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20-3.1不等关系与不等式


新授课 3.1 不等关系与不等式
一、【教学目标】
重点:用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值,理解 不等式的性质及其证明. 难点:用不等式或不等式组准确地表示出不等关系;利用不等式的基本性质证明不等式. 知识点:实数比较大小的基本事实,作差比较法.不等式的性质及其简单应用. 能力点:如何探寻不等式的性质. 教育点:感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,体会数学在生活中的重要作用,培养严谨 的思维习惯. 自主探究点:探究比较两个实数大小的其它方法,如:作商法.如何运用不等式证明不等式. 训练点:用不等式来研究含有不等关系的问题;比较实数或代数式的大小关系. 考试点:作差法在比较大小和证明不等式上的应用,不等式的性质的应用. 易错点:作差变形不彻底,无法正确判定正负;运用不等式的性质时忽略前提条件,同向不等式相减. 易混点:不能正确区分常用词语所表示的不等关系,如:“不大于”和“小于”等. 拓展点:运用作商法比较两式的大小.

二、【引入新课】
在我们现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系.如: 引例 1:限速 5 km h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度 v 不超过 5 km h ; 引例 2:今天的天气预报说:今日天气多云,气温 23 ~ 11?C .

多云 23~11℃
我们可以用数学符号来表示这两个例子中的不等关系,即:(1) v ? 5 ;(2)气温 11 ? T ? 23 . 由此,我们经常用不等式来表示含有不等关系的问题.(教师可以借助多媒体向学生展示更多的不等关系 问题) 【设计意图】 结合日常生活中的问题引入创设情境,让学生进一步感受生活中存在着大量的不等关系, 并可以用数学方式即不等式来表达,体会实际问题转化为数学问题的过程.

三、【探究新知】
探究一:用不等式来研究含有不等关系的问题 问题 1:设点 A 与平面 ? 的距离为 d , B 为平面 ? 上的任意一点,则 d ?| AB | . 问题 2:某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售,可以售出 8 万本.据市场调查,若单价每提高 0.1 元,销售 量就可能相应减少 2000 本.若把提价后杂志的定价设为 x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于 20 万元呢? 师生活动:师生共同分析问题并给出解答:设杂志社的定价为 x 元,则销售的总收入为 (8 ? 万元,那么不等关系:“销售的总收入仍不低于 20 万元”可以表示为不等式 (8 ?

x ? 2.5 ? 0.2) x 0.1

x ? 2.5 ? 0.2) x ? 20 . 0.1

问题 3:某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种.按照生产的要求,600mm 的数 量不能超过 500mm 钢管的 3 倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢?

师生活动:师生共同分析:假设截得 500mm 的钢管 x 根,截得 600mm 的钢管 y 根.根据题意,应有如下的 不等关系: (1)截得两种钢管的总长度不超过 4000mm; (2)截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍; (3)截得两种钢管的数量都不能为负. 要同时满足上述的三个不等关系,可以用下面的不等式组来表示:

?500 x ? 600 y ? 4000; ?3x ? y; ? ? ? x ? 0; ? ? y ? 0.
【设计意图】通过三个问题让学生进一步感受不等关系,并学会用不等式来研究含有不等关系的问题,即 学会建立不等式模型来表达实际问题. 探究二:比较实数大小的基本事实 问题 4:实数可以比较大小,对于两个实数 a,b,其大小关系有哪几种可能? 问题 5:如果两个实数的差是正数,那么这两个实数的大小关系如何?反之成立吗?如何用数学语言描述 这个原理?差为负数或零又怎么样呢? 【设计意图】通过 2 个问题的思考,让学生一步步对实数大小的比较的事实进行理解.教师应着重指出它 的作用:建立大小比较与差的关系,并且是等价命题. 探究三:不等式的性质 性质 1:如果 a ? b ,那么 b ? a ;如果 b ? a ,那么 a ? b . 性质 2:如果 a ? b , b ? c ,那么 a ? c . 问题 6: 不等式的性质 1 和 2 如何证明? 【设计意图】通过学生对性质 1 和性质 2 的证明可以巩固前面的实数比较大小的方法,即作差法. 问题 7:同学们能证明不等式的基本性质: a ? c ? b ? c 吗? 证明:

? (a ? c) ? (b ? c) ? a ? b ? 0 ?a ? c ? b ? c

于是,我们得到了不等式的基本性质:

(1)a ? b ? a ? c ? b ? c ; (2)a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ; (3)a ? b, c ? 0 ? ac ? bc .
问题 8:利用上述不等式的性质,证明不等式的下列性质:

(1)a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (2)a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd

(3)a ? b ? 0, n ? N , n ? 1 ? an ? bn , n a ? n b
证明: (1) ? a ? b,? a ? c ? b ? c ① ②

? c ? d ,?b ? c ? b ? d

由①,②得 a ? c ? b ? d

(2)

a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ? ? ? ac ? bd c ? d , b ? 0 ? bc ? bd ?

(3) 假设 n a ? n b
n

则:若
n

a ? n b ?a?b a ? n b ?a?b

这都与 a ? b 矛盾.

?n a ? n b .
【设计意图】 让学生用刚学过新知证明问题, 让学生亲身感受证明严谨性的同时, 加深对所证问题的印象, 为下一步的应用作准备.问题(3)的证明,也可借助函数的单调性.

四、【理解新知】
1.通过不同类型的含有不等关系的问题,让学生感受并学会结合具体问题建立不等式模型.特别是结合实 际问题的实际意义,能把所有的不等关系找全,找对. 2.要比较两个实数的大小, 可以考察这两个实数的差. 所以可以用作差法来进行实数(或式)的比较大小. 这 好比站在同一水平面上的两个人,只要看一下他们的差距,就可以判断他们的高矮了.而在作差变形环节 我们可以采用配方法、因式分解或通分等方法来处理,以达到方便判定符号的目的. 3.常用的不等式的基本性质 (1) a ? b, ? b ? a (2) a ? b, b ? c ? a ? c (对称性) (传递性)

(3) a ? b, ? a ? c ? b ? c (可加性) (4) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (可乘性) (5) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (6) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (同向可加性) (同向同正可乘性) (可乘方性) (可开方性)

(7) a ? b ? 0, ? an ? bn ,(n ? N , n ? 1) (8) a ? b ? 0, ? n a ? n b ,(n ? N , n ? 2) 师:注意①同向不等式不能相减 ②异向不等式不能相加

③不等式两边同乘以或同除以一个负数,不等式要变号

【设计意图】对新知进行系统的归纳,为准确运用新知作必要的铺垫. 五、【运用新知】 c c 例 1.已知 a ? b ? 0, c ? 0 求证: ? a b. 1 ? 0. 证明:因为 a ? b ? 0 ,所以 ab ? 0, ab

于是

a?

1 1 ? b? , ab ab 1 1 ? . b a c c ? . a b

即 由 c ? 0, 得

变式训练:1.已知 a ? b, e ? f , c ? 0, 求证: f ? ac ? e ? bc. 2.若 bc ? ad ? 0, bd ? 0, 求证: 证明:(1)? a ? b, c ? 0,

a?b c?d ? . b d

? ac ? bc,??ac ? ?bc. ? f ? e,? f ? ac ? e ? bc. (2)? bc ? ad ? 0,? ad ? bc, bd ? 0, a c a c ? ? ,? ? 1 ? ? 1, b d b d a?b c?d ? ? . b d
规律方法:1.解决此类问题,应在计准不等式的性质的基础上灵活运用,不能随意构造性质与法则. 2.推导过程中,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可忽略条件或跳步推导. 【设计意图】 培养学生灵活应用的能力及良好的解题习惯,进而提高其逻辑思维能力. 例 2.当 p 、 q 都为正数且 p ? q ? 1 时,试比较代数式 ( px ? qy) 2 与 px2 ? qy2 的大小. 解: ( px ? qy) 2 - px2 ? qy2 = p? p ? 1?x 2 ? q?q ? 1?y 2 ? 2 pqxy. 因为 p ? q ? 1 ,所以 p ? 1 ? ?q, q ? 1 ? ? p. 因此 ( px ? qy) 2 - px2 ? qy2 = ? pq x 2 ? y 2 ? 2xy ? ? pq?x ? y ?
2

?

?

?

?

?

?

2

因为 p, q 为正数,所以 ? pq?x ? y ? ? 0 ,因此 ( px ? qy) 2 ? px2 ? qy2 . 当且仅当 x ? y 时,不等式中等号成立. 规律方法:1.用作差比较法来比较两个实数的大小,其一般步骤是:作差——变形——判断符号 2.在步骤中,重要的是变形,变形到容易判断符号的形式. 3.回顾,证明函数单调性过程中作差比较法的应用. 变式训练:3.比较 x ? x 和 x ? 2 的大小.
2
王新敞
奎屯 新疆

解: x 2 ? x ? ?x ? 2? ? x 2 ? 2x ? 2 ? ?x ? 1? ? 1
2 2 ? ?x ? 1? ? 0 ,? ?x 2 ? x? ? ?x ? 2? ? 0 ,因此 x 2 ? x > x ? 2 .

?

?

【设计意图】通过例题让学生体会作差比较法的应用,例题的化简有点难度,也可设计较为容易一点的题目. 再通过练习,让学生体会作差比较法,并体会重要步骤“作差变形”如何进行.练习题可以让学生板演展示. 例 3.已知 1 ? a ? 4, 2 ? b ? 8 .试求 2a ? 3b与a ? b 的取值范围. 解:?1 ? a ? 4, 2 ? b ? 8

? 2 ? 2a ? 8,6 ? 3b ? 24
? 8 ? 2a ? 3b ?? 32 ?2 ? b ? 8 ??8 ? ?b ? ?2 又?1 ? a ? 4

?1 ? (?8) ? a ? (?b) ? 4 ? (?2)
即 ?7 ? a ? b ? 2 故 2a ? 3b 的取值范围是 (8,32) , a ? b 的取值范围是 (?7, 2) . 变式训练:4.已知 ?6 ? a ? 8, 2 ? b ? 3, 求 解:? ?6 ? a ? 8, 2 ? b ? 3

a 的取值范围. b

1 1 1 ? ? ? , 3 b 2 a ? 4; b a ② 当-6<a<0时,-3< ? 0 .由(1)(2)得: b a ?3 ? ? 4 . b
② 当0 ? a<8时,0 ? 规律方法:不等式两边同乘以一个正数,不等号方向不变,同乘以一个负数,不等号方向改变,求解中, 应明确所乘数的正负。

六、【课堂小结】
知识方面: 1.认识生活中的不等关系,用不等式(组)来表示问题中的不等关系. 2.实数比较大小的基本原理. 3.用作差法来比较大小. 4. 不等式的性质及其简单应用. 思想方法:

通过本节课学习,在研究数学问题时要掌握从特殊到一般的数学思想. 七、【布置作业】
必做题: 课本 75 页,A 组,第 5 题 ,B 组,第 1,2 题. 选做题: 1.如果 30 ? x ? 42,16 ? y ? 24, 求 x ? y, x ? 2 y,

x 的取值范围. y

2.思考比较大小的其他方法,如作商法,并用作商法求解变式 2.

八、【教后反思】
本教案的亮点是讲练结合.把课堂还给学生,由学生归纳并板演;特别是作差后的变形,有些同学掌握并 不太好,通过展示学生做的,带动没有找到思路的学生. 同时注意培养学生数学素养和数学探究,能力以问 题的形式给出性质,充分发挥学生的主动性,体现出自主探究的过程,体验到了探寻数学规律的乐趣,符 合新课改精神.让学生感受生活中的数学问题.

本节课的不足之处一是知识点较多,例题、练习不能全部覆盖知识点;二是课容量较大,证明的严谨性不 是一蹴而就的,建议教师在使用本教案时灵活.

九、【板书设计】
3.1 不等关系与不等式 一.用不等式来研究含不等关系的问题 例 2. 二.比较实数大小基本事实: 三.不等式的性质 性质 1: 变式训练: 性质 2: 性质 3: 性质 4: 例 3. 性质 5: 性质 6: 性质 7: 变式训练: 性质 8: 四.应用 例 1. 五.课堂小结

变式训练:


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