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1.1空间几何体的结构


1.1 空间几何体的结构

第一课时
空间几何体及棱柱、棱锥的结构特征

问题提出

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.在平面几何中,我们认识了三角形, 正方形,矩形,菱形,梯形,圆,扇形 等平面图形.那么对空间中各种各样的几 何体,我们如何认识它们

的结构特征? 2.对空间中不同形状、大小的几何体 我们如何理解它们的联系和区别?

知识探究(一):空间几何体的类型

思考1:在我们周围存在着各种各样的物 体,它们都占据着空间的一部分.如果我 们只考虑这些物体的形状和大小,而不 考虑其他因素,那么由这些抽象出来的 空间图形就叫做空间几何体.你能列举那 些空间几何体的实例? 思考2:观察下列图片,你知道这图片在 几何中分别叫什么名称吗?

思考3:如果将这些几何体进行适当分类, 你认为可以分成那几种类型? 思考4:图(2)(5)(7)(9)(13) (14)(15)(16)有何共同特点?这 些几何体可以统一叫什么名称? 多面体

思考5:图(1)(3)(4)(6)(8) (10)(11)(12)有何共同特点?这 些几何体可以统一叫什么名称? 旋转体

思考6:一般地,怎样定义多面体?围 成多面体的各个多边形,相邻两个多边 形的公共边,以及这些公共边的公共顶 点分别叫什么名称?
顶点





由若干个平面 多边形围成的 几何体叫做多 面体 .

思考7:一般地,怎样定义旋转体?



由一个平面图形绕它所在平面内的 一条定直线旋转所形成的封闭几何体 叫做旋转体

知识探究(二):棱柱的结构特征

思考1:我们把下面的多面体取名为棱 柱,你能说一说棱柱的结构有那些特征 吗?据此你能给棱柱下一个定义吗?

有两个面互相平行,其余各面都是四边 形,每相邻两个四边形的公共边都互相 平行,由这些面围成的多面体叫做棱柱.

思考2:为了研究方便,我们把棱柱中两个互 相平行的面叫做棱柱的底面,其余各面叫做 棱柱的侧面,相邻侧面的公共边叫做棱柱的 侧棱,侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶 点.你能指出上面棱柱的底面、侧面、侧棱、 顶点吗?
顶点 侧面

侧棱

底面

思考3:下列多面体都是棱柱吗?如何在 名称上区分这些棱柱?如何用符号表示?
D1 E1 C1

A1 C
A B D1

B1

C1 B1

C B A
D1 C1 B1

D

E

A1
C1 B1 C

A1 D A

A1

D
B A B

C

思考4:棱柱上、下两个底面的形状大小 如何?各侧面的形状如何?

两底面是全等的多边形, 各侧面都是平行四边形

思考5:有两个面互相平行,其余各面都 是平行四边形的多面体一定是棱柱吗?

思考6:一个棱柱至少有几个侧面?一个 N棱柱分别有多少个底面和侧面?有多少 条侧棱?有多少个顶点?

知识探究(三): 棱锥的结构特征

思考1:我们把下面的多面体取名为棱 锥,你能说一说棱锥的结构有那些特征 吗?据此你能给棱锥下一个定义吗?

有一个面是多边形,其余各面都是有 一个公共顶点的三角形,由这些面围 成的多面体叫做棱锥.

思考2:参照棱柱的说法,棱锥的底面、 侧面、侧棱、顶点分别是什么含义?
顶点 侧面 底面

侧棱

多边形面叫做棱锥的底面,有公共顶点的各三角 形面叫做棱锥的侧面,相邻侧面的公共边叫做棱 锥的侧棱,各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.

思考3:下列多面体都是棱锥吗?如何在 名称上区分这些棱锥?如何用符号表示?
S

A S C B B

D

D

C E F
B

C

A

A

S

思考4:一个棱锥至少有几个面?一个N 棱锥有分别有多少个底面和侧面?有多 少条侧棱?有多少个顶点?

至少有4个面;1个底面,N个侧 面,N条侧棱,1个顶点.

思考5:用一个平行于棱锥底面的平面去 截棱锥,截面与底面的形状关系如何?

相似多边形

理论迁移

例1 如图,截面BCEF将长方体分割成 两部分,这两部分是否为棱柱?
D1
A1

E B1

C1

F
D

C

A

B

例2 一个三棱柱可以分割成几个三棱 锥?
C1

B1 C1

B1 A1

A1

C

B C

B

A

A

作业:
P8习题1.1A组: 1题(1)(2)(3)(做在上书); 5题(自主制作).

第二课时 棱台、圆柱、圆锥、圆台的结构特征

问题提出

1.棱柱、棱锥的图形结构分别有哪 几个特征?

2.在空间几何体中,其他一些图形 各有什么结构特征呢?

知识探究(一):棱台的结构特征

思考1:用一个平行于棱锥底面的平面 去截棱锥,截面与底面之间的部分形成 另一个多面体,这样的多面体叫做棱台. 那么棱台有哪些结构特征?
有两个面是互相平行的相 似多边形,其余各面都是 梯形,每相邻两个梯形的 公共腰的延长线共点.

思考2:参照棱柱的说法,棱台的底面、 侧面、侧棱、顶点分别是什么含义?
上底面 顶点 侧面

侧棱

下底面

原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和 上底面,其余各面叫做棱台的侧面,相邻侧面的 公共边叫做棱台的侧棱,侧面与底面的公共顶点 叫做棱台的顶点.

思考3:下列多面体一定是棱台吗?如何 判断?

思考4:三棱台、四棱台、五棱台、…… 分别是什么含义?

知识探究(二):圆柱的结构特征

思考1:如图所示的空间几何体叫做圆 柱,那么圆柱是怎样形成的呢?

以矩形的一边所在直线为旋转轴,其 余三边旋转形成的面所围成的旋转体.

思考2:在圆柱的形成中,旋转轴叫做圆柱的轴, 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面, 平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面, 平行于轴的边在旋转中的任何位置叫做圆柱侧面 的母线. 你能结合图形正确理解这些概念吗? 轴 侧面

母线

母线
底面

思考3:平行于圆柱底面的截面,经过 圆柱任意两条母线的截面分别是什么图 形?

思考4:经过圆柱的轴的截面称为轴截面, 你能说出圆柱的轴截面有哪些基本特征 吗?

知识探究(三):圆锥的结构特征

思考1:将一个直角三角形以它的一条直 角边为轴旋转一周,那么其余两边旋转 形成的面所围成的旋转体是一个什么样 的空间图形?你能画出其直观图吗?

思考2:以直角三角形的一条直角边所在 直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面 所围成的旋转体叫做圆锥,那么如何定 义圆锥的轴、底面、侧面、母线?

顶点

轴 母线
底面

侧面

母线

旋转轴叫做圆锥的轴,垂直于轴的边旋转 而成的圆面叫做圆锥的底面,斜边旋转而 成的曲面叫做圆锥的侧面,斜边在旋转中 的任何位置叫做圆锥侧面的母线.

思考3:经过圆锥任意两条母线的截面是 什么图形?

思考4:经过圆锥的轴的截面称为轴截面, 你能说出圆锥的轴截面有哪些基本特征 吗?

知识探究(四):圆台的结构特征

思考1:用一个平行于圆锥底面的平面去 截圆锥,截面与底面之间的部分叫做圆 台.圆台可以由什么平面图形旋转而形成?

思考2:与圆柱和圆锥一样,圆台也有轴、 底面、侧面、母线,它们的含义分别如 何?
上底面
侧面

母线



下底面

思考3:经过圆台任意两条母线的截面是 什么图形?轴截面有哪些基本特征?

思考4:设圆台的上、下底面圆圆心分别 为O′、O,过线段OO′的中点作平行于 底面的截面称为圆台的中截面,那么圆 台的上、下底面和中截面的面积有什么 关系?
o′

o

理论迁移

例1 将下列平面图形绕直线AB旋转 一周,所得的几何体分别是什么?
B B B A 图3

A
A 图1

图2

例2 在直角三角形ABC中,已知AC=2, ? BC= , 2 3 ,以直线 ?C ? 90 AC为轴将△ABC 旋转一周得到一个圆锥,求经过该圆锥 任意两条母线的截面三角形的面积的最 大值.
A A

C

B

C

B

D

作业: P7练习:1,2. P9习题1.1A组:2.

第三课时 球、简单组合体的结构特征

问题提出

1.棱柱、棱锥、棱台是三个基本的多面 体,圆柱、圆锥、圆台是三个基本的旋 转体,其中棱柱和圆柱统称为柱体,棱 锥和圆锥统称为锥体,棱台和圆台统称 为台体.除此之外,在我们的生活中还有 一个最常见的空间几何体是什么? 2.球是多面体还是旋转体?球有什么结 构特征?

知识探究(一):球的结构特征

思考1:现实生活中有哪些物体是球状几 何体?
NBA

思考2:从旋转的角度分析,球是由什么 图形绕哪条直线旋转而成的?

以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆 面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简 称球.

思考3:半圆的圆心、半径、直径,在球 体中分别叫做球的球心、球的半径、球 的直径,球的外表面叫做球面.那么球的 半径还可怎样理解?
半径

球面上的点到 球心的距离
直径

O

球心

思考4:用一个平面去截一个球,截面是 什么图形?
O

思考5:设球的半径为R,截面圆半径为r, 球心与截面圆圆心的距离为d,则R、r、 d三者之间的关系如何?

R P

O d

r ? R ?d
2

2

r Oˊ

知识探究(二):简单组合体的结构特征 思考1:棱柱、棱锥、棱台都是多面体,但它 们有本质的区别.如果棱台上底面的大小发生 变化,它与棱柱、棱锥有什么关系?
思考2:现实世界中几何体的形状各种各样, 除了柱体、锥体、台体和球体等简单几何体 外,还有大量的几何体是由这些简单几何体 组合而成的,这些几何体叫做简单组合体.你 能说出周围物体所示的几何体是由哪些简单 几何体组合而成的吗?

思考3:试说明下列几何体分别是怎样组 成的?

思考4:一般地,简单组合体的构成有那 几种基本形式? 拼接,截割 思考5:试说明如图所示的几何体的结构 特征.

理论迁移

例1 如图,AB为圆弧BC所在圆的直 ? 径, ?BAC ? 45 .将这个平面图形绕直线 AB旋转一周,得到一个组合体,试说明 这个组合体的结构特征.
A D B C

例2 如图,四边形ABCD为平行四边形, EF∥AB,且EF<AB,试说明这个简单组合 体的结构特征.
E F E F

D

C

D

C

A

B

A

B

例3 如图,各棱长都相等的三棱锥 内接于一个球,则经过球心的一个截面 图形可能是 (1),(3) .

(1)

(2)

(3)

(4)

例4 已知球的半径为10cm,一个截 面圆的面积是36? cm2,则球心到截面圆 圆心的距离是 8cm .

R P

O d

r Oˊ

作业: P9习题1.1A组:3,4. P10习题1.1B组:1.

1.2

空间几何体的三视图和直观图

第一课时

投影与三视图

问题提出

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.照相、绘画之所以有空间视觉效果, 主要处决于线条、明暗和色彩,其中对 线条画法的基本原理是一个几何问题, 我们需要学习这方面的知识.

2.在建筑、机械等工程中,需要用 平面图形反映空间几何体的形状和大小, 在作图技术上这也是一个几何问题,你 想知道这方面的基础知识吗?

知识探究(一):中心投影与平行投影

光是直线传播的,一个不透明物体在 光的照射下,在物体后面的屏幕上会留 下这个物体的影子,这种现象叫做投影. 其中的光线叫做投影线,留下物体影子 的屏幕叫做投影面. 思考1:不同的光源发出的光线是有差异 的,其中灯泡发出的光线与手电筒发出 的光线有什么不同?

思考2:我们把光由一点向外散射形成的 投影叫做中心投影,把在一束平行光线 照射下形成的投影叫做平行投影,那么 用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形 成的投影分别是哪种投影?

中心投影

平行投影

思考3:用灯泡照射一个与投影面平行的 不透明物体,在投影面上形成的影子与 原物体的形状、大小有什么关系?当物 体与灯泡的距离发生变化时,影子的大 小会有什么不同?

思考4:用手电筒照射一个与投影面平行 的不透明物体,在投影面上形成的影子 与原物体的形状、大小有什么关系?当 物体与手电筒的距离发生变化时,影子 的大小会有变化吗?

思考5:在平行投影中,投影线正对着投 影面时叫做正投影,否则叫做斜投影.一 个与投影面平行的平面图形,在正投影 和斜投影下的形状、大小是否发生变化?

思考6:一个与投影面不平行的平面图形, 在正投影和斜投影下的形状、大小是否 发生变化?

知识探究(二):柱、锥、台、球的三视图

把一个空间几何体投影到一个平面 上,可以获得一个平面图形.从多个角度 进行投影就能较好地把握几何体的形状 和大小,通常选择三种正投影,即正面、 侧面和上面,并给出下列概念:

(1)光线从几何体的前面向后面正投影 得到的投影图,叫做几何体的正视图; (2)光线从几何体的左面向右面正投影 得到的投影图,叫做几何体的侧视图; (3)光线从几何体的上面向下面正投影 得到的投影图,叫做几何体的俯视图; (4)几何体的正视图、侧视图、俯视图 统称为几何体的三视图.

思考1:正视图、侧视图、俯视图分别是 从几何体的哪三个角度观察得到的几何 体的正投影图?它们都是平面图形还是 空间图形? 思考2:如图,设长方体的长、宽、高分 别为a、b、c ,那么其三视图分别是什 么? c

b

a

正视图

正视图

c

侧 视 图

c

b

c

a

侧 视 图

a

b

俯视图

俯视图

a

b

思考3:圆柱、圆锥、圆台的三视图分别 是什么?

正视图

侧视图

俯视图

正视图

侧视图

俯视图

正视图

侧视图

俯视图

思考4:一般地,一个几何体的正视图、 侧视图和俯视图的长度、宽度和高度有 什么关系?
正视图

c

侧 视 图

c

b

a
正侧等高, 正俯等长, 侧俯等宽.

c

a
俯视图

b b

a

思考5:球的三视图是什么?下列三视图 表示一个什么几何体?

正视图

侧视图

俯视图

理论迁移

例 如图是一个倒置的四棱柱的两种 摆放,试分别画出其三视图,并比较它 们的异同.

正视

正视

正视图

侧视图

正视 俯视图

正视图

侧视图

正视 俯视图

能看见的轮廓线和棱用实线表示, 不能看见的轮廓线和棱用虚线表示.

作业: P15练习:1,2,3.

1.2

空间几何体的三视图和直观图

第二课时

简单组合体的三视图

问题提出

1.柱、锥、台、球是最基本、最简单的 几何体,由这些几何体可以组成各种各 样的组合体,怎样画简单组合体的三视 图就成为研究的课题. 2.另一方面,将几何体的三视图还原几 何体的结构特征,也是我们需要研究的 问题.

知识探究(一):画简单几何体的三视图

思考1:在简单组合体中,从正视、侧视、 俯视等角度观察,有些轮廓线和棱能看 见,有些轮廓线和棱不能看见,在画三 视图时怎么处理?
思考2:如图所示,将一 个长方体截去一部分, 这个几何体的三视图是 什么?

正视图

侧视图

正视

俯视图

思考3:观察下列两个实物体,它们的结 构特征如何?你能画出它们的三视图吗?

正视图

侧视图

俯视图

正视图

侧视图

俯视图

思考4:如图,桌子上放着一个长方体和 一个圆柱,若把它们看作一个整体,你 能画出它们的三视图吗?

正视图

侧视图

正视 俯视图

知识探究(二):将三视图还原成几何体

一个空间几何体都对应一组三视图, 若已知一个几何体的三视图,我们如何 去想象这个几何体的原形结构,并画出 其示意图呢?

思考1:下列两图分别是两个简单组合体 的三视图,想象它们表示的组合体的结 构特征,并画出其示意图.

正视图

侧视图

俯视图

正视图

侧视图

俯视图

思考2:下列两图分别是两个简单组合体 的三视图,想象它们表示的组合体的结 构特征,并作适当描述.

正视图 正视图 侧视图

侧视图

俯视图

俯视图

理论迁移

例1 下面物体的三视图有无错误? 如果有,请指出并改正.

正视图

侧视图

正视 俯视图

例2 将一个长方体挖去两个小长方体 后剩余的部分如图所示,试画出这个组 合体的三视图.

正视图

侧视图

俯视图

例3 说出下面的三视图表示的几何体 的结构特征.

正视图

侧视图

俯视图

作业: P15练习:4. P20习题1.2A组:1,2.

1.2

空间几何体的三视图和直观图

第三课时

空间几何体的直观图

问题提出

1.把一本书正面放置,其视觉效果 是一个矩形;把一本书水平放置,其视 觉效果还是一个矩形吗?这涉及水平放 置的平面图形的画法问题.
2.对于柱体、锥体、台体及简单的组 合体,在平面上应怎样作图才具有强烈 的立体感?这涉及空间几何体的直观图 的画法问题.

知识探究(一):水平放置的平面图形的画法

思考1:把一个矩形水平放置,从适当的 角度观察,给人以平行四边形的感觉, 如图.比较两图,其中哪些线段之间的位 置关系、数量关系发生了变化?哪些没 有发生变化?

思考2:把一个直角梯形水平放置得其直 观图如下,比较两图,其中哪些线段之 间的位置关系、数量关系发生了变化? 哪些没有发生变化?

思考3:画一个水平放置的平面图形的直 观图,关键是确定直观图中各顶点的位 置,我们可以借助平面坐标系解决这个 问题. 那么在画水平放置的直角梯形的 直观图时应如何操作?
y D C D′ A y′ C′

B x

A′

B′

x′

思考4:你能用上述方法画水平放置的正 六边形的直观图吗?
y F M E F′ M x o B N C F′ A′ E′ D B′ N A′ o′ C′ D′ x′ y′

E′

A

D′ B′ C′

思考5:上述画水平放置的平面图形的直 观图的方法叫做斜二测画法,你能概括 出斜二测画法的基本步骤和规则吗? (1)建坐标系,定水平面; (2)与坐标轴平行的线段保持平行;

(3)水平线段等长,竖直线段减半.

思考6:斜二测画法可以画任意多边形水 平放置的直观图,如果把一个圆水平放 置,看起来像什么图形?在实际画图时 有什么办法?

知识探究(二):空间几何体的直观图的画法

思考1:对于柱、锥、台等几何体的直观 图,可用斜二测画法或椭圆模板画出一 个底面,我们能否再用一个坐标确定底 面外的点的位置?
z y

o

x

思考2:怎样画长、宽、高分别为4cm、 3cm、2cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的 直观图?
D′ A′ D z y B′ Q o A P B

C′
A′ C x A

D′
B′ D B

C′

C

思考3:怎样画底面是正三角形,且顶点 在底面上的投影是底面中心的三棱锥?
z C C A
M

S y B x

B

A

o

S

C A B

思考4:画棱柱、棱锥的直观图大致可分 几个步骤进行? 画轴 → 画底面 → 画侧棱 → 成图 思考5:已知一个几何体的三视图如下, 这个几何体的结构特征如何?试用斜二 测画法画出它的直观图.

z

y′
正视图

侧视图

A′ o′

B′ y B x′

俯视图

A

o

x

理论迁移

例 如图,一个平面图形的水平放 置的斜二测直观图是一个等腰梯形,它 的底角为45°,两腰和上底边长均为1, 求这个平面图形的面积.
D D C C

A

B
A

S ? 2? 2
B

作业:
P19练习:2,3(做书上); P21习题1.2A组:4,5.


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