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广西桂林市第十八中学2015-2016学年高一上学期开学考(10月)数学试题


桂林十八中 15-16 学年度上学期 15 级开学考试卷 数 学

注意:①本试卷共 4 页。考试时间 120 分钟,满分 150 分。 ②请用黑色水性笔将答案全部填写在答题卡上,否则不得分。 ③文明考风,诚信考试,自觉遵守考场纪律,杜绝各种作弊行为。 第 I 卷(选 择题,共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分 .
1.已知集合A ? ? x | 0 ? x ? 3? ,集合B ? ? x | 3x ? 7 ? 3 ? 2 x? ,则A ? B ? A.? 0, 2 ? B. ? 2,3? C.? 2,3? D. ? 0, 2?

2.下列选项中函数f ? x ? 与g ? x ? 表示同一函数的是 x A. f ? x ? ? , g ? x ? ? 1 x C. f ? x ? ? x 2 , g ? x ? ? ? x ? 1?
2

B. f ? x ? ? x, g ? x ? ? x 2 D. f ? x ? ? x , g ? x ? ? x 2

3.下列函数中,在区间?1, 2 ? 上为递减函数的是 A. y ? x ? 2 B. y ? x 2 ? 1 C. y ? 2 x D. y ? x

4.关于x的一元二次方程x2 ? ? m ? 2? x ? m ? 1 ? 0有两个相等的实数根,则m的值为 A. 0 B.8 C. 4 ? 2 2 D.0或8

5.函数f ? x ? ? A. ? ?1,3?

1 ? 3 ? 2 x ? x 2的定义域为 x ?1 B. ? ?1,3? C.? ?3, ?1?

D. ? ?3, ?1?

6.已知集合A ? ? x | 2 x ? a ? 0? ,若1 ? A,3 ? A, 则实数a的取值范围是 A. ? ?2, 6? B.? ?6, ?2? C. ? ?6, ?2 ? D.? ?6, ?2 ?

x ?1? 7. 已知f ? ? ? , 则当x ? 0时,f ? x ? ? ? x ? 1? x 1 1 1 A. B. C. x x ?1 1? x

D.

1 ?1 x

? x 2 +1, x ? 1 ? 8.设函数f ? x ? ? ? 2 , 则f ? f ? 3? ? ? x ?1 ? , ? x 1 2 A. B.3 C. 5 3

13 D. 9

9.已知函数 f ( x) ? 3ax ? 1 ? 3a ,在区间 (?1,1) 内存在 x0 ,使 f ? x0 ? ? 0 ,则 a 的取值范围 是

1 1 1 B. a ? C . a ? 或 a ? ?1 6 6 6 10.函数f ? x ? ? x ? 1 ? x的值域为

A. ? 1 ? a ?

D. a ? ?1

5? ? A. ? ??, ? 4? ?

4? ? B. ? ??, ? 5? ?

?4 ? C. ? , ? ?? ?5 ?

?5 ? D. ? , ? ?? ?4 ?

1 ? 1 ? 11.已知f ? x ? ? 2 x 2 ? px ? q, g ? x ? ? x ? 是定义在集合M = ? x | ? x ? 2 ? 上的两个函数, x ? 2 ? 对于任意的x ? M , 存在常数x0 ? M , 使得f ? x ? ? f ? x0 ? ,g ? x ? ? g ? x0 ? , 且f ? x0 ? =g ? x0 ? . A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
1 ,当x ? ? 0,1?时,f ? x ? ? x, 若方程f ? x ? ? mx ? m =0在 ? ?1,1? f ? x ? 1? ?1 ? C. ? , ?? ? ?2 ? 1? ? D. ? ??, ? 2? ?

则函数f ? x ? 在集合M 上的最大值为

12. 已知函数f ? x ? 满足f ? x ? ? 1 ?

内有2个实数解,则实数m的取值范围是 ? 1? A. ? 0, ? ? 2? 1? ? B. ? ?1, ? 2? ?

第 II 卷(非选择题,共 90 分)

二.填空题:本大题共 4 小题;每小题 5 分,共 20 分.

13.已知集合 A?? 1 , 3? ,则集合 A的子集个数为
14.若函数f ? x ? ? ? x ? 1?? x ? a ? 为偶函数,则a=
.

个.

? ? m ? 3? x ? 5 ? 15. 设函数 f ? x ? ? ? 2m ? x ?
为 .

?0 ? x ? 2? ? x ? 2?

是 ?0,??? 上的减函 数,则实数 m 的取值范围

16.已知 g ? x ? 为奇函数,设f ? x ? =

? 2 x ? 1?? x ? 2 ? ? g ? x ? 的最大值与最小值之和为
x2 ? 1

.

三.解答题:本大题 共 6 小题;17 题 10 分,18 至 22 题每题 12 分,共 70 分.

17.已知函数f ? x ? ? 2 x 2 ? 4 x ? 6.

?1? 求f ?1? ; ? 2 ? 画出函数f ? x ?的图象,并根据图象写出函数f ? x ?的单调区间.

18. 已知集合A ? ? x | ?1 ? x ? 3?,集合B ? ?x | m ? x ? 1 ? 3m?.

?1?当m ? 1时,求A ? B; ? 2? 若B ? ?R A, 求实数m的取值范围.

4 19.已知函数f ? x ? ? x ? . x 1 判断函数在区间 2, ?? ?? ? 上的单调性,并用定义证明你的结论; ?

? 2 ? 求该函数在区间? 2, 4? 上的最大值和最小值.

20. 《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不需要纳税, 超过3500元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算:

全月应纳税所得额 不超过 1500 元的部分 超过 1500 元至 4500 元的部分 超过 4500 元至 9000 元的部分

税率(%) 3 10 20

?1? 某人月收入4000元,他一个月应缴此项税款多少元? ? 2? 若此人九月份应缴纳此项税款为340元,那么他当月的工资、薪金所得是多少?

21.已知函数f ? x ? 1?的定义域为? ?3,1? ,函数g ? x ? ? f ? 2 x ? 1? ? f ? 2 ? x ?.

?1? 求函数g ? x ?的定义域; ? 2? 若f ? x ? 是奇函数,且在定义域内单调递减,求不等式g ? x ? ? 0的解集.

桂林十八中 15 级高一开学考试卷数学答案

题号 答案

1 B

2 D

3 C

4 D

5 A

6 D

7 B

8 D

9 B

10 A

11 C

12 A

一、选择题(60 分) 二.填空题(20 分)

13. 4

14. a ? 1 ?

15. ?1,3?

16. 4

12.当x ? ? ?1,0?时,x ? 1? ? 0,1? , f ? x ? ?

1 1 -1= -1,在同一个坐标系内画出y=f ? x ? , y ? mx ? m的 f ? x ? 1? x ?1

1 1 图象,动直线y ? mx ? m过定点 ? ?1,0 ? ,再过 ?1,1?点时,有m= ,由图知当0<m ? 时,两个图象有两个 2 2 不同的交点,从而g ? x ? ? f ? x ? ? mx ? m有2个不同零点,故选A.

x2 ?1 x2 ?1 x2 ?1 5 x ? g ?x ? ? 5 x ? g ?? x ? 5 x ? g ?x ? 令h?x ? ? , 则h?? x ? ? ?? 2 ? ? h? x ? 2 2 x ?1 x ?1 x ?1 ? h?x ?为奇函数 ? ? f ?x ??max ? ? f ?x ??min ? ?2 ? h?x ?max ? ? ?2 ? h?x ?min ? ? 4

16. f ?x ? ?

?2 x ? 1??x ? 2? ? g ?x ? ? 2?x 2 ? 1? ? 5 x ? g ?x ? ? 2 ? 5 x ? g ?x ?

6

4

y

三.解答题

2

17.?1? f ?1? ? ?8;

x
15 10 5

-1
2

o

3

5

? 2?函数f ? x ?的图象如下, 单调递增区间为? 2, +? ?,递减区间为? ??,2 ? .

4

6

-8 8

10

18.已知集合A ? ? x | ?1 ? x ? 3? ,集合B ? ? x | m ? x ? 1 ? 3m? .

?1?当m ? 1时,求A ? B; ? 2 ? 若B ? ?R A, 求实数m的取值范围. 解: ?1?当m ? 1时,B ? ? x | m ? x ? 1 ? 3m? = ? x |1 ? x ? 4? ,所以A ? B = ? x | ?1 ? x ? 4?. ? 2 ?因为A ? ? x | ?1 ? x ? 3? , 所以?R A= ? x | x ? ?1? ? ? x | x ? 3?.
1 又因为B ? ?R A,当B=?时,应满足m ? 1+3m ? m ? - ; 2 ?m<1+3m ? m<1+3m 当B ? ?时,应满足 ? 或? 解得m ? 3. ? m?3 ?1+3m ? ?1 1 综上所述,m>3或m ? - . 2

19.?1?函数f ?x ?在?2, ? ? ?上单调递增,证明如下 : 设x1、x2 ? ?2, ? ? ?, 且x1 ? x2,则 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? x1 ? ?4 4? 4 4 4?x2 ? x1 ? x x ?4 ? x2 ? ? ?x1 ? x2 ? ? ? ? ? ? ?x1 ? x2 ? ? ? ?x1 ? x2 ? ? 1 2 ? ? x1 x2 x1 x2 x1 x2 ? x1 x2 ? x x ?4 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0, 又x1、x2 ? ?2, ? ? ?,? x1 x2 ? 4 ? x1 x2 ? 4 ? 0 ? ?x1 ? x2 ? ? 1 2 ?0 x1 x2 ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 即f ?x1 ? ? f ?x2 ??函数在?2, ? ? ?上单调递增 .

?2?由?1?知,函数在?2,4?上单调递增, ? f ?x ?max ? f ?4? ? 5, f ?x ?min ? f ?2? ? 4.

20.设这个人月工资、薪金所得为x元,应纳此项税款为y元,则 0 ? x ? 3500 ? 0, ? x ? 3500 ? 3%, 3500 ? x ? 5000 ? ? ? y?? ? 45 ? ? x ? 5000 ? ? 10%, 5000 ? x ? 8000, ? 8000 ? x ? 12500. ?345 ? ? x ? 8000 ? ? 15%, ? 应缴纳税款为? 4000 ? 3500 ? ? 3%=150元; ?1?? 此人月收入为4000,

? 2 ?由于此人九月份应缴纳税款为340元,故必有5000<x ? 8000,从而 340=45+ ? x ? 5000 ? ? 10%,解得 x=7950元. ? 此人九月份的工资、薪金为7950元.

?? 3,1? 21.?1?? f ? x ? 1?的定义域为

?? 2,2? ? f ? x ?的定义域为

? 1 3? ?0,4? ? f ?2 x ? 1?的定义域为 ? ? , ?, f ?2 ? x ?的定义域为 ? 2 2? ? 3? ? g ? x ? ? f ?2 x ? 1? ? f ?2 ? x ?的定义域为 ? 0, ?. ? 2? ?2?? f ?x ?是奇函数,且在定义域 内单调递减 ? 2x ? 1 ? x ? 2 3 ? ? ?? 2 ? 2 x ? 1 ? 2 即0 ? x ? 2 ??2 ? x?2 ? 2 ?

? g ? x ? ? f ?2 x ? 1? ? f ?2 ? x ? ? 0 ? f ?2 x ? 1? ? ? f ?2 ? x ? ? f ? x ? 2 ?

22.?1? 方程f ? x ? ? g ? x ? ? 0可化为x 2 + ? m ? 1? x+2m=0,设F ? x ? ? x 2 + ? m ? 1? x+2m, ?m ? 3 ? 2 2或m ? 3 ? 2 2 ??0 ? ? ? F ?1 ? 0 ? ? m?0 ? ? ? ? 由 ? 1 ? x1 ? x2 ? 1, 则需满足 ? F ?1? ? 0 ,解得: , ? 2 m?? ? ? 3 ??1 ? ? m ? 1 ? 1 ? ? ? 3 ? x ? 1 ? 2 ? ? ? m的取值范围为 0,3 ? 2 2 ;

?

?

? 2 ? 不等式a 2 f ? 2 x ? ? 4af ? x ? ? 3 f ? x ? 1? 可化成 ? 4a 2 ? 4a ? 3? x 2 -6x-3 ? 0,令g ? x ? = ? 4a 2 ? 4a ? 3? x 2 -6x-3,
1 3 当4a 2 ? 4a ? 3=0时,即a ? ? 或a ? 时,不等式化为-6x-3 ? 0, 在x ? ?1, ?? ? 上恒成立; 2 2 2 当4a ? 4a ? 3 ? 0时,抛物线g ? x ? = ? 4a 2 ? 4a ? 3? x 2 -6x-3开口向上,不能满足x ? ?1, ?? ? 上恒成立; 当4a 2 ? 4a ? 3 ? 0时,抛物线g ? x ? = ? 4a 2 ? 4a ? 3? x 2 -6x-3开口向下, 对称轴方程x ? ? ?6 3 = 2 <0, 2 ? 4a ? 4a ? 3 ? 4a ? 4a ? 3
2

要使 ? 4a 2 ? 4a ? 3? x 2 -6x-3 ? 0,只须g ?1? ? 0, ? ? 4a 2 ? 4a ? 3? ? 12 -6-3 ? 0, ? 4a 2 ? 4a ? 12 ? 0, ? 1 ? 13 1 ? 13 1 3 ?a? , ? 4a 2 ? 4a ? 3 ? 0 ?? <a< . 2 2 2 2 1 3 综上,实数a的取值范围为 ? ? a ? . 2 2


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