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高中数学《3.3.2均匀随机数的产生》课件新人教A版必修


3.3.2 均匀随机数的产生(选学)
【课标要求】 1.了解均匀随机数的产生方法与意义. 2.会用模拟试验求几何概型的概率. 3.能利用模拟试验估计不规则图形的面积. 【核心扫描】 1.会利用模拟试验估计概率.(重点) 2.会设计简单的模拟试验的设计方案.(难点)

自学导引
均匀随机数定义:如果试验的结果是区间[a,b]内的任何 1. 一个实数,而且出现任何一个实数是等可能的,则称这些 实数为均匀随机数. 均匀随机数的产生 2. (1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是______ RAND函数. (2)Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为rand(). 用模拟的方法近似计算某事件概率的方法 3. 试验模拟 的方法:制作两个转盘模型,进行模拟试验, (1) _________ 并统计试验结果. (2) 计算机模拟 ___________的方法:用Excel软件产生[0,1]区间上均匀 随机数进行模拟.注意操作步骤.

[a,b]上均匀随机数的产生 4. 利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数x=RAND, 然后利用伸缩和平移交换x=x1] 概率为0的事件一定是不可能事件吗?概率为1的事件 也一定是必然事件吗? 提示 如果随机事件所在区域是一个单点,因单点的长度、 面积、体积均为0,则它出现的概率为0(即P=0),但它不 是不可能事件;如果随机事件所在的区域是全部区域扣除 一个单点,则它出现的概率为1(即P=1),但它不是必然 事件.

名师点睛
均匀随机数的产生:(1)用计算器产生0~1之间的均匀随 1. 机数过程如图所示: RAND RANDI PRB ―→ ―→ ―→ STAT DEG
RAND ENTER ENTER 0.052 745 889 STAT DEG 这样得到的实数可以是区间[0,1]内的任何一个实数 a, 而且出 现任何一个实数都是等可能的.反复按键 ENTER 就可产生 [0,1]内的多个均匀随机数. (2)用计算机产生均匀随机数的过程如下:Scilab中用 rand()函数来产生0~1的均匀随机数,每调用一次rand() 函数,就产生一个随机数,如果要产生a~b之间的随机 数,则使用变换rand()*(b-a)+a得到.

整数随机数与均匀随机数的联系与区别: 2. (1)二者都是随机产生的随机数,在一定的区域长度上出 现的机率是均等的.但是整数随机数是离散的单个整数值, 相邻两个整数随机数的步长为1,而均匀随机数是个小数 或整数,是连续的小数值,相邻两个均匀随机数的步长是 人为设定的. (2)要产生[a,b]上的均匀随机数,利用计算器或计算机产 生[0,1]上的均匀随机数x1=RAND,然后利用伸缩和平移 变换x=x1]

题型一

用随机模拟法估计几何概型

【例1】取一根长度为3 m的绳子,拉直后在任意位置剪断,用 随机模拟的方法计算剪得两段的长都不小于1 m的概率有 多大? [思路探索] 利用计算器产生随机数的方法或利用随机模拟 的方法解决. 解 法一 (1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]的均匀随 机数,a1=RAND; (2)经过伸缩变换,a=a1*3; (3)统计出[1,2]内随机数的个数N1和[0,3]内随机 数的个数N;

(4)计算频率fn(A)=

即为概率P(A)的近似值.

法二 做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上刻度 [0,3](这里 3 和 0 重合). 转动圆盘记下指针指在[1,2](表示剪 断绳子位置在[1,2]范围内)的次数 N1 及试验总次数 N,则 N1 fn(A)= 即为概率 P(A)的近似值. N 规律方法 通过模拟试验求某事件发生的概率,不同于古

典概型和几何概型试验求概率,前者只能得到概率的近似 值,后者求得的是准确值.用模拟试验求概率近似值的步 骤如下:第一步确定求均匀随机数的实数区间[a,b];第 二步用计算器或计算机求[0,1]内的均匀随机数;第三步用 伸缩变换转化到[a,b]内的随机数;第四步确定试验次数 N和事件A发生次数N,求得频率得出概率的近似值.

【变式1】 在长为4,宽为2的矩形中有一以矩形长为直径的 半圆.

(1)随机撒一把豆子,计算豆子落入半圆的概率. (2)利用计算机模拟的方法估计π值.



(1)试验的全集是长方形 Ω={(x,y)|0≤x≤ 4,0≤y≤ 2}.事

件 A={(x,y)|x2+ y2≤ 4,0≤y≤ 2}是 Ω 的子集, 根据面积的计算 公式和几何概率定义得 1 ?4 ?2 ? ? A的面积 2π·?2 ? π P(A)= = = . 8 4 Ω的面积 (2)由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的, 落在半圆中的豆子数 所以 π≈ × 4, 落在正方形中的豆子数 这样就得到 π 的近似值.

题型二

利用随机模拟试验估计图形的面积

【例2】如图所示,向边长为2的正方形内投飞镖,求飞镖落在 中央边长为1的正方形内的概率.

审题指导 考查用随机模拟的方法求解.由于飞镖落在大 正方形内的位置是随机的,有无限个,并且是等可能的, 符合几何概型概率问题.

[规范解答 ] 法一

用计算机随机模拟这个试验,步骤如下:

(1) 利用计算器或计算机产生两组 [0,1]上的均匀随机数 a1= RAND, b1= RAND.(2 分 ) (2)经过伸缩平移变换, a=(a1- 0.5)*4, b= (b1-0.5)*4 得到 两组 [- 2,2]上的均匀随机数.(6 分) (3)统计出试验总次数 N,落在阴影部分的次数 N1.(8 分 ) N1 (4)计算频率 fn(A)= 就是飞镖落在小正方形内的概率的近 N 似值.(12 分 ) 法二 根据几何概型计算公式可知,飞镖落在小正方形内的 S小正方形 1 概率为 = . S大正方形 4

【题后反思】 根据“无限性”与“等可能性”判定为几何概 型.用模拟方法得到的事件A的概率与用几何概型计算得 到的事件A的概率极其接近,说明模拟方法是一种非常有 效而且广泛使用的方法,尤其是现实的试验难以实施或不 可能实施的情况下,模拟方法可以给我们提供解决问题的 方案.

【变式2】在长为12 cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边 作正方形.用随机模拟法估算该正方形的面积介于36 cm2与 81 cm2之间的概率. 解 因为正方形的面积只与边长有关,所以本题可转化为在 线段AB上任取一点M使线段AM的长度介于6到9之间.设事 件A={正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间},则: (1)利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数,a1 =RAND; (2)经过伸缩变换,a=a1*12; (3)统计出试验总次数N和[6,9]内的随机数个数N1(即满足6<a <9的个数); N1 (4)计算频率 fn(A)= 即为概率 P(A)的近似值. N

方法技巧 利用随机模拟试验求不规则图形的面积
随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法,用计算器 或计算机模拟试验,首先要把实际问题转化为可以用随机 数来模拟试验结果的量,我们可以从以下几个方面考虑: (1)确定产生随机数组数,如长度型,角度型(一维)一组, 面积型(二维)二组. (2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围, 由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式.

【示例】利用随机模拟的方法近似计算图中阴

影部分(y=2-2x-x2与x轴围成的图形)的 面积. [思路分析] 在坐标系内画出正方形,用随 机模拟方法可以求出阴影部分面积与正方形面积之比,从 而求得阴影部分的近似值.

解 (1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数, a1=RAND,b1=RAND. (2)经过平移和伸缩变换 a=a1*4-3,b=b1*3,得到一组[-3,1] ,一组[0,3]上的均匀随 机数. (3)统计试验总次数 N 和落在阴影部分的点数 N1(满足条件 b< 2-2a-a2 的点(a,b)数). N1 (4)计算频率 N 就是点落在阴影部分的概率的近似值. (5)设阴影部分面积为 S.由几何概型公式得点落在阴影部分的 S S N1 12N1 概率为 .∴ ≈ N .∴S≈ N 即为阴影部分面积的近似值. 12 12

方法点评 (1)利用随机模拟试验估计图形的面积时,一 是选取合适的对应图形;二是由几何概型正确计算概率. (2)随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法.用计 算器或计算机模拟试验,首先需要把实际问题转化为可以 用随机数来模拟试验结果的概率模型,也就是怎样用随机 数刻画影响随机事件结果的量.


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