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平面向量及其应用


第4讲 平面向量及其应用

1.考题展望 高考对平面向量的考查主要体现在:第一, 考查平面向量的概念及平面向量的和、差、数 乘和数量积的运算,主要以选择题、填空题的 形式考查,向量与平面几何相结合是命题的一 个亮点;第二,考查平面向量与其他知识的综 合应用,主要以解答题的形式考查.

平面 向 量具有 代 数与几 何 形式的 “ 双重 性

”,是中学数学知识网络的重要交汇点,平 面向量与三角函数、解析几何的综合是近几年 高考的热点,要予以足够的重视.

2.高考真题

考题1(2013 浙江)设△ABC,P0 是边 AB 上一定点, 1 →? → 满足 P0B= AB, 且对于边 AB 上任一点 P, 恒有PB PC 4 → → ≥P ) 0B?P0C,则( A.∠ABC=90° C.AB=AC B.∠BAC=90° D.AC=BC

【解析】选 D. 对于 A、B、C 均可通过特值排除,故选 D. 对于 D 的证明如下: 设 AB=4,作 CH⊥AB 于 H, 由题意有 P0B=1, 设 HP0=m,PB=x,则 PH=x-m-1. → ·PC → =PH → ·PB → =(x-m-1)· ∴PB x. → → P 0B·P0C=-|P0B|·|P0H|=-m.

由题意有(x-m-1)x≥-m 对任意 0≤x≤4 成立. 即 x2-(m+1)x+m≥0 对 x∈[0,4]恒成立, ? m+1 ? ?1 5? ∵对称轴 x= ∈? , ?, 2 ?2 2? ∴Δ=(m+1)2-4m≤0, 即(m-1)2≤0, ∴m=1. 故 AH=BH,CA=CB.
【命题立意】本题主要考查平面向量与不等式最值问题.

考题2(2013 安徽)在平面直角坐标系中, O 是坐标原 → |=|OB → |=OA → ?OB → =2,则点 点,两定点 A,B 满足|OA → =λOA → +μOB → , |λ|+ |μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的 集{P|OP 区域的面积是( ) A.2 2 C.4 2 B.2 3 D.4 3

【解析】选 D. → |=|OB → |=OA → ·OB → =2,说 由两定点 A,B 满足|OA 明 O,A,B 三点构成边长为 2 的等边三角形,不妨设 → =λOA → +μOB → A( 3,-1),B( 3,1)再设 P(x,y).由OP 得(x,y)=( 3(λ+μ),μ-λ), ? 3 1 ? ? ?λ+μ= 3x, ?λ= 6 x-2y, 3 ∴? ?? 3 1 ? ? μ - λ = y , ? μ= x+ y, ? 6 2 ?

? 3 1 ? 6 x-2y≥0, ? ? ? ? ? ? ? ? 1 由? 时,由可行域可 ?λ?+?μ?≤1,当? 3 x + y ≥ 0 , ?6 2 ? ? x≤ 3 得 S0= 3,由图形对称性知 S=4S0=4 3.
【命题立意】本小题主要考查平面向量运算,线 性规划以及数形结合思想.

→1⊥AB →2, → 1|=|OB →2 考题3(2013 重庆)在平面上, AB |OB 1 → → → → → |的取值范围是 |=1,AP=AB1+AB2.若|OP|< ,则|OA 2 ( ) ? ? 5 5? 7? ? ? ? A.?0, ? B.? , ? 2? 2? ? ? 2 ? ? 5 ? ? 7 ? ? ? ? C.? , 2? D.? , 2? ? ? 2 ? ? 2 ?

【解析】选 D. 根据条件知 A,B1,P,B2 构成一个矩形 AB1PB2, 以 AB1,AB2 所在的直线为坐标轴建立直角坐标系,设 →1|=a,|AB →2|=b,点 O 的坐标为(x,y),则点 P 的坐 |AB 标为(a,b), → 1|=|OB → 2|=1, 由|OB
2 2 2 2 ? ? ( x - a ) + y = 1 , ( x - a ) = 1 - y , ? ? 得? 2 则? 2 2 2 ? ? x +( y - b ) = 1 , ( y - b ) = 1 - x , ? ?

1 1 2 2 → 又由|OP|< ,得(x-a) +(y-b) < ,则 1-x2+1 2 4 1 7 2 2 2 -y < ,即 x +y > ,① 4 4

又 (x- a)2+ y2= 1,得 x2+ y2+ a2= 1+ 2ax≤1+ a2 +x2,则 y2≤1; 同理由 x2+(y-b)2=1,得 x2≤1,即有 x2+y2≤2, ② 7 2 2 7 由①②知 <x +y ≤2,所以 < x2+y2≤ 2, 4 2 7 → 2 2 → 而|OA|= x +y ,所以 <|OA|≤ 2. 2
【命题立意】本小题主要考查平面向量垂直、加法 的几何意义、不等式性质及基本不等式基础知识, 同时考查转化思想、数形结合思想,以及综合分析 问题的能力.

1.平面向量 (1)向量加法的法则:三角形法则与平行四边形法 则; (2)向量减法的法则:三角形法则; (3)实数 λ 与向量 a 的积是一个向量, 记作 λa, 规定: |λa|=|λ|· |a|; (4)向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且仅有 一个实数 λ,使得 b=λa,即 b∥a?b=λa(a≠0); (5)平面向量的基本定理:如果 e1,e2 是同一平面内 的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任意向量 a, 有且仅有一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2,其中不共 线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基 底.

(6)已知两个非零向量 a 和 b, 它们的夹角为 θ, 则a 和 b 的数量积 a· b=|a|· |b|· cos θ . (7)设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则: ①a±b=(x1±x2,y1±y2); ②λ a=(λx1,λy1); ③a?b=x1x2+y1y2;
2 ④|a|= x2 + y 1 1;

⑤a⊥b?a?b=0?x1x2+y1y2=0; ⑥a∥b?x1y2-x2y1=0. 2.平面向量的易错点 (1)向量的数量积运算不满足结合律: a· (b· c)=(a· b)· c 不正确. (2)非零向量的平行性才具有传递性:a∥b,b∥c? a∥c 不正确.

(3)向量不满足消去律:a· b=a· c?b=c 不正确. (4)平面向量的基本定理的前提是 e1,e2 不共线. (5)两个向量的夹角不一定为三角形的内角.例如 → ,BC → 的夹角不是三角形的内角 B. △ABC 中,AB (6)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件 x 1 y1 不能表示成 = ,因为 x2,y2 有可能等于 0,所以应表 x 2 y2 示为 x1y2-x2y1=0.

1.平面向量的概念与线性运算 例1(1)如图,A、B 分别是射线 OM、ON 上的两点,

给出下列向量. 1→ 1→ ② OA+ OB 2 3 3→ 1→ 3→ 1→ ③ OA+ OB ④ OA- OB.这四个向量中以 O 为 4 3 4 5 起点,终点在阴影区域内的是( B ) A.①② B.①③ C.②③ D.②④ → +2OB → ①OA

【解析】由向量的平行四边形法则利用尺规作图, 可得终点在阴影部分的是①③,故选B. →+ (2)已知点 P 是△ABC 所在平面内的一点, 且 3PA

→ +2PC → =0,设△ABC 的面积为 S,则△PAC 的面积 5PB 为( C ) 3 2 1 2 A. S B. S C. S D. S 4 3 2 5

→ +5PB → +2PC → =0 【解析】由于 3PA → +PB → )=-2(PB → +PC →) 则 3(PA → +PB → → +PC → PA PB 即 3· =-2· . 2 2 如图,设 AB、BC 的中点分别为 M、N. 1 → → 1 → → → → 则PM= (PA+PB),PN= (PB+PC), 2 2 → =-2PN → ,则点 P 在中位线 MN 上 即 3PM 所以△PAC 的面积是△ABC 的面积的一半,故选 C.

【点评】由题设情境,通过数形结合,恰当地运 用平行四边形法则、三角形法则和实数与向量乘 积的几何意义分析、推导,问题便可解答.

2.平面向量的基本定理和坐标运算 例2(1)已知向量 a=(1,-1),b=(1,2),向量 c 满 足(c+b)⊥a,(c-a)∥b,则 c=( A ) A.(2,1) B.(1,0) ?3 1? ? , C.? D.(0,-1) ?2 2? ? ?

【解析】设 c=(x,y),由题设 c+b=(x+1,y+2) c-a=(x-1,y+1) 由(c+b)⊥a 得(x+1)?1+(y+2)?(-1)=0 即 x-y-1=0① 又(c-a)∥b, 得(x-1)?2-(y+1)?1=0 即 2x-y-3=0② 解①②得 x=2,y=1,故选 A.

1→ → (2)如图, 在△ABC 中, AN= NC, P 是 BN 上一点, 3 2 → → → 若 AP = m AB + AC , 则 实 数 m 的 值 为 11

3 11 . ____

【解析】由三点 B、P、N 共线, → =nAB → +(1-n)AN →. 得 AP 1→ 1→ → → 又AN= NC , 因此AN= AC, 3 4 1 2→ → → → → 从而AP=nAB+ (1-n)AC=mAB+ AC. 4 11 1 2 3 所以 (1-n)= ,故 m=n= . 4 11 11

(3)如图,在等腰三角形 ABC 中,点 O 是斜边 BC 的中 点,过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同两点 M、 → =mAM → ,AC → =nAN → (m>0,n>0),则 m· N,若AB n的

1 . 最大值为____

【解析】以 A 为原点,AC、AB 所在直线为 x 轴、 y 轴建立直角坐标系,设 AB=2,则 B(0,2),C(2,0), O(1,1) → =mAM → ,AC → =nAN →. ∵AB
? ?2 ? 2? ? ? ? ∴M?0, ?,N? ,0? ?. m? ? ?n ?

nx my 从而直线 MN 的方程为 + =1. 2 2 又 MN 过点(1,1). m n ∴ + =1,即 m+n=2. 2 2 (m+n)2 ∴mn≤ =1. 4 当 m=n=1 时取等号,故 mn 的最大值为 1.

【点评】在处理三点共线有关问题中常用结论:若 A、 → =λOB → +μOC → (其中 O 为平面内一 B、C 三点共线,OA 点),则 λ+μ=1.反之也成立.

3.平面向量的数量积 2 3 例3(1)已知非零向量 a、b 满足|a+b|=|a-b|= 3 π 3 . |a|,则向量 a+b 与 a-b 的夹角为____

【解析】 由|a+b|=|a-b|及平行四边形法则可得 a· b =0. 2 3 1 2 2 由|a-b|= |a|两边平方得 b = a . 3 3 (a+b)· (a-b) a2-b2 所以 cos 〈a+b, a-b〉 = = 4 2 |a+b|· |a-b| a 3 1 = , 2 又〈a+b,a-b〉∈[0,π] π 故〈a+b,a-b〉= . 3

(2)如图,在△ABC 中,∠BAC=120°,AB=AC → ?BC → =0,CE → =2EB →, =2,D、E 为 BC 边上的点,且AD

→ ?AE → =____ 1 . 则AD

→ ·BC → =0 【解析】∵AD → ⊥BC → , 即 AD⊥BC, ∴AD → =1(AB → +AC → ), 又 AB=AC, ∴AD 2 → =AB → -AC → ,又CE → =2EB →, CB 2→ 2→ 1→ → → ∴AE=AC+ CB= AB+ AC 3 3 3 1 → → 1 → → → → 则AD·AE= (AB+AC)·(2AB+AC) 2 3 1 →2 → ·AC → +AC → 2)= = (2AB +3AB 6 1 (2?22+3?2?2?cos 120°+22)=1. 6

【点评】平面向量的数量积既有几何运算法则,又 有坐标运算,因此涉及与平面几何有关的问题,应充分 将几何运算法则与几何图形和实数与平面向量乘法的几 何意义恰当结合进行运算求解.

4.平面向量综合的问题 例4(1)已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,△ABC 的三 → +FB → +FC → =0, 个顶点均在抛物线上, 若FA 则|FA|+|FB| 6 . +|FC|=____
【解析】由题设 F(1,0)是△ABC 的重心,则 xA+ xB+xC=3. 故|FA|+|FB|+|FC|=xA+1+xB+1+xC+1=6.

→ 和OB → ,它们的 (2)给定两个长度为 1 的平面向量OA 夹角为 120°.如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB → =xOA → +yOB → ,其中 x,y∈R,则 x+y 上变动.若OC

2 . 的最大值是____

【解析】设∠AOC=α → ·OA → =xOA →· → +yOB →· →, ? OA OA ?OC ? 即 →· → =xOA →· → +yOB →· →, ? OB OB OB ?OC 1 ? ?cos α=x-2y, ? ?cos(120°-α)=-1x+y, 2 ? ∴ x + y = 2[cos α + cos(120 °- α)] = cos α + 3 sin α=
? π? ? 2sin?α+ ? ≤2. ? 6? ?

例5在△ABC 中,内角 A、B、C 所对边长分别为 a、 → ?AC → =8,∠BAC=θ,a=4. b、c,AB (1)求 bc 的最大值和 θ 的取值范围; (2)求函数 f(θ)=2 3sin 大值.
2?π

?

?4 ?

? ? 2 +θ?+2cos θ ?

- 3的最

→ ·AC → =8,∠BAC=θ 【解析】(1)∵AB ∴bccos θ=8.又 a=4,由余弦定理得 42=b2+c2 -2bccos θ. 2 2 b + c 得 b2+c2=32.故 bc≤ =16. 2 即当 b=c 时,bc 取最大值 16. 8 8 1 而 bc= ,∴ ≤16,∴cos θ≥ . 2 cos θ cos θ π 又 0<θ<π.故 0<θ≤ . 3

(2)f(θ)=2 3sin =

2?π

? ? ?

4

? ? 2 +θ?+2cos θ- ?

3

? ?π ?? ? ? ? 3?1-cos? +2θ? ??+1+cos 2 ? ? ??

2θ- 3

= 3sin 2θ+cos 2θ+1
? π? ? =2sin?2θ+ ? +1, ? 6? ?

π π π 5π ∵0<θ≤ ,∴ <2θ+ ≤ 3 6 6 6
? π? 1 ? ∴ ≤sin?2θ+ ? ≤1 ? 2 6? ? π π 故当 θ= 时,f(θ)max=3.当 θ= 时,f(θ)min=2. 6 3

【点评】涉及由三角形的边构建的向量数量积 问题,一定要数形结合分析向量的夹角与三角 形内角的关系,若两向量始点相同或终点相同, 则向量的夹角与三角形的相关内角相等,若两 向量首末相接,则向量的夹角与三角形的相关 内角为互补关系.

〔备选题〕例6椭圆有两顶点 A(-1,0),B(1,0), 过其焦点 F(0,1)的直线 l 与椭圆交于 C、D 两点,并与 x 轴 交 于 点 P , 直 线 AC 与 直 线 BD 交 于 点 Q.

3 (1)当|CD|= 2时,求直线 l 的方程; 2 → ?OQ → 为定 (2)当点 P 异于 A、B 两点时,求证:OP 值.

【解析】(1)因为椭圆焦点在 y 轴上,设椭圆的标准 y2 x 2 方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b y2 由已知得 b=1, c=1, 所以 a= 2, 椭圆方程为 + 2 x2=1. 直线 l 垂直于 x 轴时与题意不符. 设直线 l 的方程为 y=kx+1,将其代入椭圆方程, 化简,得(k2+2)x2+2kx-1=0. 设 C(x1,y1),D(x2,y2), 2k 1 则 x1+x2=- 2 ,x1x2=- 2 , k +2 k +2 |CD| = k2+1 · (x1+x2)2-4x1x2 = 2 2(k2+1) . 2 k +2

2 2(k2+1) 3 由已知得 = 2,解得 k=± 2, 2 k2+2 所以直线 l 的方程为 y= 2x+1 或 y=- 2x+1. (2)证明:直线 l 与 x 轴垂直时与题意不符. 设直线 l 的方程为 y=kx+1(k≠0 且 k≠± 1), ? 1 ? ? 所以 P 点的坐标为?- ,0? ?. k ? ? 设 C(x1,y1),D(x2,y2), 2k 1 由(1)知 x1+x2=- 2 ,x1x2=- 2 . k +2 k +2 y1 直线 AC 的方程为 y= (x+1), x1+1 y2 直线 BD 的方程为 y= (x-1), x2-1

x+1 y2(x1+1) 将两直线方程联立,消去 y 得 = . x-1 y1(x2-1) x+1 y2 因为-1<x1,x2<1,所以 与 异号. x-1 y1
2 2 2 2 ?x+1? y ( x + 1 ) 2 - 2 x ( x + 1 ) 2 1 2 1 ? ?2 ?x-1? =y2(x -1)2=2-2x2·(x -1)2 1 2 1 2 ? ?

-2k -1 1+ 2 + 2 ? k +2 k +2 ? (1+x1)(1+x2) ?k-1?2 = = =? . ? k + 1 (1-x1)(1-x2) -1 ? 2k ? 1+ 2 + 2 k +2 k +2

又 y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1 2(1-k)(1+k) = k2+2 2(1+k)2 k-1 =- · , 2 k +2 k+1 k-1 x+1 k-1 ∴ 与 y1y2 异号, 与 同号. k+1 x-1 k+1 x+1 k-1 ∴ = ,解得 x=-k. x-1 k+1 因此 Q 点的坐标为(-k,yQ), ? 1 ? ? → ·OQ → =?- ,0? OP ?·(-k,yQ)=1. k ? ? → ·OQ → 为定值. 故OP

【点评】本题主要考查直线方程、弦长公式、平面 向量的数量积、直线与圆锥曲线的位置关系,考查 了运算求解能力及数形结合思想,难度较大.

→ =λAB → (λ≠0)?OP → =(1 1.A、 P、B 三点共线?AP → +λOB → ,(O 为平面内任一点,t∈R)?OP → =xOA → -λ)· OA → (O 为平面内任一点,x∈R,y∈R,x+y=1). +yOB → =OA → +tAB → 叫做直线 AB 的向量表示式. OP 2. 向量和它的坐标之间是一一对应关系, 即向量确 定,坐标唯一;坐标确定,则向量唯一,但表示向量的 有向线段不唯一.向量的坐标表示即向量的代数表示形 式,它是向量进行代数运算的基础,它使向量同时具备 了数与形两方面的特征,是进行代数运算、几何证明转 换的工具.

3 . |a| =

a?a =

2 x2 + y 1 1

a?b , cos θ = = |a|?|b|

x1x2+y1y2 2 2 2 2,a⊥b?a?b=0?x1x2+y1y2=0 等, x1+y1? x2+y2 可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题. 4.由于向量具有“数”与“形”的双重身份,从而 也就决定了向量应用的灵活性,它很容易与数列、三角 函数、解析几何、不等式等相结合,在知识交汇点处命 题,考查向量的工具性及学生分析问题、解决问题的能 力,从最近几年的高考试题看应加强这方面的训练.

1.设 x,y∈R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2, -4),且 a⊥c,b∥c,则|a+b|=( B ) A. 5 B. 10 C.2 5 D.10

【解析】因为 a⊥c,所以 a· c=0,即 2x-4=0,解 得 x=2,由 b∥c,得-4=2y,解得 y=-2,所以 a= (2,1),b=(1,-2),所以 a+b=(3,-1),所以|a+b| = 32+(-1)2= 10.

2. 在直角三角形 ABC 中, 点 D 是斜边 AB 的中点, |PA|2+|PB|2 点 P 为线段 CD 的中点,则 =( D ) |PC|2 A.2 B.4 C.5 D.10 1 → → → 【解析】方法一:∵CD= (CA+CB).∵P 是 CD 2 1 → → 3→ 1 → → → → 中点,∴CP= (CA+CB),∴AP=CP-CA=- CA+ 4 4 4 1→ 3→ → → → → CB,BP=CP-CB= CA- CB. 4 4 9 →2 1 →2 2 → → → ∵CA·CB=0,∴AP = CA + CB , 16 16 1 →2 9 →2 →2 1 →2 1 →2 2 → BP = CA + CB ,CP = CA + CB , 16 16 16 16 |PA|2+ |PB|2 ∴ =10. |PC|2

→ +PB → =2PD → ,PA →- 方法二:∵D 是 AB 中点,∴PA → =BA →, → 2+2PA →· → +PB → 2=4PD → 2, → 2-2PA →· → PB ∴PA PB PA PB → 2=BA → 2, ∴2(|PA|2+ |PB|2)= 4|PD|2+ |AB|2.∵ D 是 +PB AB 的中点,∴2|CD|= |AB|.∵P 是 CD 中点,∴|CD|= 2 2 | PA | + | PB | 2|PC|,∴|PA|2+|PB|2=10|CP|2,故 =10. |PC|2

方法三:以 C 为坐标原点,AC,BC 所在的直线为 x 轴,y 轴,建立平面直角坐标系,设 A(a,0),B(0,b), 2 2 2 2 ?a b? ?a b ? 9 a b 9 b a ? ? ? 2 2 , , 则 D? , P , | PA | + | PB | = + + + = ?2 2? ?4 4 ? 16 16 16 16 ? ? ? ? 2 2 2 2 10(a2+b2) a + b | PA | + | PB | ,而|PC|2= ,故 =10. 16 16 |PC|2

3.已知 a,b 是单位向量,a· b=0.若向量 c 满足
? ? ? ?=1,则|c|的取值范围是( c-a-b? A) ?

A.[ 2-1, 2+1] C.[1, 2+1]

B.[ 2-1, 2+2] D.[1, 2+2]

【解析】画图,运用向量几何意义.

4.在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中,记以 A 为 起点,其余顶点为终点的向量分别为 a1,a2,a3,a4, a5;以 D 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 d1,d2, d3,d4,d5.若 m,M 分别为(ai+aj+ak)· (dr+ds+dt)的最 小值、最大值,其中{i,j,k}?{1,2,3,4,5},{r,s, t}?{1,2,3,4,5},则 m,M 满足( D ) A.m=0,M>0 B.m<0,M>0 C.m<0,M=0 D.m<0,M<0 →· → 【解析】 利用向量的数量积公式, 可知只有 AF DE

→ ·DC → >0,其余数量积均小于等于 0, 又 m,M 分别 =AB 为(ai+aj+ak)· (dr+ds+dt)的最小值、 最大值, 所以 m<0, M<0.

5.在△ABC 中,P 为 BC 边中点,点 A、B、C 的 → +aPA → +bPB → =0,则△ABC 的形 对边是 a、b、c.若 cAC 状为( A ) A.等边三角形 B.等腰三角形非等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形

π 6.在平行四边形 ABCD 中,∠A= ,边 AB、AD 3 的长分别为 2、1,若 M、N 分别是边 BC、CD 上的点, → | |CN →| |BM → ?AN → 的取值范围是 [2,5] . 且满足 = ,则AM → | |CD →| |BC → | |CN →| |BM 【解析】设 = =λ(0≤λ≤1), → → |BC| |CD|

→ =λBC → =λAD → ,DN → =(1-λ)DC → =(1-λ)AB →, 则BM

→ ·AN → =(AB → +BM → )(AD → +DN →) 则AM → +λAD → )[AD → +(1-λ)AB →] =(AB → ·AD → +(1-λ)AB → 2+λAD → 2+λ(1-λ)AD → ·AB →, =AB π → → 又∵AB·AD=2?1?cos =1, 3 → 2=4,AD → 2=1, AB → ·AN → =-λ2-2λ+5=-(λ+1)2+6, ∴AM → ·AN → ≤5, ∵0≤λ≤1,∴2≤AM → ·AN → 的取值范围是[2,5]. 即AM

7.已知△ABC 中,点 D 是 BC 的中点,过点 D 的 → =λAE → (λ>0), 直线分别交直线 AB, AC 于 E、 F 两点, 若AB 9 1 4 → =μAF → (μ>0),则 + 的最小值是____ 2 . AC μ λ → +AC → =2 AD → =λAE → +μAF →? 【解析】 由题意得, AB

λ→ μ→ → AD= AE+ AF,又 D、E、F 在同一条直线上,可 2 2


λ
2



μ
2

?λ μ? ? 1 4? 5 2λ ? ?? ? = 1. 所以 + = ? + ? ? +μ? = + + λ 2 λ μ ? 2 2?? μ ?

1

4

μ 5 9 ≥ +2= ,当且仅当 2λ=μ 时取等号. 2 2λ 2

8.已知 a=(cos α ,sin α ),b=(cos β ,sin β ), 0<β<α<π . (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α,β 的值.
【解析】(1)∵|a-b|= 2,∴|a-b|2=2, 即(a-b)2=a2-2a· b+b2=2, 又∵a2=|a|2=cos2α+sin2α=1, b2=|b|2=cos2β+ sin2β=1,∴2-2a· b=2,∴a· b=0,∴a⊥b.

(2)∵a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),
? ?cos ∴? ? ?sin

α+cos β=0, ? ?cos α=-cos β, 即? α+sin β=1, ? ?sin α=1-sin β,

1 两边分别平方再相加得:1=2-2sin β,∴sin β= , 2 1 5 1 ∴sin α= ,∵0<β<α<π,∴α= π,β= π. 2 6 6

9.已知向量 a=(sin

? x,1),b=? ?cos ?

1? x,- ? . 2? ?

(1)当 a⊥b 时,求|a+b|的值; (2)求函数 f(x)=a· (b-a)的最小正周期; (3)求使(a· b)2-(m+1)a· b+1>0 恒成立的 m 的取值 范围. 【解析】(1)由已知得 a· b=0 |a+b|= (a+b)2 = a2+2a· b+b2= a2+b2 = 1 3 sin x+1+cos x+ = . 4 2
2 2

(2)∵f(x)=a· b-a2 1 =sin xcos x- -sin2x-1 2 1-cos 2x 3 1 = sin 2x- - 2 2 2 π? 2 ? ? = sin?2x+ ? ?-2 2 4 ? ? ∴f(x)的最小正周期为π.

1 (3)a· b=sin x·cos x- 2 1 1 1 1 = sin 2x- ,令 sin 2x- =u, 2 2 2 2 ∴-1≤u≤0,∴(m+1)u<u2+1 ①若 u=0 则 m∈R. 1 ②若-1≤u<0,则 m+1>u+ , u ? 1? ? ∴m+1>?u+ ? u? ? ?max ? 1? ? 当 u=-1 时,?u+ ? ?max=-2, u ? ? ∴m>-3 综合①②得 m 的取值范围为(-3,+∞).

3 10.已知△ABC 中,AC=1,∠ABC= π ,∠BAC 4 → ?BC →. =x,记 f(x)=AB (1)求函数 f(x)的解析式及定义域; (2)设
? π ? g(x)=2m· f(x)+1,x∈?0, 4 ? ? ? ?,是否存在正实 ?

数 m,使函数 g(x)的值域为(1, 2]?若存在,请求出 m 的值,若不存在,请说明理由.

1 AB BC 【解析】 (1)由正弦定理, ? = = , ? sin x 3 ?π sin π sin? -x? ? 4 ?4 ?
?π ? ? ∴BC= 2sin x,AB= 2sin? -x? ?, 4 ? ? ?π ? π ? ? → → f(x)=AB·BC= 2sin? -x?· 2sin x·cos 4 ?4 ? ? 2 ? 2 ? 2 = 2sin x? cos x- sin x? = sin x cos x - sin x ? 2 2 ? ? ? 1-cos 2x π? 1 2 1 ? ? = sin 2x - = sin ?2x+ ? - , 2 2 2 2 4? ? ? π? ? x∈?0, ? ?. 4 ? ?

(2)存在正实数 m=1, 使函数 g(x)的值域为(1, 2]. g(x) = 2mf(x) + 1 = 2
? π? ? msin ?2x+ ? 4? ? ?

-m+1,

? π? ? x∈?0, ? ?. 4 ? ?? π π 3 π? ? ? ∵x∈?0, ?,∴ <2x+ < π, 4 4 4 4? ? ? π? 2 ? ∴ <sin?2x+ ? ?≤1, 2 4 ? ?

又 m>0,∴g(x)的值域为 1,( 2-1)m+1??, 又 g(x)的值域为(1, 2],∴( 2-1)m+1= 2, ∴m=1.

? ? ?

?


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