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双曲线经典教案


双曲线
一 基本概念 1. 双曲线的定义: 平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于

| F1 F2 | )的点的轨迹。其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦
距。 注意:当 P 在右支时 | PF1 | ? | PF2 |? 2a ,当 P 在左支时 | PF2 | ? | PF1 |? 2a 2. 双曲线的标准方程、图象及几何性质: 中心在原点,焦点在 x 轴上 标准方 程
x2 y2 - 2 ? 1 (a ? 0,b ? 0) a2 b
P x O A2 F2

中心在原点,焦点在 y 轴上
y2 x2 ? 1 (a ,b ? 0) a2 b2
F2 B2 O B1 F1 x

P

y

图 形

F1 A1

顶 点 对称轴 焦 点 焦 距 离心率

A1(?a, 0), A2(a, 0)

B1 (0,?a), B2 (0, a)

x 轴, y 轴;虚轴为 2b ,实轴为 2 a

F1 (?c,0), F2 (c,0) | F1F2 |? 2c(c ? 0)

F1 (0,?c), F2 (0, c)

c2 ? a2 ? b2
(e ? 1)

e ?
b x a

c
a

渐近线

y??

y??

a x b

椭圆和双曲线比较: 椭 定 义 方 程 焦 点







线

| PF1 | ? | PF2 |? 2a(2a ?| F1F2 |)
x2 y 2 ? ?1 a 2 b2 x2 y 2 ? ?1 b2 a 2

|| PF1 | ? | PF2 ||? 2a(2a ?| F1F2 |)
x2 y 2 ? ?1 a 2 b2 y 2 x2 ? ?1 a 2 b2

F (?c, 0)

F (0, ?c)

F (?c, 0)

F (0, ?c)

(2)双曲线的性质
x2 y2 ①、范围:从标准方程 2 ? 2 ? 1 ,看出曲线在坐标系中的范围:双曲线在两条直线 a b 2 x ? ? a 的外侧。即 x ? a 2 , x ? a 即双曲线在两条直线 x ? ? a 的外侧。 x2 y2 ? ? 1 关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是 a2 b2 x2 y2 双曲线的对称轴,原点是双曲线 2 ? 2 ? 1 的对称中心,双曲线的对称中心叫做 a b 双曲线的中心。 x2 y2 ③、顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线 2 ? 2 ? 1 的方程里, a b 对 称 轴 是 x, y 轴 , 所 以 令 y ? 0 得 x ? ? a , 因 此 双 曲 线 和 x 轴 有 两 个 交 点

②、对称性:双曲线

A (?a,0) A2 (a,0) ,他们是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的顶点。 a2 b2

1)注意:双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点),双 曲线的顶点分别是实轴的两个端点。 2) 实轴:线段 A A2 叫做双曲线的实轴,它的长等于 2a, a 叫做双曲线的实半轴 长。虚轴:线段 B B2 叫做双曲线的虚轴,它的长等于 2b, b 叫做双曲线的虚半 轴长 ④、渐近线:注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线 x2 y2 即称为双曲线的渐近线。从图上看,双曲线 2 ? 2 ? 1 的各支向外延伸时, a b 与这两条直线逐渐接近。 ⑤、等轴双曲线: 1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式: a ? b ; 2)等轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为: y ? ? x ;(2)渐近线互相垂 直 注意:以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一,即 可推知双曲线为等轴双曲线,同时其他几个亦成立。 3)注意到等轴双曲线的特征 a?b ,则等轴双曲线可以设为: x 2 ? y 2 ? ? (? ? 0) ,当 ? ? 0 时交点在 x 轴,当 ? ? 0 时焦点在 y 轴上

⑥、注意

x2 y2 y 2 x2 ? ? 1 与 ? ? 1 的区别:三个量 a, b, c 中 a , b 不同(互换) c 相 16 9 9 16 同,还有焦点所在的坐标轴也变了。

(3)、理解双曲线应注意的几点 1、椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据.同样,双曲线的离心率

是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据,由于

,当

从接近 1 逐渐增大时,

的值就从接近于 逐渐增大,双曲线的“张口”

逐渐增大. 2、要掌握根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的求法.



,∴把标准方程



的“1”用“ ”替换即可得出渐近线方程. 3、已知渐近线方程求双曲线的标准方程的方法: ①、渐近线方程为 常数). 的双曲线的方程为: ( 且为

② 、 与双曲线

有共同渐近线的双曲线的方 程可设为



且为常数).

二 例题分析 【题型一】 双曲线定义 【例 1】(和平区 2011 高考一模).设 P 是双曲线
x2 y 2 ? ? 1 上一点,双曲线的 a2 9

一条渐近线方程为 y ?

3 x , F1 , F2 分别是双曲线的左右焦点,若 PF1 ? 4 ,则 2

PF2 ? (
A.10

) B.8 C.6 D.1

【例 2】(2012 年全国卷新课标)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,
C 与 抛 物 线 y 2 ? 16x 的 准 线 交 于 A, B 两 点 , AB ? 4 3 ; 则 C 的 实 轴 长 为


( A)



2

( B) 2 2

(C ) ?

(D) ?

【题型二】 双曲线标准方程
x2 y 2 【例 1】(2010 年天津理 5).已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 a b

渐近线方程是 y= 3x ,它的一个焦点在抛物线 y 2 ? 24 x 的准线上, 则双曲线的方程为 (A) ( ) (B)
x2 y 2 ? ?1 9 27
x2 y 2 ? ?1 27 9

x2 y 2 ? ?1 36 108 x2 y2 ? ?1 108 36

(C)

(D)

【例 2】(2010 年天津文 13).已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线 a 2 b2

方程是 y ? 3x ,它的一个焦点与抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点相同。则双曲线的方程 为 .

【例 3】(2011 山东理)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0) 的两条渐近线均和 a 2 b2

圆 C: x2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 相切, 且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心, 则该双曲线的方 程为( A ) B
x2 y 2 ? ?1 4 5

x2 y 2 ? ?1 5 4

C

x2 y 2 ? ?1 3 6

D.

x2 y 2 ? ?1 6 3

【例 4】(2011 山东文)已知双曲线

x 2 y2 x2 y 2 ? =1 有 ? ? 1( a > 0 , b > 0) 和椭圆 16 9 a 2 b2

相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为

【例 5】(2011 安徽理)双曲线 ? x? ? y ? ? ? 的实轴长是( A.2 B2 2 C.4 D. 4 2



【变式 1】(2011·上海理)设 m 是常数,若点 F(0,5)是双曲线 一个焦点,则 m= 。

y 2 x2 ? ?1的 m 9

【变式 2】 (2011· 湖南文) 设双曲线 则 a 的值为( ) A.4 B.3

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0, a2 9

C.2

D.1

x2 y 2 【变式 3】( 2012 年天津文)设知双曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0) 和 C2 : a b

x2 y 2 ? ? 1 有相同的渐近线,且 C1 的右焦点 F2 4 16
b?

?

5, 0 ,则 a ?

?



.

【例 6】(2012 年山东)已知椭圆 C1 :

x2 y 2 3 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 e ? , a b 2

与双曲线 x2 ? y 2 ? 1 的渐近线有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积 为 16,求该椭圆方程.

【题型三】 双曲线渐近线 【例 1】(河西区 2011 年高考三模).双曲线
x2 y 2 ? ? 1 的渐近线与圆 6 3

? x ? 3?

2

? y2 ? r 2

? r ? 0? 相切,则 r 的值为

.

【例 2】(2009 年天津文 4).设双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2, a2 b2

焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近线方程为( ) A y ? ? 2x B y ? ?2 x C y??
2 x 2

Dy??

1 x 2

【例 3】.(2011 年北京文 10)已知双曲线 x 2 ? 方程为 y ? 2 x ,则 b = 。

y2 ? 1( b >0)的一条渐近线的 b2

x2 y 2 【例 4】(2009 年全国卷新课标)双曲线 =1 的焦点到渐近线的距离为 4 12

(A) 2 3

(B)2

(C) 3

(D)1

题型四 双曲线离心率 【例 1】(河东区 2011 年高考一模)已知双曲线 为 ( A. ?
2 3 3
x2 ? y 2 ? 1 ,则该双线的离心率 3

) B.
2 3 3

C. ?

2 3

D.

2 3

【例 2】(红桥区 2011 年高考一模).双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线方程为 a 2 b2

x ? 3 y ? 0 ,则次双曲线的离心率为 ( )
A.
3 10 10

B.

10 3

C.

2 2 3

D.

10

【例 3】(2011·全国卷新课标)设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一 条对称轴垂直,L 与 C 交于 A,B 两点, AB 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的 离心率为( A. 2 ) C.2 D.3

B. 3

1、已知圆 C: (x ? 3) 2 ? y 2 ? 4 ,定点 A(-3,0),则过定点 A 且与圆 C 外切的动 圆圆心 P 的轨迹方程____________________
y2 x2 5、已知曲线方程为 + =1,当 k 的取值范围是________时,方程表示 k ?2 5?k

双曲线。
x2 y2 6、已知双曲线 =1 的焦点为 F1 、 F2 ,点 M 在双曲线上且 M F1 ? x 轴,则 F1 6 3

到直线 F2 M 的距离为_______________ 7、一条双曲线 x 2 - y 2 =1 的左焦点为 F1 ,点 P 在双曲线左支的下半支上(不含 左顶点),则直线 P F1 的斜率的取值范围是_________________

x2 y2 8、双曲线 =1 的两个焦点为 F1 、 F2 ,点 P 在双曲线上,若 P F1 ? P F2 , 9 16

则点 P 到 x 轴的距离为________________ 13、已知双曲线的方程为
x2 y2 =1(a>0,b>0),点 A.B 在双曲线的右支上,线 a2 b2

段 AB 经过双曲线的右焦点 F2 , AB=m, F1 为另一焦点,则 ? AB F1 的周长

14、求适合下列条件的双曲线标准方程: 5 3 (1) 虚轴长为 12, 离心率为 (2) 顶点间距离为 6, 渐近线方程为 y= ? x 4 2 (3) 求与双曲线 x 2 ? 2 y 2 ? 1有公共渐近线,且过点 M(2,2)的双曲线方程。

15、 已知圆 C: x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4 y ? 8 ? 0 .以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的 一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为?

习题练习:
1.动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( )

A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线 2.设双曲线的半焦距为 c ,两条准线间的距离为 d ,且 c ? d ,那么双曲线的离 心率 e 等于( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 3

3 .过双 曲线 的一个 焦点 F2 作垂 直于 实轴的 弦 PQ , F1 是另一焦 点,若 ∠
PF1Q ?

?
2

,则双曲线的离心率 e 等于( B. 2 C. 2 ? 1

) D. 2 ? 2 )

A. 2 ? 1

4.双曲线 mx2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ? ( 1 1 A. ? B. ?4 C. 4 D. 4 4 5.双曲线

x2 y2 ? ? 1(a, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 为该双曲线在第 a2 b2
1 , tan ?PF2 F1 ? ?2, 则该双曲 2

一象限的点,△PF1F2 面积为 1,且 tan ?PF1 F2 ? 线的方程为( )

12x 2 ? 3y 2 ? 1 A . 5

5x 2 ? 3y 2 ? 1 B . 12

12 y 2 ?1 C . 3x ? 5
2

D.

x2 5y2 ? ?1 3 12
?p q

2 2 6. 如果方程 x ? y ? 1 表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是





x2 y2 A . ? ?1 2q ? p q

B .

x2 y2 ? ? ?1 2q ? p p

C .

x2 y2 ? ?1 2p ? q q

D.

x2 y2 ? ? ?1 2p ? q q

7 . 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 x ? 2y ? 0 , 焦 距 为 1 0 , 这 双 曲 线 的 方 程 为 _______________。 8.若曲线
x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 4 ? k 1? k



x2 y2 3 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 9 .若双曲线 x ,则双曲线的焦点坐标是 4 m 2

_________. 10.双曲线与椭圆有共同的焦点 F1 (0, ?5), F2 (0,5) ,点 P(3, 4) 是双曲线的渐近线与 椭圆的一个交点,求渐近线与椭圆的方程。


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