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高中数学竞赛模拟试题四


高中数学竞赛模拟试题四
一、 填空题 1、设 x1、x2 是实系数一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两个根, 若 x1 是虚数, x 是实数,则 x
2 2 1

?x ? x ?x ? ?x ? ?x ? S ? 1? 2 ? ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? ??? ? 2 ? x1 ? x1 ? ? x1 ?

? x1 ? ? x1 ?

2

4

8

21999

的值为___

2、点 P(a,b)在第一象限内,过点 P 作一直线 l,分别交 x、 y 轴的正半轴于 A、B 两点.那么,PA2+PB2 取最小 值时,直线 l 的斜率为 .

3、 若△ABC 是钝角三角形, arccos(sinA)+arccos(sinB) 则 +arccos(sinC)的取值范围是 .

4、在正四面体 ABCD 中,点 M、P 分别是 AD、CD 的中 点,点 N、Q 分别是△BCD、△ABC 的中心.则直线 MN 于 PQ 的夹角的余弦值为 5、在 ?
x ?2



?

2 n ?1

的展开式中, x 的幂指数是整数的各项系数 .

之和是 6、双曲线 x 2
a
2

?

y2 ? 1 的一个焦点为 b2

F1,顶点为 A1、A2,P

是双曲线上任意一点. 则分别以线段 PF1、 1A2 为直径的 A 两圆的位置关系一定是 7、用 Sn 与 an 分别表示区间 ?0,1? 内不含数字 9 的 n 位小数 的和与个数.则 lim n ??
an Sn

的值为

1

8、对一切实数 x ,所有的二次函数 f ? x? ? ax2 ? bx ? c(a ? b) 的 值均为非负 实数.则 二、解答题 9.已知函数 f ( x) ?
x , x ? (0 , 1) 1 ? x2
b?a 的最大值是 a?b?c

⑴设 x1 , x2 ? (0 , 1) ,证明: ( x1 ? ⑵设 a 最小值.

x2 ) ? [ f ( x ? f (2x ?. ] ) 1 )

0

且 求 , b , c ? R ? , a ?b ?c ? 1 , u ?

3a 2 ? a 3b 2 ? b 3c 2 ? c ? ? 的 1? a2 1? b2 1? c2

2

10.设 f ( x) 使定义在区间 (1, ??) 上的函数,其导函数为 f ?( x) .如 果存在实数 a 和函数 h( x) ,其中 h( x) 对任意的 x ? (1, ??) 都有
h( x) ? 0 ,使得 f ?( x) ? h( x)( x2 ? ax ? 1) ,则称函数 f ( x) 具有性质 P (a ) .

(1)设函数 f ( x) ? h( x) ? b ? 2 ( x ? 1) ,其中 b 为实数
x ?1

①求证:函数 f ( x) 具有性质 P(b) ②求函数 f ( x) 的单调区间 (2)已知函数 g ( x) 具有性质 P(2) ,给定
x1 , x2 ? (1,??), x1 ? x2 , 设m为实数,

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ,且 ? ? 1, ? ? 1 ,若
g (? ) ? g (? ) ? g( x1 ) ? g( x2 ) ,求 m 的取值范围

3

11.已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C: x 2 ? y2
a b

2

2

? 1? a>0,b>0 ? 相

交于 B、D 两点,且 BD 的中点为 M ?1,3? . (Ⅰ)求 C 的离心率; (Ⅱ)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F, DF ?BF 明:过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切.
? 17 ,证

4

高中数学竞赛模拟试题四参考答案 一. 填空题 1、 设 x1 , x2 是实系数一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两个根, 若 x1 是虚数, x 是实数,则 x
2 2 1

?x ? x ?x ? ?x ? ?x ? S ? 1? 2 ? ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? ??? ? 2 ? x1 ? x1 ? ? x1 ? ? x1 ? ? x1 ?

2

4

8

21999

的值为___

-999 (利用复数为实数的充要条件) 2、点 P(a,b)在第一象限内,过点 P 作一直线 l,分别交 x、 y 轴的正半轴于 A、B 两点.那么,PA2+PB2 取最小 值时,直线 l 的斜率为
? ab (参数法,设 ?PAO ? ? a

. ,再用基本不等式即可)

3、 若△ABC 是钝角三角形, arccos(sinA)+arccos(sinB) 则 +arccos(sinC)的取值范围是 . ? ? , 3? ? ? ?
?2 2 ?

4、在正四面体 ABCD 中,点 M、P 分别是 AD、CD 的中 点,点 N、Q 分别是△BCD、△ABC 的中心.则直线 MN 于 PQ 的夹角的余弦值为 5、在 ? .

1 (建立空间坐标,用向量法解之) 18
x ?2

?

2 n ?1

的展开式中,x 的幂指数是整数的各项系数
3 2 n ?1 ? 1 . (∑2kC2n+1k ,k 2

之和是 6、双曲线 x 2
a
2

为奇数)

?

y2 ? 1 的一个焦点为 b2
5

F1,顶点为 A1、A2,P

是双曲线上任意一点. 则分别以线段 PF1、 1A2 为直径的 A 两圆一定( B ) (B)相切 (D)以上情况均有可能

(A)相交 (C)相离

(数形结合法,双曲线的定义) 7、用 Sn 与 an 分别表示区间 ?0,1? 内不含数字 9 的 n 位小数 的和与个数.则 lim a n 的值为( n ??
Sn

D

)
4

(A) 3
4

(B) 5

4

(C) 7 ×

(D) 9

4



Sn=9n-1(1+...+8)

10-1+9n-1(1+...+8)

×

10-2+...+9n-1(1+...+8)×10-n,an=9n) 8、对一切实数 x,所有的二次函数 f ? x? ? ax2 ? bx ? c(a ? b) 的 值均为非负 实数.则 (A)
b?a 的最大值是 a?b?c (B) 1 (C)3 2 1 3

(D)2

a ? 0, c ? 0, b ? a ? 0, b 2 ? 4ac ? 0,

b?a (b ? a ) ? 4a ? a ? b ? c 4a 2 ? 4ab ? b 2

b ?1 4m 1 b a ? ? 2 ? (令 ? 1 ? m) , b 1 b a m ? 6m ? 9 3 1 ? ? ( )2 a 4 a

二.解答题 9. 已知函数 f ( x) ?
x , x ? (0 , 1) 1 ? x2

⑴设 x1 , x2 ? (0 , 1) ,证明: ( x1 ? ⑵设 a

x2 ) ? [ f ( x ? f (2x ?. ] ) 1 )

0

且 求 , b , c ? R ? , a ?b ?c ? 1 , u ?
6

3a 2 ? a 3b 2 ? b 3c 2 ? c ? ? 的 1? a2 1? b2 1? c2

最小值. 解:设 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 x ( x ? x )(1 ? x1 x2 ) ? 2 2 ? 1 22 ?0 2 2 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 )

?( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0

同理:若 x1 ? x2 有 若 x1 ? x2 有

( x1 ? x2 ) [ f ( x ?) 1

f (2x ?), ] 0

0

( x1 ? x2 ) [ f ( x ?) 1

f (2x ?) ] 0

?( x1 ? x2 ) [ f ( x ? f (2x ? ] ) 1 )

(2)

? a ? b ? c ? 1 且 a, b, c ? R ? ? a, b, c ? (0,1) .

由(1)得: (a ? 1 )[ f (a) ? f ( 1 )] ? 0
3 3

1 a 3 ? (a ? )[ ? ]? 0 2 3 1 ? a 10

1 a2 ? a 2 3 ? 3 (a ? 1 ) ,即 3a ? a ? 9 (a ? 1 ) ∴ 1 ? a 2 10 3 1 ? a2 10 3

同理: 3b
?u ?

?b 9 1 3c 2 ? c 9 1 ? (b ? ) , ? (c ? ) 2 2 1? b 10 3 1? c 10 3
2

9 1 1 1 (a ? ? b ? ? c ? ) ? 0, , 10 3 3 3

所以 u 的最小值为 0 .

10.设 f ( x) 使定义在区间 (1, ??) 上的函数,其导函数为 f ?( x) .如 果存在实数 a 和函数 h( x) ,其中 h( x) 对任意的 x ? (1, ??) 都有
h( x) ? 0 ,使得 f ?( x) ? h( x)( x2 ? ax ? 1) ,则称函数 f ( x) 具有性质 P (a ) .

(1)设函数 f ( x) ? h( x) ? b ? 2 ( x ? 1) ,其中 b 为实数
x ?1

①求证:函数 f ( x) 具有性质 P(b) ②求函数 f ( x) 的单调区间 (2)已知函数 g ( x) 具有性质 P(2) ,给定
x1 , x2 ? (1,??), x1 ? x2 , 设m为实数,

7

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ,且 ? ? 1, ? ? 1 ,若
g (? ) ? g (? ) ? g( x1 ) ? g( x2 ) ,求 m 的取值范围

[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等 基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进 行探索、分析与解决问题的综合能力。满分 16 分。 (1)(i) f ?( x) ? 1 ?
x b?2 1 ? ( x 2 ? bx ? 1) 2 ( x ? 1) x( x ? 1)2

∵ x ? 1 时, h( x) ?

1 ? 0 恒成立, x( x ? 1)2

∴函数 f ( x) 具有性质 P(b) ;
b 2 b2 (ii)(方法一)设 ? ( x) ? x ? bx ? 1 ? ( x ? ) ? 1 ? 2 4
2

,? ( x) 与 f ?( x) 的符

号相同。 当1? b
2

4

(1, ? 0, ?2 ? b ? 2 时,? ( x) ? 0, f ?( x) ? 0 ,故此时 f ( x) 在区间 +?)

上递增;
(1, 上 当 b ? ?2 时, 对于 x ? 1 , f ?( x) ? 0 , 有 所以此时 f ( x) 在区间 +?)

递增; 当 b ? ?2 时,
? ( x) 图像开口向上,对称轴 x ?
b ? ?1 ,而 ? (0) ? 1 , 2

对于 x ? 1 ,总有 ? ( x) ? 0, f ?( x) ? 0 , 递增;

(1, 上 故此时 f ( x) 在区间 +?)

(方法二)当 b ? 2 时,对于 x ? 1 ,? ( x) ? x

2

? bx ? 1 ? x2 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1)2 ? 0

(1, 上递增; 所以 f ?( x) ? 0 ,故此时 f ( x) 在区间 +?)

当 b ? 2 时,

? ( x) 图像开口向上,对称轴 x ?

b ? 1 ,方程 ? ( x) ? 0 的 2

8

两根为: b ? 当
(1, x ? (1,

b2 ? 4 2

,而 b ?

b2 ? 4 b ? b2 ? 4 2 ? 1, ? ? (0,1) 2 2 b ? b2 ? 4
f ( x)

b ? b2 ? 4 ) 2

时 , ? ( x) ? 0, f ?( x) ? 0 , 故 此 时

在区间

2 b ? b2 ? 4 同理得: f ( x) 在区间 [ b ? b ? 4 , ??) 上递增。 ) 上递减; 2 2

综上所述,当 b ? 2 时,

(1, 上递增; f ( x) 在区间 +?)

2 2 b ? 2 时, f ( x) 在 (1, b ? b ? 4 ) 上递减; f ( x) 在 [ b ? b ? 4 , ??) 当 2 2

上递增。 (2)(方法一)由题意,得: g '( x) ? h( x)( x 又 h( x) 对任意的 x ? (1, ??) 都有 h( x) ? 0 , 所以对任意的 x ? (1, ??) 都有 g ?( x) ? 0 , 又 ? ? ? ? x1 ? x2 ,? ? ? ? (2m ?1)( x1 ? x2 ). 当 m ? 1 , m ? 1 时, ? ? ? ,且
2
2

? 2x ? 1) ? h( x)( x ?1)2

g ( x) 在 (1, ??) 上递增。

? ? x1 ? (m ?1) x1 ? (1 ? m) x2 , ? ? x2 ? (1 ? m) x1 ? (m ?1) x2
?(? ? x1 )(? ? x2 ) ? ?(m ?1)2 ( x1 ? x2 )2 ? 0
?? ? x1 ? x2 ? ? 或 x1 ? ? ? ? ? x2 .

若 ? ? x1 ? x2 ? ? ,则 f (? ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (? ). 所以 g (? ) ? g (? ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) 不合题意.所以 即?
? x1 ? mx1 ? (1 ? m) x2 1 ? m ? 1,? ? m ? 1. 2 ?(1 ? m) x1 ? mx2 ? x2
x1 ? ? ? ? ? x2 .

当 m ? 1 时, ? ? ? ,0 ? g(? ) ? g(? ) ? g( x1) ? g( x2 ), 符合题意.
2 1 当 m ? 时, ? ? ? , 且 ? ? x2 ? m( x1 ? x2 ), ? ? x1 ? ?m( x1 ? x2 ). 2

9

同理有 x1 ? ? ? ? ? x2 . ,即 ?

? x1 ? (1 ? m) x1 ? mx2 1 ? m ? 0?0 ? m ? . 2 ?mx1 ? (1 ? m) x2 ? x2

(0,1) 综合以上讨论,得:所求 m 的取值范围是 .

(方法二)由题设知, g ( x) 的导函数 g '( x) ? h( x)( x

2

? 2x ? 1) ,其中

函数 h( x) ? 0 对于任意的 x ? (1,??) 都成立。所以,当 x ? 1 时,
g '( x) ? h( x)( x ?1)2 ? 0 ,从而 g ( x) 在区间 (1,??) 上单调递增。

①当 m ? (0,1) 时,有 ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx1 ? (1 ? m) x1 ? x1 ,
? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2

, 得 ? ? ( x1, x2 ) , 同 理 可 得

? ? ( x1, x2 ) ,所以由 g ( x) 的单调性知 g (? ) 、 g ( ? ) ? ( g ( x1 ), g ( x2 )) ,

从而有 g(? ) ? g(? ) ? g( x1) ? g( x2 ) ,符合题设。 ②当 m ? 0 时, ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,
? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ? (1 ? m) x1 ? mx1 ? x1 , 于是由 ? ? 1, ? ? 1 及 g ( x) 的单调性

知 g (? ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? g (? ) , 所以 g(? ) ? g(? ) ? g( x1) ? g( x2 ) ,与题设不符。 ③ 当
m ?1

时 , 同 理 可 得 ? ? x1, ? ? x2 , 进 而 得

g (? ) ? g (? ) ? g( x1 ) ? g( x2 ) ,与题设不符。

因此综合①、②、③得所求的 m 的取值范围是(0,1) 。

11.已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C: x 2 ? y2
a b

2

2

? 1? a>0,b>0 ? 相

交于 B、D 两点,且 BD 的中点为 M ?1,3? . (Ⅰ)求 C 的离心率; (Ⅱ)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F, DF ?BF
10

? 17 ,证

明:过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切.

解:(1)由题设知, l 的方程为: y ? x ? 2 代入 C 的方程,并化简得
(b2 ? a2 ) x2 ? 4a2 x ? 4a2 ? a2b2 ? 0

设 B( x1, y1 ), D( x2 , y2 ), 则 x1 ? x2 ?
4a 2 4a 2 ? a 2 b 2 , x1 x2 ? . …………① b2 ? a 2 b2 ? a 2
2 ? 1,

由 M (1,3) 为 BD 的中点知 x1 ? x2 故1?

4a 2 ? 1 ? b 2 ? 3a 2 ………………② 2 2 2 b ?a

所以 c ?

a2 ? b2 ? 2a
a

所以 C 的离心率 e ? c ? 2. (2)由①, ②知 C 的方程为 3x2 ? y 2 ? 3a2 .
A(a, 0), F (2a, 0), x1 ? x2 ? 2, x1 x2 ? ? 4 ? 3a 2 ? 0, 2

故不妨设 x1 ? ?a, x2 ? a.
BF ? ( x1 ? 2a) 2 ? y12 ? ( x1 ? 2a) 2 ? 3x12 ? 3a 2 ? a ? 2 x1 ,
2 2 FD ? ( x2 ? 2a) 2 ? y2 ? ( x2 ? 2a) 2 ? 3x2 ? 3a 2 ? 2 x2 ? a,

BF FD ? (a ? 2x1 )(2x2 ? a)
? ?4x1x2 ? 2a( x1 ? x2 ) ? a2 ? 5a2 ? 4a ? 8.

又 BF

FD ? 17. 故 5a2 ? 4a ? 8 ? 17

11

解得 a ? 1 或 a ? ? 9 (舍)
5

故 BD

? 2 x1 ? x2 ? 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 6.

连结 MA, 则由 A(1, 0), M (1,3) 知 MA ? 3, 从而 MA ? MB ? MD, 且 MA ? x 轴,因此以 M 为圆心,MA 为半径的 圆经过 A, B, D 三点,且在点 A 处与 x 轴相切. 所以过 A, B, D 三点的圆与 x 轴相切.

12


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