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1521乘法公式:平方差公式


何家畔九年制学校 张永文

1. 如图,边长为20厘米的大正方形中有一个边长为8厘米的小正
方形,请表示出图中阴影部分面积: 20 12 12 20

探索引入

12
图(1) 图(1)的面积为:

8
图(2)

20? 20 ? 8 ? 8 ? 202 ? 82 ? 336 图(2)的面积为: (20 ? 8)(20 ? 8) ? 336 2 2 即: (20 ? 8)(20 ? 8) ? 20 ? 8 从上式中你能发现一些有趣的现象吗?再举几个数 试试.如果是一个数和一个字母,或两个都是字母呢?它 们的情况又如何?

8

2. 计算下列各题:

(1) (x+2)(x-2)
解:原式

? 1 ? 9a (x + 2)(x – 2) = x? -4 (1 + 3a)(1 – 3a) = 1 – 9a? (3) (x+5y)(x-5y) (4) (y+3z)(y-3z) 2 2 解:原式 ? x ? 5xy ? 5xy ? (5 y) 解:原式 ? y 2 ? 3 yz ? 3 yz ? (3z)2 2 2 ? x2 ? 25y 2 ? y ? 9z (x + 5y)(x – 5y) = x? - 25y? (y + 3z)(y – 3z) = y? - 9z?

? x ? 2x ? 2x ? 2
2

2

解:原式 ? 1 ? 3a ? 3a ? (3a)2
2

(2) (1+3a)(1-3a)

? x ?4
2

3、观察以上等式的左边与右边,你发现了什么规 律?能不能大胆猜测得出一个一般性的结论? 规律:1)左边是两个数的和乘以这两个数的差; 2)右边是这两个数的平方的差.

平方差公式
对于大家提出的猜想,我们一起来进行证明.
证明:(a+b)(a-b)

? a ? ab ? ab ? b (多项式乘法法则) 2 2 ? a ? b (合并同类项)
2 2 2 2

我们经历了由发现——猜测——证明的过程,最后得出 一个公式性的结论,我们将这个公式叫做平方差公式.

即: (a+b)(a-b) ? a ? b

两数和与这两数差的积,等于它们的平方差.

注:这里的两数可以是两个单项式也可以是两 个多项式等等.

公式的应用
例1、用平方差公式计算下列各题

(5 ? 6x)(5 ? 6x) 解:原式 ? 52 ? (6 x)2 2 ? 25 ? 36x
(1 ) (2)

分析:要利用平方差公式解题, 必须找到是哪两个数的和与这两 个数的差的积结果为这两个数的 b 平方差.

(1) (5+6x)(5-6x)

a ? b ? 52 ? (6 x) 2
2 2

a

( x ? 2 y)( x ? 2 y)
x ? (2 y ) 2 2 ? x ? 4y
2 2
2 2

? 25 ? 36 x 2 b

解:原式 ?

(2) (x-2y)(x+2y)

a 2 2 a ? b ? x ? (2 y ) ? x2 ? 4 y 2

例2、用平方差公式计算下列各题 b (1) (-m+n)(-m-n) (-m+n)(-m-n) 解:原式 ? (?m)2 ? n2

? m2 ? n 2
(2) (-2x-5y)(5y-2x) 解:原式? (?2 x ? 5 y)(?2 x ? 5 y)

a
2

? (?2x) ? (5 y)
2

? 4 x ? 25y
2

2

前面两个例题可以直接套用平方差公式,可是不 要“得意忘形”,现在让我们来看看下面一个例题.

例3、下列计算对不对?如果不对,怎样改正? 2 1) ( x ? 6)(x ? 6) ? x ? 6 错
分析:最后结果应是两项的平方差
2 ? x ? 6 ? x ? 36 ( x ? 6)(x ? 6) 2 2 2 2 4 4 2) (2a ? b )(2a ? b ) ? 2a ? b 错

2

2

分析:应将 2 a 当作一个整体,用括号括起来再平方

2

(2a ? b )(2a ? b ) ? (2a ) ? (b ) ? 4a ? b 3) (?5a ? 2b)(5a ? 2b) ? (5a)2 ? (2b)2 ? 25a 2 ? 4b2 错
2 2 2 2

2 2

2 2

4

4

分析:应先观察是哪两个数的和与这两个数的差

(?5a ? 2b)(5a ? 2b) ? (?2b)2 ? (5a)2 ? 4b2 ? 25a 2

现在我们来看看平方差公式在混合运算中的运用:

例4、计算

? (m ? n)(m ? n) ? 3n

2

分析:在混合运算中,观察是否有可以运用平方 差公式的项先进行计算,将计算结果用括号括起来, 避免符号出错.

解:原式

? ?(m ? n ) ? 3n (平方差公式) 2 2 2 ? ?m ? n ? 3n (去括号) 2 2 ? ?m ? 4n (合并同类项)
2 2 2





1.(1)(3m+2n)(3m-2n) (2) (b+2a)(2a-b) (3)(3+2a)(-3+2a) (4)(-4a-1)(4a-1)

今天我们学习了什么?
1 、平方差公式是特殊的多项式乘法,要 理解并掌握公式的结构特征.
1) 左边是两个数的和与这两个数的差的积. 2) 右边是这两个数的平方差. 用式子表示为: (a + b)(a – b) = a? - b? 注:这里的两数可以是两个单项式也可以是两 个多项式等等.

2、在混合运算中,用平方差公式直接计 算所得的结果可以写在一个括号里,以免 发生符号错误.


P184



习题15.2第1题

家庭作业: 本节练习册做完

祝:

同学们学习愉快!


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