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高中数学——数列部分题目汇总及详细答案


1.已知在等差数列中, a1 =1, a8 =6,则 S8 等于( A.25 B.26 C.27 D.28

)

1.【答案】D。解析: S8

= 4(a4 + a5 ) = 4(a1 + a8 ) = 28 ,故选 D。
) D.48 C.29

2.在等差数列{an}中,a2+a5=

19,S5=40,则 a10=( A.24 B.27

?2a1+5d=19, ?a1=2, ? ? 2. 【答案】 C 。解析:由已知 ? ,解得 ? ∴a10 = 2 + 9× 3 = 29 ,故选 ?5a1+10d=40. ? ? ?d=3.

C。

3.设数列{(-1) A.-2011

n-1

·n}的前 n 项和为 Sn,则 S2011 等于( B.-1006 C.2011

) D.1006

3.【答案】D。解析:数列{(-1)n-1·n}为 1,-2,3,-4,5,-6,……,(-1)n-
1

·n,……,相邻两项之和为-1;当 n=2011 时,S2011=1005 ×(-1)+2011=1006,故

选 D。

4.设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 , 前 n 项和为 S n ,则

S4 ?( a2



A.2

B.4

C.

15 2

D.

17 2

4.【答案】C。解析:
2 3 1 1 15 S 4 a1 + a1q + a1q + a1q = + 1 + q + q 2 = + 1 + 2 + 4 = ,故选 C。 ? a1q q 2 2 a2

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 5.已知数列{an}: , + , + + , + + + ,…,那么数列{bn}={ }前 n 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 anan+1 项的和为( A.4(1- ) 1 ) 1 1 1 B.4( - ) C.1- 2 n+1 n+1 1 1 D. - 2 n+1

n+1

n?n+1? 2 1+2+3+…+n n 5.【答案】A。解析:.∵an= = = , 2 n+ 1 n+ 1 1 4 1 1 ∴bn= = =4( - ). n n+ 1 anan+1 n?n+1?

∴Sn=4(1-

n+1),故选 A。

1

6.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ,分别求其通项公式。 (1) S n ? 3n ? 2

(2) S n ?

1 ( a n ? 2) 2 8

(a n ? 0)

6.【答案】解析:(1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 31 ? 2 ? 1 ,当

n ? 2时, an ? S n ? S n?1 ? (3n ? 2) ? (3n?1 ? 2)
? 2 ? 3n ?1
又 a1 ? 1 不适合上式,故 an ? ? (2) 当n ? 1时, a1 ? S1 ?

? 1 n ?1 ?2 ? 3

(n ? 1) (n ? 2)

1 (a1 ? 2) 2 , 解得 a1 ? 2 8

当n ? 2时, a n ? S n ? S n ?1 1 1 ? (a n ? 2) 2 ? (a n ?1 ? 2) 2 8 8
所以 (an ? 2) 2 ? (an?1 ? 2) 2 ? 0 所以 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 4) ? 0 又 an ? 0, 所以an ? an?1 ? 4 ,可知 ?an ? 为等差数列,公差为 4 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? (n ? 1) ? 4 ? 4n ? 2

a1 ? 2 也适合上式,故 an ? 4n ? 2 。
7.已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 7.【答案】2 .解析:由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1 ? 2[(n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1 (n ? 1)n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)(n ? 1) ? 1 ?2 ? n2

8.已知数列 ?an ? 满足 a1 ?
2

2 n a n ,求 an . , a n ?1 ? 3 n ?1
an?1 n ,分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) , ? an n ?1

8.【答案】3 .解析:由条件知

代入上式得 (n ? 1) 个等式累乘之,即

1 2 3 n ?1 a a a 2 a3 a 4 1 ? ? ? ?????? ? n ? ? ? ? ??????? ? n ? n a1 a2 a3 an?1 2 3 4 a1 n
又? a1 ?

2 2 ,? a n ? 3 3n

9.已知数列 {an } 中, a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式。 9.【答案】解析:? an ? 2an?1 ? 1(n ? 2), ? an ? 1 ? 2(an?1 ? 1) 又? a1 ? 1 ? 2,??an ? 1? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列 ? an ? 1 ? 2n ,即

an ? 2n ?1
n?1 10.已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 4 ? 3 ,a1 ? 1,求数列 ?an ? 的通项公式。 n n?1 10.【答案】解法一(待定系数法):设 an?1 ? ?1 3 ? ?2 (an ? ?1 ? 3 ) ,比较系数

得 ?1 ? ?4, ?2 ? 2 ,
n ?1 1?1 则数列 an ? 4 ? 3 是首项为 a1 ? 4 ? 3 ? ?3 ,公比为 2 的等比数列,

?

?

所以 an ? 4 ? 3

n?1

? ?3 ? 2n?1 ,即 an ? 4 ? 3n?1 ? 3 ? 2n?1
n ?1

解法二(两边同除以 q 析略.

): 两边同时除以 3n ?1 得:

an ?1 2 an 4 ? ? ? ,下面解 3n ?1 3 3n 32

解法三(两边同除以 p 解析略.

n ?1

): 两边同时除以 2 n ?1 得:

a n ?1 a n 4 3 n ? ? ? ( ) ,下面 2 n ?1 2 n 3 2

2Sn 1 2 11.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=1, =an+1- n2-n- ,n∈N*. n 3 3 (1)求 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式. 1 2 11.【答案】 (1)a2=4 (2)an=n2 。解析:(1)依题意,2S1=a2- -1- ,又 S1=a1 3 3 =1,所以 a2=4;

1 2 1 (2)由题意 2Sn=nan+1- n3-n2- n,所以当 n≥2 时,2Sn-1=(n-1)an- (n-1)3-(n- 3 3 3 2 1 2 1)2- (n-1),两式相减得 2an=nan+1-(n-1)an- (3n2-3n+1)-(2n-1)- ,整理得(n+ 3 3 3 1)an-nan+1=-n(n+1),即 an+1 an a2 a1 ?an? a1 - =1,又 - =1,故数列? n ?是首项为 =1,公差为 2 1 1 ? ? n+1 n

an 1 的等差数列,所以 =1+(n-1)× 1=n,所以 an=n2. n 12.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{Sn}的前 n 项和为 Tn,满足 Tn=2Sn-n2,n∈N*. (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式. 12.【答案】 (1)a1=1 (2)an=3× 2n 1-2 。解析:(1)令 n=1 时,T1=2S1-1,∵T1


=S1=a1,∴a1=2a1-1,∴a1=1.(2)n≥2 时,Tn-1=2Sn-1-(n-1)2,则 Sn=Tn-Tn-1=2Sn -n2-[2Sn-1-(n-1)2]=2(Sn-Sn-1)-2n+1=2an-2n+1.因为当 n=1 时,a1=S1=1 也满 足上式,所以 Sn=2an-2n+1(n≥1),当 n≥2 时,Sn-1=2an-1-2(n-1)+1,两式相减得 an =2an-2an-1-2,所以 an=2an-1+2(n≥2),所以 an+2=2(an-1+2),因为 a1+2=3≠0,所 以数列{an+2}是以 3 为首项,公比为 2 的等比数列.所以 an+2=3× 2n 1,∴an=3× 2n 1-2,
- -

当 n=1 时也成立,所以 an=3× 2n 1-2.


1 13.若数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2SnSn-1=0(n≥2),a1= . 2
?1? (1)求证:?S ?成等差数列; ?
n?

(2)求数列{an}的通项公式.

?2,n=1, 13.【答案】 (1)见解析(2)a =? 1 ?-2n(n-1),n≥2.
n

1

。解析:(1)证明 当 n≥2 时,

1 1 1 1 ?1? 由 an+2SnSn-1=0,得 Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以 - =2,又 = =2,故?S ?是首 Sn Sn-1 S1 a1 ? n? 项为 2,公差为 2 的等差数列. n-1-n 1 1 1 1 (2)由(1)可得 =2n,∴Sn= .当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= - = = Sn 2n 2n 2(n-1) 2n(n-1)?

?2,n=1, 1 1 - .当 n=1 时,a = 不适合上式.故 a =? 2 2n(n-1) 1 ?-2n(n-1),n≥2.
1 n

1

14.在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成等比数列. (1)求 d,an; (2)若 d<0,求|a1|+|a2|+…+|an|. 14. 【答案】 ( 1 ) d =- 1 或 4. an =- n + 11 , n ∈ N* 或 an = 4n + 6 , n ∈ N* ( 2 )=

?-2n + 2 n,n≤11, ?1 21 ?2n - 2 n+110,n≥12.
2 2

1

21

方法一 (1)由题意得 5a3· a1=(2a2+2)2,即 d2-3d-4=0.故 d=-1 或 4. 所以 an=-n +11,n∈N*或 an=4n+6,n∈N* , 1 (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.因为 d<0,由(1)得 d=-1,an=-n+11.∴Sn=- n2+ 2 21 1 21 n,当 n≤11 时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=- n2+ n.当 n≥12 时,|a1|+|a2|+|a3|+… 2 2 2 1 21 +|an|=-Sn+2S11= n2- n+110. 综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| 2 2

?-2n + 2 n,n≤11, =? 1 21 ?2n - 2 n+110,n≥12
2 2

1

21

15.已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为 8. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列{|an|}的前 n 项和. 4,n=1, ? ? 15.【答案】 (1)an=-3n+5 或 an=3n-7 (2)Sn=?3 2 11 ? ?2n - 2 n+10,n>1. 。解析:

(1) 设 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 d , 则 a2 = a1 + d , a3 = a1 + 2d , 由 题 意 , 得
? ? ? ?3a1+3d=-3, ?a1=2, ?a1=-4, ? 解得? 或? 所以由等差数列的通项公式, ? ? ? ?a1?(a1+d?)(?a1+2d?)=8. ?d=-3 ?d=3.

可得 an=2-3(n-1)=-3n+5 或 an=-4+3(n-1)=3n-7.故 an=-3n+5 或 an=3n-7.

(2)由(1),知当 an=-3n+5 时,a2,a3,a1 分别为-1,-4,2,不成等比数列;当 an =3n-7 时,a2,a3,a1 分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.故|an|=|3n-7|

?-3n+7,n=1,2, ? =? ? ?3n-7,n≥3.

记数列{|an|}的前 n 项和为 Sn.当 n=1 时,S1=|a1|=4;

当 n=2 时,S2=|a1|+|a2|=5;当 n≥3 时,Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an|=5+(3× 3 ?n-2?[2+?3n-7?] 3 2 11 -7)+(3× 4-7)+…+(3n-7)=5+ = n - n+10.当 n=2 2 2 2

?4,n=1, 时,满足此式.综上,S =?3 11 n - ?2 2 n+10,n>1.
n 2


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