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第三届泛珠三角力学竞赛参考解答


第三届泛珠三角力学竞赛参考解答
【例 1】 :解: M ? mg ? ma N=0 a=g

x ? v0 cos? ? t y ? v0 sin ? ? t ? 1 2 gt 2

1 x2 ? y ? x ? tg? ? g ……抛物线 2 v0 c o 2 s?

【例 2】 :解:设圆柱体质心 C 距圆心距离为 x:

R 2 R 2 R ? 2 ? ??R ? L ? ? ? ? ( 2 ) L ? ? ? ? x ? ? ( 2 ) L ? ? ? 2 ? ?


x?

R 6
/

2 m ? 2 ?R? ? 3 空洞柱体的质量 m ? ??R ? ? ? ? ? ? m ?R 2 ? ?2? ? ? ? 4

对 A 点力矩平衡: F ? 2 R ? m g ? x
/

∴F ?

1 mg ? 6.025 N 16

另法:若在左侧挖一个同样的圆孔即可平衡 ?m ? 只需平衡挖出柱体产生力矩即可 【例 3】解: (1)对 A 球: m1 g sin? ? T cos? ……① 对 B 球: m2 g sin( 由①②得

1 mg 4 R 1 ∴F ? F ? 2 R ? ?m ? mg 2 16

?

? ? ) ? T cos( ? ? ) 2 2
∴ ? ? arctg

?

→ m2 g cos? ? T sin ? ……②

tg? ?

m2 tg? m2

m2 m1tg?

(2)对 A 球:

N1 ? m1 g cos? ? T sin ?

……③ ……④

对 B 球: N 2 ? m2 g sin ? ? T cos? 由①③ 得 由②④得 由①②得

N1 ? (m1 ? m2 ) g cos? N 2 ? (m1 ? m2 ) g sin?
T ? m1 sin 2 ? ? m 2 cos2 ? ? g
2 2

v Mm 【例 4】 :解:(1)在半径为 r 的轨道: G 2 ? m 1 r r
由能量守恒: ? G

2

2 → mv1 ?

GMm ……① r
GM R (2 ? ) R r

Mm 1 2 Mm 1 2 ? mv1 ? ?G ? mv1 R 2 r 2 Mm R2
代入得

代入① 有 v ?

又地表处: mg ? G

v ? Rg (2 ?

R ) r

(2)因 r>>R,故当 r=R 时 有 v min ? 当 r→∞时 有 v max ?

Rg ? 8.0 ? 10 3 m / s

2 Rg ? 1.13 ? 10 4 m / s

【例 5】 解:系统水平方向动量守恒,故 m 停在 C 点时,M 的速度也为零, 由能量守恒: ?mg ? l 0 ? mgr ∴? ?

r l0

【例 6】解: (1)系统水平方向动量守恒,设双斜面右移 x:

m1 (l cos?1 ? x) ? m2 (l cos? 2 ? x) ? Mx
∴x ?

(m1 cos? 1 ? m2 cos? 2 )l M ? m1 ? m2

(2)设斜面加速度 a,以斜面为参照系(非惯性系) 对 m1 ,不离开斜面: N1 ? m1a sin ?1 ? m1 g cos?1 对 m 2 ,也有: N 2 ? m2 a sin ? 2 ? m2 g cos? 2 对 M:

T cos? 2 ? N1 sin ?1 ? T cos?1 ? N 2 sin ? 2 ? Ma

又 m1 m2 相对 M 沿绳方向加速度相同

m1 g sin ? 1 ? m1 a cos? 1 ? T m2 a cos? 2 ? T ? m2 g sin ? 2 ? m1 m2
联立得

a?

(m1 sin ? 1 ? m2 sin ? 2 )( m1 cos? 1 ? m2 cos? 2 ) g (m1 ? m2 ? M )( m1 ? m2 ) ? (m1 cos? 1 ? m2 cos? 2 ) 2
∴ mgh ?

【例 7】解: (1)接触地面两球速度 v 0

1 2 mv0 2

v 0 ? 2 gh

碰地后 下球原速度返回与 m 发生弹性碰撞,设碰后两球速度分别为 v1 v 2 ,取向上为正方



Mv0 ? mv 0 ? Mv2 ? mv1 v1 ? v 2 ? 2v0

3M ? m v0 M ?m → M ? 3m v2 ? v0 M ?m v1 ?
h1 ? 4h0

h1 ?

v12 3M ? m 2 ?( ) h0 2g M ?m

(2)当 M ? 3m 时, v2 ? 0

即下球碰后静止,上球上升到 4h0 处

m ? ?3? M h1 ? ? ? 1? m ? M ?

? ? ? h0 ? ? ?

2

故当

m ? 0时 M

h 有最大值 9h0 ,即 m??M

【例 8】解: (1)系统动量守恒

P0 ? P1 cos? ? P2 cos ? P1 sin ? ? P2 sin ?
2 2



( P0 ? P1 cos? ) ? P2 cos ? P1 sin ? ? P2 sin ?
……①(也可由余弦定理直接得到)

∴ P0 ? 2 P0 P 1 cos? ? P 1 ? P 2 又

2

E0 ? E1 ? E 2 P 2 ? 2mE

……②

②代入①

2mE 0 ? 2 2mE 0 ? 2mE1 cos? ? 2mE1 ? 2M ( E0 ? E1 )



m cos? E1 2 M ? m E0 1? M

E1 1 ? ? E0 1 ?

m M m M

?0



?2 ?

2k cos? 1? k M? ?0 1? k 1? k
0

(2)将 ? ? 90

E E 1 1 ?1? k ? 代入上式, 有 1 ? ,经 n 次碰撞应有 n ? ? ? E0 ? 3 ? E0 3 2
得 0.001 ? ( )

n

令 E n ? 0.001 E 0 ,

1 3

n

∴ n ? 6.287 即要碰撞 7 次

(3)与氧原子碰撞时值 k 变小 故 ? 值变大,即减速效果差
2

?2 ?

1? k 1? k


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