y 随 x 的增大而 )

;当 x= ,在

时,y 有最 值为 对称轴右侧,即当 x

;在对称轴左侧,即当 x 时,y 随 x 的增大而

1 1 2 2 2、二次函数 y ? ( x ? 1) ? 2 的图象可由 y ? x 的图象( 2 2

A.向左平移 1 个单位, 再向下平移 2 个单位得到 B.向左平移 1 个单位, 再向上平移 2 个单位得到 C.向右平移 1 个单位, 再向下平移 2 个单位得到 D.向右平移 1 个单位, 再向上平移 2 个单位得到 1 2 3.抛物线 y ? ? ? x ? 6 ? ? 5 开口 ,顶点坐标是 ,对称轴是 ,当 x 3 = 时,y 有最 值为 。 4.函数 y ? 5 ? x ? 3? ? 2 的图象可由函数 y ? 5x2 的图象沿 x 轴向
2

平移

个单位,再沿 y 轴

向 为

平移

个单位得到。
2

5. 若 把 函 数 y ? 5 ? x ? 2 ? ? 2 的 图 象 分 别 向 下 、 向 左 移 动 2 个 单 位 , 则 得 到 的 函 数 解 析 式 。
2

6.一条抛物线的形状、开口方向与抛物线 y ? 2 x2 相同,对称轴和抛物线 y ? ? x ? 2 ? 相同,且顶点 纵坐标为 0,求此抛物线的解析式.

7.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.

y ? ?2x 2 , y ? ?2( x ? 3) 2 , y ? ?2( x ? 3) 2 ,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.

二次函数的图象与性质(5)
一、学习目标 1.能通过配方把二次函数 y ? ax ? bx ? c 化成 y ? a( x ? h) +k 的形式,从而确定开口方向、对
2 2

称轴和顶点坐标。 2.会利用对称性画出二次函数的图象. 二、知识准备 1、填空 (1)x +6x+___________=(x+________) (3)x +4x+9=(x+2) +____________ 2、填表 抛物线 y=-3(x-2) +1 y=-3(x-3) -2 1 2 y=- (x-4) +5 2 1 2 y= (x+3) -4 6 探索活动 活动一:探索 y=a(x+m) +k 的图象与性质
2 2 2 2 2 2 2

9 2 2 (2)x - x+____=(x-_______) 2 5 2 2 (4)x -5x+8=(x- ) +________ 2

开口方向

顶点坐标

对称轴

最值

活动二:探索 y=ax +bx+c 的图象与性质

2

由配方得 y=ax +bx+c= 由此可知,二次函数 y=ax +bx+c 的图象是抛物线,它的顶点坐标是( 点且与 y 轴平行的直线(当 b=0 时,对称轴是 y 轴) 三、学习内容 例 1.通过配方,确定抛物线 y ? ?2 x ? 4 x ? 6 的开口方向、对称轴和顶点坐标,再描点画图.
2
2

2

),对称轴是过顶

回顾与反思 (1)列表时选值,应以对称轴 x=1 为中心,函数值可由对称性得到, . (2)描点画图时,要根据已知抛物线的特点,一般先找出顶点,并用虚线画对称轴,然后再对称 描点,最后用平滑曲线顺次连结各点. 例 2.已知抛物线 y ? x ? (a ? 2) x ? 9 的顶点在坐标轴上,求 a 的值.
2

分析 : 顶点在坐标轴上有两种可能: (1)顶点在 x 轴上,则顶点的纵坐标等于 0; (2)顶点在 y 轴上,则顶点的横坐标等于 0.

四、知识梳理
1、能通过配方法确定二次函数 y=ax +bx+c 的图象的开口方向,顶点坐标和对称轴。 2、理解二次函数的性质,了解函数图象的变换,并能解决有关问题。 五、课堂训练 1.抛物线 y=-2x +6x-1 的顶点坐标为
2 2 2

,对称轴为

. )

2.如图,若 a<0,b>0,c<0,则抛物线 y=ax +bx+c 的大致图象为(

3.抛物线 y=2x 向左平移 1 个单位,再向下平移 3 个单位,得到的抛物线表达式为 4.函数 y=ax +bx+c 和 y=ax+b 在同一坐标系中如图所示,则正确的是(
2

2





5.抛物线 y ? ax ? 2 x ? c 的顶点是 ( ,?1) ,则 a =
2

1 3



c =



6.抛物线 y=ax2+2x+c 的顶点是(

1 ,1) ,则 a=_______,c=________. 3

7.抛物线和 y=-2x2 形状相同,方向相反,且顶点为(?-?1,?3)?,? 则它的关系式为________. 8.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标(-1,-3.2)及部分图象(?如图所示) ,由图

象可知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根分别是 x1=1.3 和 x2=______. 9.已知二次函数 y=-x2+4x+m-2 的最大值为-5,则 m=_______. 10.已知抛物线 y=x2+(m-1)x-

1 的顶点的横坐标是 2,则 m 的值是_______. 4
C.b=-2,c=4 D.b=-2,c=-4

11.已知二次函数 y=-x2+bx+c 的图象最高点(-1,-3) ,则 b 与 c 的取值是( ) A.b=2,c=4 B.b=2,b=-4

12.已知二次函数的最大值为 0,其图象经过点(1,-2)和点(0,- 是( )

1 ) ,则它的关系式 2

1 2 1 x -x+ 2 2 1 1 C.y=- x2-x- 2 2
A.y=-

B.y=-

1 2 1 x +x- 2 2 1 1 D.y=- x2+x+ 2 2

13.二次函数 y=4x2-mx+5,当 x<-2 时,y 随 x 的增大而减小;当 x>-2 时,y 随 x?的增 大而增大,则当 x=1 时,y 的值为( ) A.-7 B.1 C.17 D.25

14.抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是 x=2,且经过点 P(3,0) ,则 a+b+c 的值为(? ) A.-1 B.0 C.1 D.2

15.已知抛物线 y=(x+a)2+2a2+3a-5 的顶点在坐标轴上,求字母 a 的值,并指出顶点坐标.

16.心理学家发现,学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x(单位:分)之间满足函数 关系 y=-0.1x +2.6x+43(0≤x≤30) 值越大,表示接受能力越强. .y (1) 在什么范围内, x 学生的接受能力逐步增强?x 在什么范围内, 学生的接受能力逐渐降低? (2)第 10 分时,学生的接受能力是多少?(3)第几分时,学生的接受能力最强?
2

二次函数的图象与性质(6)
学习目标: 会根据不同的条件,利用待定系数法求二次函数的函数关系式 学习过程: 一、情境导入 一般地,函数关系式中有几个独立的系数,那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数 关系式.例如:我们在确定一次函数 y ? kx ? b(k ? 0) 的关系式时,通常需要两个独立的条 k 件:确定反比例函数 y ? (k ? 0) 的关系式时,通常只需要一个条件:如果要确定二次函数 x y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 的关系式,又需要几个条件呢?

二、实践与探索 例 1.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式. (1)已知二次函数的图象经过点 A(0,-1) 、B(1,0) 、C(-1,2) ; (2)已知抛物线的顶点为(1,-3) ,且与 y 轴交于点(0,1) ; (3)已知抛物线与 x 轴交于点 M(-3,0)(5,0) 、 ,且与 y 轴交于点(0,-3) ; (4)已知抛物线的顶点为(3,-2) ,且与 x 轴两交点间的距离为 4.

例 2.某涵洞是抛物线形,它的截面如图 26.2.9 所示,现测得水面宽 1.6m,涵洞顶点 O 到水面的距离为 2.4m,在图中直角坐标系内,涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么? 分析 如图,以 AB 的垂直平分线为 y 轴,以过点 O 的 y 轴的垂线为 x 轴,建立了直角坐标系.这时,涵洞所在的抛物线的顶点在原点, 对称轴是 y 轴,开口向下,所以可设它的函数关系式是 y ? ax 2 (a ? 0) .此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数 关系式

三、知识梳理
确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法,在选择把二次函数的关系式设成什么形 式时,可根据题目中的条件灵活选择,以简单为原则.二次函数的关系式可设如下两种形式: 2 (1)一般式: y ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,给出三点坐标可利用此式来求. 2 (2)顶点式: y ? a( x ? h) ? k (a ? 0) ,给出两点,且其中一点为顶点时可利用此式来求. 四、课堂训练 1、已知抛物线与 x 轴的交点为(-1,0)(3,0) , ,其开口情况与抛物线 y ? ?2x 2 相同,则此 抛物线的关系式: 。 。

2、如果抛物线 y ? (m ? 1) x 2 ? 2mx ? 3m ? 2 的对称轴是直线 x=2,那么 m=

3、请你写出一个开口向上,且对称轴在 y 轴的右侧的二次函数的解析式是 4、一个二次函数的图象经过(0,0)(-1,-11)(1,9)三点,求其解析式。 , ,



5、一个二次函数的图象过点(-1,-1)(0,2)(1,1) , , ,求其解析式。

6、若抛物线 y ? x 2 ? 4 x ? c 的顶点在 x 轴上,求 c 的值。

7、已知抛物线 y ? ax 2 ? 2 x ? c 的对称轴为直线 x=2,函数的最小值是-3,求 a,c 的值。

8、抛物线的顶点是(2,-1) ,并且经过点(-1,2) ,求其解析式。

9、已知抛物线 y ? ax 2 ? bx ? 5 的顶点为(-1,4) ,求其解析式。

10、函数 y ? 2 x 2 ? kx ? 2 的顶点在 x 轴上,求 k。 11、已知一条抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标分别为-1 和 2,与 y 轴的交点的纵纵标是 2, 求其解析式。

12、若抛物线 y ? ?2 x 2 ? bx ? c 的顶点坐标为(1,5),求 b,c。

13、若抛物线 y ? x 2 ? (2m ? 1) x ? m 2 的图象经过原点,且对称轴在 y 轴左侧,求 m。

14、二次函数的最小值是-3,并且图象与 x 轴交点的横坐标分别为 2 与 3,求其解析式。

15、已知抛物线 y ?

1 2 ,并且与 x 轴交于点 B(-1,0)和 x ? bx ? c 的图象经过点 A(-3,6) 2

点 C,顶点为 P。 (1)求这个二次函数的解析式; (2)求出此抛物线与 x 轴的两个交点,画出草图,直接写出 x 在什么范围内时,y>0?

16、一名运动员推铅球,铅球刚出手时 A 点离地面 m , 铅球落地点 B 距离铅球刚出手时相应的地面上的点为 10 米,铅球运行中最高点 M 离地面 3m,如图所示。已知铅球 经过的路线是抛物线,求此抛物线的解析式。 A O

5 3

y M

x B

6.3 二次函数与一元二次方程(1)
学习目标: 1、体会二次函数与方程之间的联系。理解二次函数图象与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的 个数之间的关系,及何时方程有两个不等的实根,两个相等的实根和没有实根。 2、理解一元二次方程的根就是二次函数 y=h(h 是实数)图象交点的横坐标. 学习过程: 一、课前预习: 在同一坐标系中画出二次函数 y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2 的图象并回答下列问题:

(1)每个图象与 x 轴有几个交点? (2)一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0 有几个根?验证:一元二次方程 x2-2x+2=0 有根吗? (3)比较二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和 x 轴交点的坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的根有什么关系? 二、学生观察、讨论交流 2 2 1、观察二次函数 y=x -2x-3 的图像你能确定方程 x -2x-3=0 的根吗? 2 (二次函数 y=x -2x-3 的图像与 x 轴的交点坐标分别是(-1,0) 和(3,0) 2 由此可知,当 x=-1 时,y=0 即 x -2x-3=0 也就是说 x=-1 是一元二次方程 2 2 2 x -2x-3=0 的一个根;当 x=3 时,y=0 即 x -2x-3=0 也就是说 x=3 是一元二次方程 x -2x-3=0 的另一 个根) y
4 3 2 1

-4 -3 -2 -1

O1 -1
-2 -3 -4

2

3

4

x

2、观察二次函数 y=x -6x-9 的图象说出一元二次方程 x -6x-9=0 的根情况 2 2 3、观察二次函数 y=x -2x+3 的图象说出一元二次方程 x -2x+3=0 的根情况 y y 4
3 2 1 -1 4 3 2 1

2

2

O1 -1 -2 -3 -4

2

3

4

5

6

7

x

-1

O1 -1 -2 -3 -4

2

3

4

5

6

7

x

三、讨论归纳新知: 2 2 1、二次函数 y=ax +bx+c 的 图象与一元二次方程 ax +bx+c=0 的根有如下关系: 2 ①二次函数 y=ax +bx+c 的 图象与 x 轴有两个公共点(x1,0) (x2,0) 时 2 一元二次方程 ax +bx+c=0 就有两个不相等的实数根 x1 和 x2 2 ②二次函数 y=ax +bx+c 的 图象与 x 轴有且只有一个公共点(x1,0)时 2 一元二次方程 ax +bx+c=0 就有两个相等的实数根 x1=x2 2 ③二次函数 y=ax +bx+c 的 图象与 x 轴没有公共点时 2 一元二次方程 ax +bx+c=0 就有没有实数根; 2 2 反之根据 ax +bx+c=0 的根的情况,可以知道二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴位置关系 2 2.你能利用 a、b、c 之间的某种关系判断二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴何时有两个交点、 一个交点,何时没有交点? 四、例题讲解 2 例 1、已知二次函数 y=kx -7x-7 的图象与 x 轴有两个交点,则 k 的取值范围为 .

例 2、抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴交于点 A(-3,0) ,对称轴为 x=-1,顶点 C 到 x 轴的距离为 2, 求此抛物线表达式.

2

五、课堂训练 1.抛物线 y=a(x-2) (x+5)与 x 轴的交点坐标为 2 2.抛物线 y=2x +8x+m 与 x 轴只有一个交点,则 m= . 2 3.已知抛物线 y=ax +bx+c 的系数有 a-b+c=0,则这条抛物线经过点 . 2 4.二次函数 y=kx +3x-4 的图象与 x 轴有两个交点,则 k 的取值范围 . 2 5.抛物线 y=3x +5x 与两坐标轴交点的个数为( ) A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.无 2 2 6.若 a>0,b>0,c>0,b -4ac>0,那么抛物线 y=ax +bx+c 经过 象限. 2 7.抛物线 y=x -2x-8 的顶点坐标是 __与 x 轴的交点坐标是________. 2 8.抛物线 y=3x +mx+4 与 x 轴只有一个交点,则 m= . 9.在平原上,一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度 y(m)与飞行时间 x(s)的关系满足 y=-

1 2 x +10x. 5
(1)经过多长时间,炮弹达到它的最高点?最高点的高度是多少? (2)经过多长时间,炮弹落在地上爆炸?

10.已知抛物线 y=mx +(3-2m)x+m-2(m≠0)与 x 轴有两个不同的交点. (1)求 m 的取值范围; (2)判断点 P(1,1)是否在抛物线上; 11.已知二次函数 y=x +mx+m-2.求证:无论 m 取何实数,抛物线总与 x 轴有两个交点.
2

2

6.4 二次函数的运用(1)
学习目标:
体会二次函数是一类最优化问题的数学模型.了解数学的应用价值,掌握实际问题中变量之 间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值.

学习过程:
一、 出示例题,学生自主探究、交流 某种粮大户去年种植优质水稻 360 亩,今年计划增加承租 x(100≤x≤150)亩,预计,原种 植的 360 亩水稻今年每亩可收益 440 元,新增地今年每亩的收益为(440-2x)元,试问,该种粮大

户今年要增加承租多少亩水稻,才能使总收益最大?最大收益是多少?

二、分组做一做 1、 某商店经营 T 恤衫,已知成批购进时单价是 2.5 元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如 下关系:在某一时间内,单价是 13.5 元时,销售量是 500 件,而单价每降低 1 元,就可以多售出 200 件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?

2、某果园有 100 棵橙子树,每一棵树平均结 600 个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量, 但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵 树,平均每棵树就会少结 5 个橙子. ⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系. ⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.? ⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在 60400 个以上?

三、学习方法归纳 1、根据实际 问题中的数量关系,提炼为二次函数的数学问题; 2、根据二次函数关系,求出最大值或最小值; 3、考查所得到的值是否符合实际问题的意义,明晰结论。 四、课堂训练 2 1.关于二次函数 y=ax +bx+c 的图象有下列命题: 2 ①当 c=0 时,函数的图象经过原点;②当 c>0 且函数图象开口向下时,方程 ax +bx+c=0 必

4ac ? b 2 有两个不等实根;③当 a<0,函数的图象最高点的纵坐标是 ;④当 b=0 时,函数的图象 4a
关于 y 轴对称.其中正确命题的个数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.某类产品按质量共分为 10 个档次,生产最低档次产品每件利润为 8 元,如果每提高一个档次每 件利润增加 2 元.用同样的工时,最低档次产品每天可生产 60 件,每提高一个档次将少生产 3 件, 求生产何种档次的产品利润最大? 3.某商场经营一批进价为 2 元一件的小商品, 在市场营销中发现此商品的日销售单价 x 元与日销售 量 y 件之间有如下关系:

x y

3 18

5 14

9 6

11 2

(1)在所给的直角坐标系甲中:①根据表中提供的数据描出实数对(x,y)的对应点;②猜测并 确定日销售量 y 件与日销售单价 x 元之间的函数表达式,并画出图象. (2)设经营此商品的日销售利润(不考虑其他因素)为 P 元,根据日销售规律: ①试求出日销售利润 P 元与日销售单价 x 元之间的函数表达式,并求出日销售单价 x 为多少元时, 才能获得最大日销售利润?试问日销售利润 P 是否存在最小值?若有, 试求出; 若无, 请说明理由. ②在给定的直角坐标系乙中, 画出日销售利润 P 元与日销售单价 x 元之间的函数图象的简图, 观察 图象,写出 x 与 P 的取值范围.

6.4 二次函数的应用(2)
学习目标: 掌握长方形和窗户透光最大面积问题, 体会数学的模型思想和数学应用价值. 学会分析和表示 不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识解决实际问题. 学习重点: 本节的重点是应用二次函数解决图形有关的最值问题, 这是本书惟一的一种类型, 也是二次函 数综合题目中常见的一种类型.在二次函数的应用中占有重要的地位,是经常考查的题型,根据图 形中的线段之间的关系,与二次函数结合,可解决此类问题. 学习难点: 由图中找到二次函数表达式是本节的难点,它常用的有三角形相似,对应线段成比例,面积公

式等,应用这些等式往往可以找到二次函数的表达式. 学习过程: 一、自学自研课本 25 页问题 1 分析: 根据制作要求,半圆形窗框的直径应与 的相等,由于窗框的总长度 已确定,所以矩形窗框的高也随 而确定,因此,要解决该窗透光面积最大 的问题,应建立窗户的透光面积与 之间的函数关系,然后 根据 求出 展示成果:请两名同学写出关系式 评价:指出解决问题的关键 二、做一做 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD,其中 AB 和 AD 分别在两直角边上. (1)设矩形的一边 AB=xcm,那么 AD 边的长度如何表示? (2)设矩形的面积为 ym2,当 x 取何值时,y 的最大值是多少?

三、知识梳理 找到函数关系式的方法。 1、利用几何图形的有关性质,探索量与量之间的关系,确定函数关系; 2、注意自变量的取值范围; 3、检查实际意义的准确性。 四、课堂训练 1、如图⑴,在 Rt△ABC 中,AC=3cm,BC=4cm,四边形 CFDE 为矩形,其中 CF、CE 在两直角边上, 设矩形的一边 CF=xcm.当 x 取何值时,矩形 ECFD 的面积最大?最大是多少?

如图⑵,在 Rt△ABC 中,作一个长方形 DEGF,其中 FG 边在斜边上,AC=3cm,BC=4cm,那么长方 形 OEGF 的面积最大是多少?

如图⑶,已知△ABC,矩形 GDEF 的 DE 边在 BC 边上.G、F 分别在 AB、AC 边上,BC=5cm,S△ABC 为 30cm ,AH 为△ABC 在 BC 边上的高,求△ABC 的内接长方形的最大面积.
2

2、甲、乙两人进行羽毛球比赛,甲发出一颗十分关键的球,出手点为 P ,羽毛球飞行的水平距离

s (米)与其距地面高度 h (米)之间的关系式为 h ? ?
原点 5 米,乙(用线段 CD 表示)扣球的最大高度为

1 2 2 3 s ? s ? .如图,已知球网 AB 距 12 3 2

9 米,设乙的起跳点 C 的横坐标为 m ,若乙 4
h/米 D P B s/米

原地起跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接 球失败,则 m 的取值范围是 .

6.4 二 次 函 数 的应用(3)
学习目标:

O

A C

了解数学的应用价值,掌握实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求 出实际问题的最大值、最小值.

学习难点:
本节难点在于能正确理解题意,找准数量关系.建立直角坐标系。

学习过程:
一、 自主学习,相互探究课本 27 页的问题 2 1、本课时将探索由形(函数图像)到数(函数关系式)的实际问题,这里的“形”是由运动产生 的,一旦运动停止, “形”便消失,确定这些隐性的函数关系式,并进行有效调控,可以使实际问 题获得理想的解决。 2、根据 D 点的几何性,确定其坐标; 3、给出符合实际的解释。

二、分组做一做
1、在平原上,一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度 y(m)与飞行时间 x(s)的关系满足 y=-

1 2 x +10x. 5
(1)经过多长时间,炮弹达到它的最高点?最高点的高度是多少? (2)经过多长时间,炮弹落在地上爆炸?

2、 如图所示,桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA,O 恰在水面 中心,OA=1.25m.由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使 水流形状较为漂亮,要求设计成水流在离 OA 距离为 1m 处达到距水面最大高度 2.25m. (1)如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少 m,才能使喷出的水流不致落到池外? (2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为 3.5m,要使水流不落到池外,此时水流的最 大高度应达到多少 m(精确到 0.1m)?

三、收获与学法归纳
1、探索问题解决的总体思路和方案; 2、合理的建立平面直角坐标系;将抛物线形的事物数学化; 3、根据平面坐标系中的图像特征,探求抛物线的解析式; 4、对求得的结果要进行科学的取舍。 四、课堂训练 1.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物, 如图所示, 大门地面宽 AB=4m, 顶部 C 离地面高度为 4. 现 4m. 有一辆满载货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面 2.8m,装货宽度为 2.4m.请判断这辆汽车

能否顺利通过大门.

2.一个涵洞成抛物线形,它的截面如图现测得,当水面宽 AB=1.6 m 时,涵洞顶点与水面的距离为 2.4 m.这时,离开水面 1.5 m 处,涵洞宽 ED 是多少?是否会超过 1 m?

回顾与思考(2 课时)
知识目标: 1、了解二次函数解析式的三种表示方法; 2、抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴以及抛物线与对称轴的交点坐标等; 3、一元二次方程与抛物线的结合与应用。 4、利用二次函数解决实际问题。 复习过程: 一、知识梳理

1、二次函数的概念及一般形式。 2、填表: 抛物线 y=ax
2 2

对称轴

顶点坐标

开口方向

Y=ax +k Y=a(x-h)
2 2

当 a>0 时, 开口 当 a<0 时, 开口

y=a(x-h) +k Y=ax +bx+c
2

3、二次函数 y=ax +bx+c,当 a>0 时,在对称轴右侧,y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 ;当 a<0 时,在对称轴右侧,y 随 x 的增大而 随 x 的增大而 2 4、抛物线 y=ax +bx+c,当 a>0 时图象有最 点,此时函数有最 时图象有最 点,此时函数有最 值

2

,在对称轴左侧, , 在对称轴左侧,y 值 ;当 a<0

二、探究、讨论、练习
已知二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示,试判断下面各式的符号: 2 (1)abc (2)b -4ac (3)2a+b (4)a+b+c
2

2、如图,用长为 18 m 的篱笆(虚线部分) ,两面靠墙围成矩形的苗圃. (1)设矩形的一边为 x (m) ,面积为 y (m ),求 y 关于 x 的函数关系式,并写出自变
2

量 x 的取值范围; (2)当 x 为何值时,所围苗圃的面积最大,最大面积是多少?

3、某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成,如图所示,其拱形图形为抛物线的 一部分,栅栏的跨径 AB 间,按相同的间距 0.2 米用 5 根立柱加固,拱高 OC 为 0.6 米. (1) 以 O 为原点,OC 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系,请根据以上的数据,求 出抛物线 y=ax 的解析式; (2)计算一段栅栏所需立柱的总长度. (精确到 0.1 米)
2

三、归纳小结: 提问:通过本节课的练习,你学到了什么知识? 四、用数学(利用二次函数解决实际问题) 一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为 2.5 米时,达到的最大高度是 3.5 米,然后准确落入篮圈,已知篮球中心到地面的距离为 3.05 米, (1)根据题意建立直角坐标系,并求出抛物线的解析式。 (2)该运动员的身高是 1.8 米,在这次跳投中,球在头顶上方 0.25 米,问:球出手时,他跳离 地面的高度是多少?

五、课堂训练 一、填空题: 1.抛物线 y ? ?

1 ?x ? 2?2 ? 5 的对称轴是 2
2

.这条抛物线的开口向
2

. . .

2.用配方法将二次函数 y ? 3x ? 2 x ? 1 化成 y ? a? x ? h ? ? k 的形式是 3.已知二次函数 y ? x ? bx ? 3 的图象的顶点的横坐标是 1,则 b=
2

4.二次函数 y ? ? x ? 4 x 的图象的顶点坐标是
2

,在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而

5.若抛物线 y ? 4 x ? 2 x ? c 的顶点在 x 轴上,则 c=
2

. .

6.已知二次函数 y ? x ? 6 x ? m 的最小值是 1,那么 m 的值是
2

7.若抛物线 y ? mx ? ?2m ? 1?x 经过原点,则 m=
2

.

二、选择题: 8.抛物线 y ? 2?x ? 1??x ? 3? 的顶点坐标是( (A)(-1,-3); (B)(1,3);
2

). (D)(1,-8);

(C)(-1,8);

9.对于抛物线 y ? 2 x ? 12 x ? 17 ,下列结论正确的是( ). (A)对称轴是直线 x=3,有最大值为 1;(B)对称轴是直线 x=3,有最小值为-1; (C)对称轴是直线 x=-3,有最大值为 1;(D)对称轴是直线 x=-3,有最小值为-1; 10. 二次函数 y=mx2+m-2 的图象的顶点在 y 轴的负半轴上, 且开口向上, m 的取值范 围为 ) 则 ( A.m>2 B.m<2 C.0<m<2 D.m<0 11.二次函数的图象如图 2 所示,则它的解析式为( ) A.y=x2-4 C.y= B.y=4-x2 D.y=

3 (4-x2) 4
2

3 (2-x2) 4

12.抛物线 y ? x ? 3x ? 2 不经过( ). (A)第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限 13.已知抛物线的顶点坐标是(2,1), 且抛物线的图象经过(3,0)点, 则抛物线的解析式是( ). (A) y ? ? x ? 4 x ? 3 , (B) y ? ? x ? 4 x ? 3 ,(C) y ? x ? 4 x ? 3 ,(D) y ? ? x ? 4 x ? 3 ,
2 2 2 2

三、解答下列各题: 14.已知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象经过 A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,求这个二次函数的
2

解析式. 15.某商人如果将进货价为 8 元的商品按每件 10 元出售,每天可销售 100 件,现采用提高售出价, 减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每涨价 1 元其销售量就要减少 10 件,问他将售出价 定为多少元时,才能使每天所赚的利润最大?并求出最大利润.

16、在同一坐标系中,画出函数 y=

1 (x-1)2+1 和 2

函数 y=

1 (x+2)2-1 的图象,?并回答下列问题: 2
1 1 (x+2)2-1 经过怎样的平移可得到抛物线 y= (x-1)2+1? 2 2

(1)分别指出这两条抛物线的对称轴和顶点坐标; (2)抛物线 y=

17、如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数 y ? a( x ? 2) ? 1 图像的顶点为 P,与 x 轴
2

交点为 A、B,与 y 轴交点为 C,连结 BP 并延长交 y 轴于点 D。 (1)写出点 P 的坐标; (2)连结 AP,如果△APB 为等腰直角三角形,求 a 的值及点 C、D 的坐标;


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