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第一章 1.2 1.2.2 第二课时 分段函数与映射


1.2.2

函数的表示法

第二课时

分段函数与映射

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分段函数 [提出问题]
某市空调公共汽车的票价按下列规则判定: (1)5 千米以内,票价 2 元; (2)5 千米以上,每增加 5 千米,票价增加 1 元(不足 5 千米的按 5 千米计算). 已知两个相邻的公共汽车站间相距 1 千米,沿途(包括 起点站和终点站)有 11 个汽车站.

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问题1:从起点站出发,公共汽车的行程x(千米)与票价
y(元)有函数关系吗? 提示:有函数关系. 问题2:函数的表达式是什么?
? ?2, 提示:y=? ? ?3,

0<x≤5, 5<x≤10.

问题3:x与y之间有何特点? 提示:x在不同区间内取值时,与y所对应的关系不同.

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[导入新知]

如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在不同的取值 范围内,函数有着不同的对应关系,称这样的函数为分 段函数.

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分段函数求值问题
[例 1] x≤-2, ?x+1, ? 2 已知函数 f(x)=?x +2x, -2<x<2, ?2x-1, x≥2. ?
? ? 5 ?? ?f?- ??的值; ? ? 2 ??

(1)求 f(-5),f(- 3),f

(2)若 f(a)=3,求实数 a 的值.

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映射 [提出问题] A={x|x是三角形},B={x|x是圆}. 对应关系:每一个三角形都对应它的外接圆.

问题1:从集合A到集合B能构成函数吗?
提示:不能. 问题2:从集合A到集合B的对应有什么特点? 提示:对于集合A中的任何一个三角形,在集合B中都有唯一 的外接圆与之对应.

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[导入新知]

映射的定义
设A、B是两个 非空 的集合,如果按某一个确定的对应 关系f,使对于集合A中的 任意一个 元素x,在集合B中都有 唯一确定 的元素y与之对应,那么就称对应 f:A→B 为从集 合A到集合B的一个映射.

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[化解疑难] 映射与函数的联系
名称

区别
与联系

函数

映射

区别

函数中的两个集合A
和B必须是非空数集

映射中的两个集合A和B可 以是数集,也可以是其他 集合,只要非空即可

联系

函数是一种特殊的映射;映射是函数概念的推广,
但不一定是函数
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[类题通法] 判断一个对应是否为映射的两个关键点 (1)对于 A 中的任意一个元素,在 B 中是否有元素对应; (2)B 中的对应元素是否是唯一的. 注意:“一对一”或“多对一”的对应都是映射.

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[活学活用] 已知 A={1,2,3,?,9},B=R,从集合 A 到集合 B 的映射 f: x x→ . 2x+1 (1)与 A 中元素 1 相对应的 B 中的元素是什么? 4 (2)与 B 中元素 相对应的 A 中的元素是什么? 9

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[活学活用] 某汽车以 52 km/h 的速度从 A 地行驶到 260 km 远处的 B 地, 在 B 地停留 1.5 h 后,再以 65 km/h 的速度返回 A 地,试将汽车 离开 A 地后行驶的路程 s 表示为时间 t 的函数.

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