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1.1.2集合间的基本 关系


思考:
观察下面两个例子,你能发现两个集合间的关系 吗?

(1) A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}
(2) 设A为高一(1)班全体女生组成的集合,B为

高一(1)班全体学生组成的集合。
共性:集合A中的任何一个元素都是集合B的元素

对于两个集合A,B,如果集合A中任意

一个元 素都是B中的元素,就说这两个集合有包含关系, 称集合A为集合B的子集,记作:A?B(或B?A)。

读作:“A含于B”(或B 包含A)
数学语言表示形式:

若对任意x∈A,有x∈B,则 A?B。
若A不是B的子集,则记作:A?B(或B ?A)

例:A={2,4},B={3,5,7} ; 则A?B。

A?B的图形语言

用平面上封闭 的曲线的内部 表示集合这图 叫Venn图

B

A

2:数轴 表示实数取值范围的集合,往往用数 轴直观表示。

如:{x| x>3}表示为

0

2

3

4

5

x

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3:集合相等
?

等腰三角形 的定义是?

对于C={x|x是两条边相等的三角形},D={x|x 是等腰三角形},因此集合C,D都是表示等腰三角形 组成的集合,即集合C中任一元素都是集合D中的元 素。集合C等于集合D。 ? 用子集概念描述:如果集合A 是集合B的子集 ? (A B 且集合B也是集合A的子集( B A? )就说A与 B相等,记A=B。即 A?B, B?A?A=B。

类似于a≥b,b≥a则a=b

4:真子集 ----- 如果集合A?B,但存在元素 x∈B,且x ?A,称集合A是集合B 的真子集记A?B,或B?A。 例:A={1,2},B={1,2,3}则有A?B。 5:空集---不含有任何元素的 集合,记?。 空集是任何集合的子集,即? ?A 例:{x | x? +1=0,x ∈R},{边长为3, 5, 9的三角形}等都是空集。 空集是任何非空集合的真子集,即? ?A

6:子集有关的性质。

(1)任何一个集合是它本身的子集,即 A?A; (2) A?B, B?C? A?C;

A?B, B?C ? A?C。
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(1)写出集合{a,b}的所有子集;
(2)写出集合{a,b,c}的所有子集; (3)写出集合{a}的所有子集;

做一做

(4)写出?的所有子集. 请归纳出规律来!
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练一练

元素个数与集合子集个数的关系:
集合

?
{a} {a,b} {a,b,c} {a,b,c,d} …

集合元素的个数 集合子集个数 0 1

1 2 3 4 … n个元素

2 4 8 16 …

2n

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试一试

例:以下六个写法错误写法的个数( )
①{0} ∈ {0,1}
⑤Z={全体整数}

② ? ?{0}
⑥{(0,0)}={0}

③{0,-1,1} ?{-1,0,1} ④0 ∈ ?

做一做 例4:已知A{x|x=8m+14n,m,n ∈Z} , B ={x|x=2k,k ∈Z。 问题:(1)数2和集合A的关系如何? (2)集合A与集合B的关系如何 分析(1):2是否属于A,即2能否表示成 8m+14n形式; (2):判断两个集合A,B的关系先考察包 含关系,即A?B, B?A是否成立?两个都成立 则A=B。只有一个方面成立考虑是否是真子集如 两方都不成立则两集合不具备包含关系。

总结: 集合与集合之间的关系用包含,相等,真包 含来描述。 1、反身性:任何集合是它自身的子集,即 A?A; 2、传递性:如果A是集合B的子集,集合B是集合 C的子集那么集合A 是集合C的子集。即

若A ? B,且B ? C,则A ? C
3、空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真 子集。即 ? ? A

作业:


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